1、第三节运动图象追及、相遇问题学生用书P7一、匀变速直线运动的图象1直线运动的xt图象(1)物理意义：反映了物体做直线运动的位移随时间变化的规律(2)斜率的意义：图线上某点切线的斜率大小表示物体速度的大小，斜率正负表示物体速度的方向2直线运动的vt图象(1)物理意义：反映了物体做直线运动的速度随时间变化的规律(2)斜率的意义：图线上某点切线的斜率大小表示物体加速度的大小，斜率正负表示物体加速度的方向(3)“面积”的意义图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的位移大小若面积在时间轴的上方，表示位移方向为正方向；若面积在时间轴的下方，表示位移方向为负方向1.(多选)物体甲的位移与时间图象和物体乙的速度
2、与时间图象分别如图甲、乙所示，则这两个物体的运动情况是()A甲在整个t6 s时间内有来回运动，它通过的总位移为零B甲在整个t6 s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 mC乙在整个t6 s时间内有来回运动，它通过的总位移为零D乙在整个t6 s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为6 m解析：选BC.甲图象中的直线的斜率表示速度，速度方向不变，没有来回运动，只是相对于原点的位移，一开始为负，后来为正，选项B正确乙图象中直线的斜率表示加速度，速度先是负向变小，后正向增大，有来回运动，C项正确二、追及和相遇问题1两类追及问题(1)若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度
3、一定不小于前者速度(2)若追不上前者，则当后者速度与前者相等时，两者相距最近2两类相遇问题(1)同向运动的两物体追及即相遇(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇2.(单选)(2015河南六市一联)A、B两个物体在水平面上沿同一直线运动，它们的vt图象如图所示在t0时刻，B在A的前面，两物体相距7 m，B物体做匀减速运动的加速度大小为2 m/s2.则A物体追上B物体所用时间是()A5 sB6.25 sC7 s D8 s答案：D考点一运动图象的理解及应用 1对运动图象的理解(1)无论是xt图象还是vt图象都只能描述直线运动(2)xt图象和vt图象都不表示物体
4、运动的轨迹(3)xt图象和vt图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定2应用运动图象解题“六看”xt图象vt图象轴横轴为时间t，纵轴为位移x横轴为时间t，纵轴为速度v线倾斜直线表示匀速直线运动倾斜直线表示匀变速直线运动斜率表示速度表示加速度面积无实际意义图线和时间轴围成的面积表示位移纵截距表示初位置表示初速度特殊点拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示相遇拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示速度相等 (单选)(2014高考新课标全国卷)甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶在t0到tt1的时间内，它们的vt图象如图所示在这段时间内()A汽车甲的平均速度比乙的大B汽车乙的平均速度等于 C甲
5、、乙两汽车的位移相同D汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大解析根据vt图象下方的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移x甲大于汽车乙的位移x乙，选项C错误；根据v得，汽车甲的平均速度v甲大于汽车乙的平均速度v乙，选项A正确；汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移x，即汽车乙的平均速度小于，选项B错误；根据vt图象的斜率反映了加速度的大小，因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项D错误答案A易错提醒对t0时两条vt图线不相交，不少同学误认为两物体位置不同位置是否相同应根据题干条件判定如“突破训练1”中明确告知t0时两物体经过同一位置1.(多选)(20
