1、探究课五 圆锥曲线问题中的热点题型(建议用时：80分钟)1已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值解(1)直线AB的方程是y2，与y22px联立，从而有4x25pxp20，所以x1x2，由抛物线定义得：|AB|x1x2pp9，所以p4，从而抛物线方程为y28x.(2)由于p4,4x25pxp20可简化为x25x40，从而x11，x24，y12，y24，从而A(1，2)，B(4,4)；设C(x3，y3)，则(x3，y3)(1，2)(4,4
2、)(41,42)，又y8x3，即2(21)28(41)，即(21)241，解得0或2.2已知定点A(1,0)和直线x1上的两个动点E，F，且，动点P满足，(其中O为坐标原点)(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点B(0,2)的直线l与(1)中的轨迹C相交于两个不同的点M，N，若0，求直线l的斜率的取值范围解(1)设P(x，y)，E(1，yE)，F(1，yF)(2，yE)(2，yF)yEyF40，yEyF4，又(x1，yyE)，(1，yF)，且，yyE0且x(yF)y0，yEy，yF，代入得y24x(x0)，动点P的轨迹C的方程为y24x(x0)(2)设l：y2kx(易知k存在)，联立y24x
3、消去x，得ky24y80，令M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2，y1y2，(x11，y1)(x21，y2)x1x2(x1x2)1y1y21y1y22y1y2110，12k0，则实数k的取值范围为(12,0)3(2015衢州模拟)抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点(1)若2，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值解(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为xmy1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y24m，y1y24.
4、因为2，所以y12y2.联立和，消去y1，y2，得m.所以直线AB的斜率是2.(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2SAOB.因为2SAOB2|OF|y1y2|4，所以当m0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.4(2014陕西卷)如图，曲线C由上半椭圆C1：1(ab0，y0)和部分抛物线C2：yx21(y0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若APAQ，求直线l的方程解(1)在C1，C2的方程中
5、，令y0，可得b1，且A(1,0)，B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点设C1的半焦距为c，由及a2c2b21得a2.a2，b1.(2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为x21(y0)易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为yk(x1)(k0)，代入C1的方程，整理得(k24)x22k2xk240.(*)设点P的坐标为(xP，yP)，直线l过点B，x1是方程(*)的一个根由求根公式，得xP，从而yP，点P的坐标为.同理，由得点Q的坐标为(k1，k22k)(k，4)，k(1，k2)APAQ，0，即k4(k2)0，k0，k4(k2)0，解得k.经检验，k符合题意，故直线l的方程为y(x1)5.
6、如图，已知点E(m,0)(m0)为抛物线y24x内一个定点，过E作斜率分别为k1，k2的两条直线交抛物线于点A，B，C，D，且M，N分别是AB，CD的中点(1)若m1，k1k21，求EMN面积的最小值；(2)若k1k21，求证：直线MN过定点(1)解当m1时，E为抛物线y24x的焦点，k1k21，ABCD.设直线AB的方程为yk1(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k1y24y4k10，y1y2，y1y24.M，M，同理，点N(2k1，2k1)，SEMN|EM|EN|224，当且仅当k，即k11时，EMN的面积取得最小值4.(2)证明设直线AB的方程为yk1(xm)，A(x1，y
7、1)，B(x2，y2)，由得k1y24y4k1m0，y1y2，y1y24m，M，M，同理，点N，kMNk1k2.直线MN的方程为yk1k2，即yk1k2(xm)2，直线MN恒过定点(m,2)6(2014浙江宁波高考模拟)如图，设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，过准线l上一点M(1,0)且斜率为k的直线l1交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为P，直线PF交抛物线C于D，E两点(1)求抛物线C的方程；(2)若|MA|MB|FD|FE|，试写出关于k的函数解析式，并求实数的取值范围解(1)1，p2，抛物线方程为y24x.(2)设l1方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，E(x4，y4)，由得ky24y4k0，1616k20，所以k(1,0)(0,1)，y1y2，y1y24，得x1x22，x1x21，P，所以|MA|MB|x1x2x1x21y1y24，且直线PF方程为y(x1)，由得ky24(1k2)y4k0，则得y3y4，y3y44，得x3x42，x3x41，所以|FD|FE|(x31)(x41)4，则，令tk21，则t(1,2)，而f(t)在(1，)上单调递增，在(，2)上单调递减，所以.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
