1、【知识重温】一、必记 3 个知识点1平行与垂直若直线 l1 和 l2 有斜截式方程 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则：(1)直线 l1l2 的充要条件是_.(2)直线 l1l2 的充要条件是_.若 l1 和 l2 都没有斜率，则 l1 与 l2 平行或重合若 l1 和 l2 中有一条没有斜率而另一条斜率为 0，则 l1l2.k1k2 且 b1b2k1k212两直线相交(1)交点：直线 l1：A1xB1yC10 和 l2：A2xB2yC20 的公共点的坐标与方程组A1xB1yC10，A2xB2yC20的解一一对应(2)相交方程组有_，交点坐标就是方程组的解(3)平行方程组_(4)重合方
2、程组有_唯一解无解无数个解3三种距离(1)两点间的距离平面上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|_.特别地，原点(0,0)与任意一点 P(x，y)的距离|OP|_.(2)点到直线的距离点 P0(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d_.(3)两条平行线的距离两条平行线 AxByC10 与 AxByC20 间的距离 d_.x1x22y1y22x2y2|Ax0By0C|A2B2|C1C2|A2B2二、必明 2 个易误点1在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑2运用两平行直线间的距离公式时易忽
3、视两方程中的 x，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错【小题热身】1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线 l1 和 l2 斜率都存在时，一定有 k1k2l1l2.()(2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交()(4)点 P(x0，y0)到直线 ykxb 的距离为|kx0b|1k2.()(5)两平行直线 2xy10,4x2y10 间的距离是 0.()2直线 x2y20 与直线 2xy30 的交点坐标是()A(4,1)B(1,4)C.43，13D.13，43解析：由方程组x2y2
4、0，2xy30，得x43，y13.即直线 x2y20 与直线 2xy30 的交点坐标是43，13.答案：C3过点 A(4，a)和点 B(5，b)的直线与 yxm 平行，则|AB|的值为()A6 B.2C2 D不能确定解析：由 kAB1，得ba1 1，ba1.|AB|542ba2 11 2.答案：B4过点(1,0)且与直线 x2y20 垂直的直线方程是()Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y10解析：因为直线 x2y20 的斜率为12，所以所求直线的斜率 k2.所以所求直线的方程为 y02(x1)，即 2xy20.故选 C.答案：C5已知点 A(3,2)和 B(1,4)到直线 axy
5、10 的距离相等，则 a 的值为_解析：由点到直线的距离公式可知|3a21|a21|a41|a21.解得 a4 或12.答案：4 或12考点一 两条直线的平行与垂直自主练透型12020山东平度一中月考若直线 l1：axy10 与直线 l2：2x2y10 的倾斜角相等，则实数 a()A1 B1C2 D2解析：由题意可得两直线平行，2a(1)20，a1.故选 B.答案：B22020安徽六安一中模拟直线 ax4y20 与直线 2x5yb0 垂直，垂足为(1，c)，则 abc()A2 B4C6 D8解析：由题意可得，a4 25 1，a4c20，25cb0，解得 a10，c2，b12.abc4.故选 B
6、.答案：B3已知两直线 l1：mx8yn0 和 l2：2xmy10，试确定 m，n 的值，使(1)l1 与 l2 相交于点 P(m，1)；(2)l1l2；(3)l1l2，且 l1 在 y 轴上的截距为1.解析：(1)由题意得m28n0，2mm10，解得m1，n7.即 m1，n7 时，l1 与 l2 相交于点 P(m，1)(2)l1l2，m2160，m2n0，解得m4，n2或m4，n2.即 m4，n2 或 m4，n2 时，l1l2.(3)当且仅当 2m8m0，即 m0 时，l1l2.又n81，n8.即 m0，n8 时，l1l2，且 l1 在 y 轴上的截距为1.悟技法由一般式确定两直线位置关系的
7、方法直线方程l1：A1xB1yC10(A21B210)l2：A2xB2yC20(A22B220)l1 与 l2 垂直的充要条件A1A2B1B20l1 与 l2 平行的充分条件A1A2B1B2C1C2(A2B2C20)l1 与 l2 相交的充分条件A1A2B1B2(A2B20)l1 与 l2 重合的充分条件A1A2B1B2C1C2(A2B2C20)考点二 距离公式及其应用互动讲练型例 1(1)若点 P 在直线 3xy50 上，且 P 到直线 xy10 的距离为 2，则点 P 的坐标为()A(1,2)B(2,1)C(1,2)或(2，1)D(2,1)或(1,2)解析：(1)设 P(x,53x)，则
8、d|x53x1|1212 2，化简得|4x6|2，即 4x62，即 x1 或 x2，故 P(1,2)或(2，1)答案：(1)C(2)已知直线 l1：mx8yn0 与 l2：2xmy10 互相平行，且 l1，l2 之间的距离为 5，求直线 l1 的方程解析：(2)l1l2，m28m n1，m4，n2或m4，n2.当 m4 时，直线 l1 的方程为 4x8yn0，把 l2 的方程写成 4x8y20，|n2|1664 5，解得 n22 或 n18.故所求直线的方程为 2x4y110 或 2x4y90.当 m4 时，直线 l1 的方程为 4x8yn0，l2 的方程为 2x4y10，|n2|1664 5
9、，解得 n18 或n22.故所求直线的方程为 2x4y90 或 2x4y110.答案：(2)2x4y90 或 2x4y110 或 2x4y110 或2x4y90悟技法处理距离问题的 3 种方法(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求，注意直线方程为一般式(2)动点到两定点的距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便(3)两平行直线间的距离利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；利用两平行线间的距离公式提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使 x，y 的系