6、13高考四川卷)甲、乙两物体在t0时刻经过同一位置沿x轴运动，其vt图象如图所示，则()A甲、乙在t0到t1 s之间沿同一方向运动B乙在t0到t7 s之间的位移为零C甲在t0到t4 s之间做往复运动D甲、乙在t6 s时的加速度方向相同解析：选BD.速度图象中坐标的正负表示物体的速度方向，即物体的运动方向，故A错误；速度图象与时间轴所围面积表示物体的位移，由题图知在07 s内乙物体速度图线与时间轴所围总面积为零，故B正确；在04 s内甲物体的速度始终为正，即这段时间内一直沿正方向运动，故C错误；速度图线的斜率表示加速度，即斜率绝对值表示加速度的大小，斜率的正负表示加速度的方向，由题图可知D正确考
7、点二追及与相遇问题 1分析追及问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”(1)一个临界条件：速度相等它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口2能否追上的判断方法(1)做匀速直线运动的物体B追赶从静止开始做匀加速直线运动的物体A：开始时，两个物体相距x0.若vAvB时，xAx0xB，则不能追上(2)数学判别式法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若0，即有两个解，说明可以相遇两次；若0，说明刚好追上或相遇；
8、若0，说明追不上或不能相遇3注意三类追及相遇情况(1)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要判断是运动中被追上还是停止运动后被追上(2)若追赶者先做加速运动后做匀速运动，一定要判断是在加速过程中追上还是匀速过程中追上(3)判断是否追尾，是比较后面减速运动的物体与前面物体的速度相等的位置关系，而不是比较减速到0时的位置关系在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件解析法一：临界条件法设两车运动时间t速度相等由v0(2a)tat得，tA
9、车位移：xAv0t(2a)t2B车位移：xBat2两车不相撞的条件：xBxxA即：at2xv0tat2联立得：v0.法二：二次函数极值法设两车运动了时间t，则xAv0tat2xBat2两车间不相撞须满足xxBxxAat2v0tx0则xmin0解得v0.答案v0方法总结(1)解题思路(2)解题技巧紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，它们往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件2.(单选)(2015湖北黄冈模拟)近年来，我国大部分地区经常出现雾霾天气，给人们的正常生活造
10、成了极大的影响在一雾霾天，某人驾驶一辆小汽车以30 m/s的速度行驶在高速公路上，突然发现正前方30 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，但刹车过程中刹车失灵如图a、b分别为小汽车和大卡车的vt图象，以下说法正确的是()A因刹车失灵前小汽车已减速，不会追尾B在t5 s时追尾C在t3 s时追尾D由于初始距离太近，即使刹车不失灵也会追尾解析：选C.从图象可以看出，小汽车刹车失灵前的加速度a110 m/s2，失灵后的加速度a22.5 m/s2，假设能追尾，设追尾时间为t，则有小汽车刹车失灵前的位移：x1(2030)1 m25 m，小汽车刹车失灵后的位移：x220(t1
11、)2.5(t1)2，大卡车的位移：x310t，由x1x230x3得t3 s，则假设成立，所以A、B错误，C正确；如果刹车不失灵，则在t2 s时两车速度相同，这时没有追尾，以后两车间距会越来越大，更不会追尾，D错学生用书P9方法技巧用图象法解决追及相遇问题两辆完全相同的汽车，沿水平路面一前一后均以20 m/s的速度前进若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停止时，后车以前车刹车时的加速度的2倍开始刹车已知前车刹车的过程中所行驶的距离为100 m，若要保证两车在上述情况下不相撞，则两车在匀速行驶时保持的最小距离是多少？审题点睛作两车运动的vt图象时，应注意以下三点：(1)明确两车的运动性质；(2)前
12、车停下来的时刻、后车开始刹车的时刻和后车停下来的时刻；(3)两车的最小距离与图象“面积”的关系解析设前、后两车的加速度分别为a1、a2，从刹车开始到停止所用的时间分别为t1、t2.由题意知，a22a1，则t2t1，根据题意作出两车从前车刹车开始的vt图象分别为AC和ABD.图中三角形AOC的面积为前车刹车后的位移，且x1100 m，梯形ABDO为从前车刹车后后车的位移，由图象可知，矩形ABCO面积为三角形AOC面积的二倍，三角形BCD面积为三角形AOC面积的，即梯形ABDO面积为三角形AOC的面积的2.5倍由此得，后车从前车刹车开始到自己停止通过的距离为x2250 m，因此为使两车不相撞，两车
