1、第二十六讲平面向量的应用一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内)1(2010全国)已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为()A4B3C42 D32解析：设|，APB，则tan，cos，则x2x21323，当且仅当x21，即x21时，取“”，故的最小值为23，故选D.答案：D2设ABC的三个内角为A，B，C，向量m(sinA，sinB)，n(cosB，cosA)，若mn1cos(AB)，则C()A. B.C. D.解析：依题意得sinAcosBcosAsinB1cos(AB)，sin(AB)1cos(AB)，s
2、inCcosC1,2sin1，sin.又C，因此C，C，选C.答案：C3已知两点M(3,0)，N(3,0)，点P为坐标平面内一动点，且0，则动点P(x，y)到点M(3,0)的距离d的最小值为()A2 B3C4 D6解析:因为M(-3,0),N(3,0),所以=(x+3,y), =(x-3,y).由=0得+6(x-3)=0,化简得y2=-12x,所以点M是抛物线y2=-12x的焦点,所以点P到M的距离的最小值就是原点到M(-3,0)的距离,所以dmin=3.答案：B4在ABC中，已知a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a、b、c成等比数列，ac3，cosB，则等于()A. BC3 D3解析：
3、由已知b2ac，ac3，cosB，得，解得ac2.则accos，2.答案：B5一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A6 B2C2 D2解析：FFF2|F1|F2|cos6028，所以|F3|2，选D.答案：D6若O为ABC所在平面内一点，且满足0，则ABC的形状为()A正三角形 B直角三角形C等腰三角形 D以上都不对解析：由已知得0，设BC中点为D，则，即中线AD与高线重合，ABC为等腰三角形答案：C二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7
4、若等边ABC的边长为2，平面内一点M满足则_.解析：建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件可知A(0,3)，B(，0)，M(0,2)，(0,1)，(，2)2.答案：28在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为_解析：如图所示，渡船速度为，水流速度为，船实际垂直过江的速度为依题意知|12.5，|25.，2，0，25cos(BOD90)20，cos(BOD90)，sinBOD，BOD30，航向为北偏西30.答案：北偏西309ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m_.解析：取BC的中点D，则，且ODBC，A
5、HBC.由，可得，.即0(m1)0，故m1.答案：110已知|a|2，|b|4，a与b的夹角为，以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为_解析：画图可知，较短一条对角线的长度为2.答案：2三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11已知a(1，x)，b(x2x，x)，m为实数，求使m(ab)2(m1)ab10成立的x的取值范围解：abx2xx2x.m(ab)2(m1)ab10mx2(m1)x10.(1)当m0时，x1.(2)当m0时，m(x)(x1)0，当m1或x.当0m1时，1x1时，x1.12在ABCD中，A
6、(1,1)，(6,0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.(1)若(3,5)，求点C的坐标；(2)当|时，求点P的轨迹解：(1)设点C的坐标为(x0，y0)，又(3,5)(6,0)(9,5)，即(x01，y01)(9,5)，x010，y06，即点C(10,6)(2)设P(x，y)，则(x1，y1)(6,0)(x7，y1)，3(3(x1),3(y1)(6,0)(3x9,3y3)，ABCD为菱形，(x7，y1)(3x9,3y3)0，即(x7)(3x9)(y1)(3y3)0.x2y210x2y220(y1)故点P的轨迹是以(5,1)为圆心，2为半径的圆且去掉与直线y1的两个交点13已知(cos，sin)，(cosx，sinx)，.(1)当cos时，求函数y的最小正周期；(2)当，x，x都是锐角时，求cos2的值解：(1)cos，ycos2xsin2xcos2xsin2xcos2xcos2x，该函数的最小正周期是.(2)coscosxsinsinxcos(x)，且x是锐角，sin(x)，cossinxsincosx0，即sin(x).x是锐角，cos(x)，cos2cos(x)(x)cos(x)cos(x)sin(x)sin(x)，即cos2.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