10、数分别相等.变式练(着眼于举一反三)1已知 P 是直线 2x3y60 上一点，O 为坐标原点，且点A 的坐标为(1,1)，若|PO|PA|，则 P 点的坐标为_解析：解法一 设 P(a，b)，则2a3b60，a2b2 a12b12，解得a3，b4.P 点的坐标为(3,4)解法二 线段 OA 的中垂线方程为 xy10，则由2x3y60，xy10.解得x3，y4，则 P 点的坐标为(3,4)答案：(3,4)22019江苏扬州期末若直线 l1：x2y40 与 l2：mx4y30 平行，则 l1，l2 间的距离为_解析：解法一 因为两直线平行，所以m412，解得 m2.在直线 x2y40 上取一点(0
11、,2)，点(0,2)到直线 l2：2x4y30 的距离 d|083|2242 52.解法二 因为两直线平行，所以m412，解得 m2.l1：2x4y80，l2：2x4y30，根据两平行线间的距离公式：d|83|2242 52.答案：52考点三 对称问题互动讲练型考向一：点关于点对称例 2 过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1：2xy80 和 l2：x3y100 截得的线段被点 P 平分，则直线 l 的方程为_解析：设 l1 与 l 的交点为 A(a,82a)，则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B(a,2a6)在 l2 上，把B 点坐标代入 l2 的方程得a3(2a6)100，
12、解得 a4，即点A(4,0)在直线 l 上，所以由两点式得直线 l 的方程为 x4y40.答案：x4y40考向二：点关于线对称例 3 已知直线 l：2x3y10，点 A(1，2)，则点 A关于直线 l 的对称点 A的坐标为_解析：设 A(x，y)，由已知得y2x1231，2x12 3y22 10，解得x3313，y 413.故 A3313，413.答案：A3313，413考向三：线关于线对称例 4 直线 2xy30 关于直线 xy20 对称的直线方程是()Ax2y30 Bx2y30Cx2y10 Dx2y10解析：设所求直线上任意一点 P(x，y)，则 P 关于 xy20的对称点为 P(x0，y
13、0)，由xx02yy0220，xx0yy0，得x0y2，y0 x2，由点 P(x0，y0)在直线 2xy30 上，2(y2)(x2)30，即 x2y30.答案：A悟技法1.中心对称问题的 2 个类型及求解方法(1)点关于点对称：若点 M(x1，y1)及 N(x，y)关于 P(a，b)对称，则由中点坐标公式得x2ax1y2by1，进而求解(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程2轴对称问题的 2 个类型及求解方法(1)点关于直线的对称：若两点
14、 P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)关于直线 l：AxByC0 对称，由方程组可得到点 P1 关于 l 对称的点 P2 的坐标(x2，y2)(其中 B0，x1x2)(2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.变式练(着眼于举一反三)3与直线 3x4y50 关于 x 轴对称的直线方程为_解析：设 A(x，y)为所求直线上的任意一点，则 A(x，y)在直线 3x4y50 上，即 3x4(y)50，故所求直线方程为 3x4y50.答案：3x4y504已知点 A(1,3)关于直线 ykxb 对称的点是 B(2,1)，
15、则直线 ykxb 在 x 轴上的截距是_解析：由题意得线段 AB 的中点12，2 在直线 ykxb 上，故 23k1，12kb2，解得 k32，b54，所以直线方程为 y32x54.令 y0，即32x540，解得 x56，故直线 ykxb 在 x 轴上的截距为56.答案：565已知入射光线经过点 M(3,4)，被直线 l：xy30 反射，反射光线经过点 N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_解析：设点 M(3,4)关于直线 l：xy30 的对称点为 M(a，b)，则反射光线所在直线过点 M，所以b4a311，3a2b42 30，解得a1，b0.又反射光线经过点 N(2,6)，所以所求直线的
16、方程为y060 x121，即 6xy60.答案：6xy60微专题(十六)直线系方程的灵活应用例 求经过两直线 l1：x2y40 和 l2：xy20 的交点P，且与直线 l3：3x4y50 垂直的直线 l 的方程解析：解法一 解方程组x2y40，xy20，得 P(0,2)因为 l3 的斜率为34，且 ll3，所以直线 l 的斜率为43，由斜截式可知 l 的方程为 y43x2，即 4x3y60.解法二 设直线 l 的方程为 x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.又ll3，3(1)(4)(2)0，解得 11.直线 l 的方程为 4x3y60.名师点评 1本例法一采用常规方法，先通过方程组求
17、出两直线交点，再根据垂直关系求出斜率，由于交点在 y 轴上，故采用斜截式求解；法二则采用了过两直线 A1xB1yC10 与 A2xB2yC20 的交点的直线系方程：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，直接设出过两直线交点的方程，再根据垂直条件用待定系数法求解2与直线 AxByC0 平行的直线系方程为 AxByC10(C1C)；与直线 AxByC0 垂直的直线系方程为 BxAyC10.变式练 经过 A(2,1)，且与直线 2xy100 垂直的直线 l的方程为_解析：因为所求直线与直线 2xy100 垂直，所以设该直线方程为 x2yC10，又直线过点(2,1)，所以有 221C10，解得 C10，即所求直线方程为 x2y0.答案：x2y0