13、在匀速行驶时应保持的最小距离为：xx2x1150 m.答案150 m总结提升(1)两个做匀减速直线运动物体的追及相遇问题，过程较为复杂如果两物体的加速度没有给出具体的数值，并且两个加速度的大小也不相同，如果用公式法，运算量比较大，且过程不够直观，若应用vt图象进行讨论，则会使问题简化(2)根据物体在不同阶段的运动过程，利用图象的斜率、面积、交点等含义分别画出相应图象，以便直观地得到结论3.(单选)汽车A在红灯前停住，绿灯亮时启动，以0.4 m/s2的加速度做匀加速运动，经过30 s后以该时刻的速度做匀速直线运动设在绿灯亮的同时，汽车B以8 m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以相同的速度做匀速直
14、线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始()AA车在加速过程中与B车相遇BA、B相遇时速度相同C相遇时A车做匀速运动D两车不可能相遇解析：选C.作出A、B两车运动的vt图象如图所示，vt图象所包围的“面积”表示位移，经过30 s时，A车图象所围面积小于B车，所以在A车加速运动的过程中，两车并未相遇，所以选项A错误；30 s后A车以12 m/s的速度做匀速直线运动，随着图象所围“面积”越来越大，可以判断在30 s后某时刻两车图象所围面积会相等，即两车会相遇，此时A车的速度要大于B车的速度，选项C正确，选项B、D错误1(单选)(2015黑龙江齐齐哈尔模拟)一物体运动的速度随时间变化的关系图象如
15、图所示，根据图象可知()A04 s内，物体在做匀变速曲线运动B04 s内，物体的速度一直在减小C物体的加速度方向在2.5 s时改变D04 s内，物体速度的变化量为8 m/s解析：选D.通过vt图象可知，在02.5 s内，物体沿正方向做加速度逐渐减小的减速直线运动，在2.5 s时减为零；在2.54 s内，物体沿负方向做加速度逐渐增大的加速直线运动；整个过程中物体的加速度始终沿负方向，故A、B、C错误在04 s内，速度变化量v(35)m/s8 m/s，故D正确2(多选)(2015广东湛江一模)如图所示，一个物体的运动速度时间图象如图所示，其中t1t2时间段为曲线，其他时间段为直线，则有关物体的运动
16、，下列说法正确的是()A0tt1时间段各个时刻的加速度一定大于t1tt2时间段各个时刻的加速度Bt2时刻物体的速度方向发生变化Ct2时刻物体的位移开始减小Dt2时刻物体的速度方向未发生变化解析：选AD.vt图象中直线的斜率表示加速度，曲线上一点的切线的斜率表示加速度，比较斜率可知，0tt1时间段各个时刻的加速度一定大于t1tt2时间段各个时刻的加速度，A正确；vt图象中与横轴的交点时刻速度方向发生变化，故t3时刻物体的速度方向发生变化，B错误，D正确；t3时刻物体反向运动，物体的位移开始减小，C错误3(单选)(2015安徽三校联考)如图所示为甲、乙两辆车从同一位置由静止开始沿同一方向运动的速度
17、时间图象两图象在t0时刻相交，则下列判断正确的是()At0时刻甲、乙两质点相遇B两辆车再次相遇前，t0时刻两车相距最远C0t0时间内，任意时刻乙质点运动的加速度大于甲质点的加速度D0t0时间内，甲质点的平均速度大于乙质点的平均速度解析：选B.在vt图象中，t0时刻甲、乙两质点速度相同，但不是相遇，而是相距最远，A错误，B正确；乙图线中各点的切线的斜率表示加速度，C错误；0t0时间内，甲质点的位移小于乙质点的位移，故甲质点的平均速度小于乙质点的平均速度，D错误4(单选)某同学欲估算飞机着陆时的速度，他假设飞机在平直跑道上做匀减速运动，飞机在跑道上滑行的距离为x，从着陆到停下来所用的时间为t，实际
18、上，飞机的速度越大，所受的阻力越大，则飞机着陆时的速度应是()Av BvCv D.v解析：选C.由题意知，当飞机的速度减小时，所受的阻力减小，因而它的加速度会逐渐变小，画出相应的vt图象大致如图所示：根据图象的意义可知，实线与坐标轴包围的面积为x，虚线(匀减速运动)下方的“面积”表示的位移为：t.应有：tx，所以v，所以选项C正确5(原创题)2014年5月20日至5月26日，中俄举行了“海上联合2014”军事演习假设在演习过程中，一艘鱼雷快艇以30 m/s的速度追击前面同一直线上正在逃跑的敌舰当两者相距L02 km时，鱼雷快艇以60 m/s的速度发射一枚鱼雷，经过t150 s，艇长通过望远镜看
