1、【知识重温】一、必记 2 个知识点1直线的倾斜角和斜率(1)直线的倾斜角的定义当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴_与直线 l_之间所成的_ 叫做直线的倾斜角当直线和 x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 0，因此，直线倾斜角 的取值范围是_.正向向上方向最小正角0180(2)斜率的定义倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的_叫做这条直线的斜率，常用 k 表示，即_.倾斜角是 90的直线，斜率 k 不存在(3)斜率公式当直线 l 经过两点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)时，l 的斜率 k_(其中 x1x2)(4)直线的方向向量经过两点 P1(x1，y1)、P2
2、(x2，y2)的直线的方向向量的坐标可记为_ _ _，当直线的斜率 k 存在时，方向向量的坐标可记为_ _正切值ktany2y1x2x1(x2x1，y2y1)(1，k)2直线方程的几种基本形式名称方程适用范围斜截式 _不能表示垂直于 x 轴的直线点斜式 _不能表示垂直于 x 轴的直线两点式 _不能表示垂直于坐标轴的直线截距式 _不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线一般式 _能表示平面上任何直线ykxbyy0k(xx0)yy1y2y1 xx1x2x1xayb1AxByC0(A2B20)二、必明 4 个易误点1利用两点式计算斜率时易忽视 x1x2 时斜率 k 不存在的情况2用直线的点斜式求方程时，在
3、斜率 k 不明确的情况下，注意分 k 存在与不存在讨论，否则会造成失误3直线的截距式中易忽视截距均不为 0 这一条件，当截距为 0时可用点斜式4由一般式 AxByC0 确定斜率 k 时易忽视判断 B 是否为 0，当 B0 时，k 不存在；当 B0 时，kAB.【小题热身】1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(2)过点 M(a，b)，N(b，a)(ab)的直线的倾斜角是 45.()(3)直线的倾斜角越大，斜率 k 就越大()(4)经过点 P(x0，y0)的直线都可以用方程 yy0k(xx0)表示()(5)经过任意两个不同的点 P1(x
4、1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()2过点 M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为()A1 B4C1 或 3 D1 或 4解析：kMN m42m1，m1.答案：A3直线 3xya0(a 为常数)的倾斜角是()A30 B60C120 D150解析：由直线方程得 y 3xa，所以斜率 k 3，设倾斜角为.所以 tan 3，又因为 0180，所以 60.答案：B4倾斜角为 135，在 y 轴上的截距为1 的直线方程是()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10解析：直线的斜率为 ktan 1351，所以直线方
5、程为 yx1，即 xy10.答案：D5 经 过 两 点M(1，2)，N(3,4)的 直 线 方 程 为_解析：经过两点 M(1，2)，N(3,4)的直线方程为y242x131，即 3x2y10.答案：3x2y10考点一 直线的倾斜角与斜率自主练透型12020河北衡水模拟过不重合的 A(m22，m23)，B(3mm2,2m)两点的直线 l 的倾斜角为 45，则 m 的值为()A1 B2C1 或 2 D1 或2解析：过 A(m22，m23)，B(3mm2,2m)两点的直线 l 的斜率 km232mm223mm2.直线 l 的倾斜角为 45，km232mm223mm21，解得 m1 或 m2.当 m
6、1 时，A、B 重合，故舍去，m2.故选 B.答案：B2若直线 l 经过点 A(1,2)，在 x 轴上的截距的取值范围是(3,3)，则其斜率的取值范围是_解析：设直线 l 的斜率为 k，则直线方程为 y2k(x1)，在 x 轴上的截距为 12k.令312k3，解得 k12.答案：(，1)12，悟技法1.斜率的求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角 或 的某种三角函数值，一般根据 ktan 求斜率(90)(2)公式法：若已知直线上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式 ky2y1x2x1(x1x2)求斜率2斜率取值范围的三种求法(1)数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的
7、位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定(2)构建不等式法：利用不等式所表示的平面区域的性质，转化为线线、线面的位置关系，构造不等式求范围(3)利用斜率关于倾斜角的函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可.考点二 直线的方程互动讲练型例 1 根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为 1010；(2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12.解析：(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则 sin 1010(0)ktan 13，故所求直线方程为 y13(x4)，即 x3y40 或 x3y40.(2)由题设知截距不为 0，设直线方程为x
8、ay12a1，又直线过点(3,4)，从而3a 412a1，解得 a4 或 a9.故所求直线方程为 4xy160 或 x3y90.悟技法求直线方程的关注点在求直线方程时，应选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.变式练(着眼于举一反三)1求适合下列条件直线方程(1)过点 A(1，3)，斜率是直线 y3x 的斜率的14倍；(2)经过点 P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等
9、解析：(1)设所求直线的斜率为 k，依题意k14334.又直线经过点 A(1，3)，因此所求直线方程为 y334(x1)，即 3x4y150.(2)由题意，所求直线的斜率 k 存在且 k0，设直线方程为 y2k(x3)，令 y0，得 x32k，令 x0，得 y23k，由已知 32k23k，解得 k1 或 k23，直线 l 的方程为 y2(x3)或 y223(x3)，即 xy50 或 2x3y0.考点三 直线方程的综合应用互动讲练型例 2 直线 l 过点 P(1,4)，分别交 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴于 A，B 两点，O 为坐标原点，当|OA|OB|最小时，求 l 的方程解析：解法一 依
10、题意，l 的斜率存在，且斜率为负，设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 y4k(x1)(k0)令 y0，可得 A14k，0；令 x0，可得 B(0,4k)|OA|OB|14k(4k)5k4k 5k 4k 549.当且仅当k 4k且 k0，即 k2 时，|OA|OB|取最小值这时 l 的方程为 2xy60.解法二 依题意，l 的截距都存在，且不为 0，设 l 的方程为xayb1，过 P(1,4)，1a4b1，|OA|OB|ab(ab)1a4b 5ba4ab 52 49当且仅当 a3，b6 时，取最小值这时 l 的方程为 2xy60.悟技法直线方程的综合应用(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过两条定直线交点的直线系，即能够看出“动中有定”(2)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.变式练(着眼于举一反三)2在本例条件下，若|PA|PB|最小，求 l 的方程解析：|PA|PB|4k216 1k24k(1k2)41k k 8.(k0)当且仅当 1kk 且 k0，即 k1 时，|PA|PB|取最小值这时 l 的方程为 xy50.