19、到了鱼雷击中敌舰爆炸的火光，同时发现敌舰仍在继续逃跑，于是马上发出了第二次攻击的命令第二枚鱼雷以同样速度发射后，又经t230 s，鱼雷再次击中敌舰并将其击沉求被第一枚鱼雷击中前后，敌舰逃跑的速度v1、v2分别为多大解析：设被第一枚鱼雷击中前，敌舰逃跑的速度为v1，当鱼雷快艇与敌舰相距L02 km时，发射第一枚鱼雷，经过t150 s击中敌舰，则有(vv1)t1L0代入数据解得v120 m/s第一次击中敌舰时，鱼雷快艇与敌舰的距离为L0(30v1)t11 500 m马上发射第二枚鱼雷，设第一枚鱼雷击中后敌舰的速度为v2，经t230 s，鱼雷再次击中敌舰，则有(vv2)t21 500 m代入数据解得
20、v210 m/s.答案：见解析一、单项选择题1(2015内蒙古包头测评)某同学在学习了动力学知识后，绘出了一个沿直线运动的物体，其加速度a、速度v、位移x随时间变化的图象如图所示，若该物体在t0时刻，初速度为零，则A、B、C、D四个选项中表示该物体沿单一方向运动的图象的是()解析：选C.物体沿单一方向运动是指运动的速度方向不发生改变A为位移时间图象，由图象可知，物体做往复运动，运动方向发生改变，则A错误；B为速度时间图象，由图象可判断，速度的大小和方向都发生改变，则B错误；C为加速度时间图象，由图象可知，01 s内物体正向匀加速运动，12 s内物体正向匀减速运动，2 s末速度减为0,23 s内
21、物体又正向匀加速运动，依次变化运动下去，运动方向始终不变，则C正确；D为加速度时间图象，由图象可知，01 s内物体正向匀加速运动，12 s内物体正向匀减速运动，2 s末速度减为0,23 s内物体反向匀加速运动，物体的运动方向发生改变，则D错误. 2(2014高考大纲全国卷)一质点沿x轴做直线运动，其vt图象如图所示质点在t0时位于x 5 m处，开始沿x轴正向运动当t8 s时，质点在x轴上的位置为()Ax3 mBx8 mCx9 m Dx14 m解析：选B.质点前4 s内沿x轴正方向运动，其位移可由vt图象中的“面积”数值表示，则对应位移x1 m6 m同理可得5 s8 s内的位移(沿x轴负方向运动
22、)x2 m3 m又知初位移x05 m则当t8 s时，质点在x轴上的位置为xx0x1x28 m，选项B正确3两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶t0时两车都在同一计时线处，此时比赛开始，它们在四次比赛中的vt图象如图所示，则下列图象对应的比赛中，有一辆赛车能够追上另一辆的是()解析：选C.vt图线与横轴所围的面积表示该段时间内的位移大小，图A中a赛车的位移一直大于b赛车的位移，A错误；图B和图D中a赛车的位移一直小于b赛车的位移，B、D错误；图C中b赛车在20 s时追上a赛车，C正确4(2014高考天津卷)质点做直线运动的速度时间图象如图所示，该质点()A在第1秒末速度方向发生了改变B在第
23、2秒末加速度方向发生了改变C在前2秒内发生的位移为零D第3秒末和第5秒末的位置相同解析：选D.本题应从图象入手，分析质点的运动A在第1秒末质点的加速度方向发生改变，速度方向未改变，A错误B在第2秒末质点的速度方向发生改变，加速度方向未改变，B错误C在前2秒内质点一直沿正方向运动，位移不为零，C错误D从第3秒末到第5秒末质点的位移为零，故两时刻位置相同，D正确5(2013高考海南卷)一物体做直线运动，其加速度随时间变化的at图象如图所示下列vt图象中，可能正确描述此物体运动的是()解析：选D.由题图可知，在0时间内aa00，若v00，物体做匀加速运动；若v00，物体做匀减速运动，故B、C皆错误由
24、于在T2T时间内aa0，故物体做匀减速运动且图线斜率的绝对值与0时间内相同，故A错误D正确6.如图，A、B分别是甲、乙两小球从同一地点沿同一直线运动的vt图象，根据图象可以判断()A甲、乙两球做初速度方向相反的匀减速直线运动，加速度大小相等、方向相反B两球在t8 s时相距最远C两球运动过程中不会相遇D两球在t2 s时速率相等解析：选D.由题图可知，甲、乙都是先减速再反向加速，选项A错误；两球在速度相同的时刻相距最远，选项B错误；在t8 s时，两球均回到出发点，两球相遇，选项C错误；两球在t2 s时，速率均为20 m/s，选项D正确二、多项选择题7(2013高考新课标全国卷)如图，直线a和曲线b
25、分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位置时间(xt)图线由图可知()A在时刻t1，a车追上b车B在时刻t2，a、b两车运动方向相反C在t1到t2这段时间内，b车的速率先减少后增加D在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大解析：选BC.由题图可知，t1时刻，b车追上a车，故A错误xt图象的斜率表示速度，由于t2时刻a、b两图线的斜率一正、一负，故两车运动方向相反，B正确；由b图线的斜率的变化可以看出t1到t2这段时间b车的速率先减小后反向增大，C正确如图所示，在t3时刻b图线的斜率与a图线的相等，此时两车的速率相等，故D错误8(2015南昌模拟)小张和小王分别驾车沿平直公路同向行驶，在某
26、段时间内两车的vt图象如图所示，初始时，小张在小王前方x0处()A若x018 m，两车相遇1次B若x018 m，两车相遇2次C若x036 m，两车相遇1次D若x054 m，两车相遇1次解析：选AB.从图中可知速度相等时小王比小张多行驶的“面积”为18 m，故可知若x018 m，二者恰好相遇，则A正确；若x018 m，则在速度相等时小王已超过小张，速度相等后，小张的速度比小王大，故还会再相遇，故B正确；同理可知C、D错误9(2015黄冈调考)物体在x轴上做直线运动，则上下两图对应关系正确的是(图中F表示物体所受的合外力，a表示物体的加速度，x表示物体的位移，C、D图中曲线为抛物线)()解析：选B
27、D.根据a可知，加速度与合外力成正比，故A图描述错误；由匀加速直线运动的速度公式vat可知a恒定，vt，故B正确；由位移公式xv0tat2可知，位移时间图线为抛物线，且开口向上时为匀加速运动，开口向下时为匀减速运动，故C错误，D正确10一个物体沿直线运动，从t0时刻开始，物体的t的图象如图所示，图线与纵横坐标轴的交点分别为0.5 m/s和1 s，由此可知()A物体做匀加速直线运动B物体做变加速直线运动C物体的初速度大小为0.5 m/sD物体的初速度大小为1 m/s解析：选AC.图线的斜率为0.5 m/s2、纵截距为0.5 m/s.由位移公式xv0tat2两边除以对应运动时间t为v0at，可得纵
28、截距的物理意义为物体运动的初速度，斜率的物理意义为物体加速度的一半.所以物体做初速度为v00.5 m/s，加速度大小为a1 m/s2的匀加速直线运动三、非选择题11(2015江西八校联考)在公路的十字路口，红灯拦停了很多汽车，拦停的汽车排成笔直的一列，最前面的一辆汽车的前端刚好与路口停车线相齐，相邻两车的前端之间的距离均为l6.0 m，若汽车启动时都以a2.5 m/s2的加速度做匀加速运动加速到v10.0 m/s后做匀速运动通过路口该路口亮绿灯时间t40.0 s，而且有按倒计时显示的时间显示灯(无黄灯)另外交通规则规定：原在绿灯时通行的汽车，红灯亮起时，车头已越过停车线的汽车允许通过请回答下列
29、问题：(1)若绿灯亮起瞬时，所有司机同时启动汽车，问有多少辆汽车能通过路口？(2)第(1)问中，不能通过路口的第一辆汽车司机，在时间显示灯刚亮出“3”时开始刹车做匀减速运动，结果车的前端与停车线相齐时刚好停下，求刹车后汽车经多长时间停下？解析：(1)汽车加速时间t14.0 s400 s时间内汽车能行驶的位移xatv(tt1)380 mn63.3则知能有64辆汽车通过路口(2)记t03.0 s，当时间显示灯刚亮出“3”时，第65辆汽车行驶的位移x1atv(tt1t0)350 m此时汽车距停车线的距离：x264lx134 m第65辆车从刹车到停下来的时间t6.8 s.答案：(1)64辆(2)6.8
30、 s12.甲、乙两辆车在同一直轨道上向右匀速行驶，甲车的速度为v116 m/s，乙车的速度为v212 m/s，乙车在甲车的前面当两车相距L6 m时，两车同时开始刹车，从此时开始计时，甲车以a12 m/s2的加速度刹车，6 s后立即改做匀速运动，乙车刹车的加速度为a21 m/s2.求：(1)从两车刹车开始计时，甲车第一次追上乙车的时间；(2)两车相遇的次数；(3)两车速度相等的时间解析：(1)在甲减速时，设经时间t相遇，甲和乙的加速度分别为a1、a2，位移分别为x1、x2，则有：x1v1ta1t2x2v2ta2t2x1x2L联立解得：t12 s，t26 s即在甲车减速时，相遇两次，第一次相遇的时间为t12 s.(2)当t26 s时，甲车的速度为v1v1a1t24 m/s，乙车的速度为v2v2a2t26 m/s，甲车的速度小于乙车的速度，但乙车做减速运动，设再经t甲追上乙，有：v1tv2ta2t2解得：t4 s此时乙仍在做减速运动，此解成立综合以上分析知，甲、乙两车共相遇3次(3)第一次速度相等的时间为t3v1a1t3v2a2t3解得：t34 s甲车匀速运动的速度为4 m/s，第2次速度相等的时间为t4，有：v1v2a2t4解得：t48 s.答案：(1)2 s(2)3次(3)4 s和8 s
