1、广西梧州高级中学2020-2021学年高二数学上学期段考试题 理（含解析）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150分.第1-12小题答案用2B填涂在答题卷选择题方框内，第13-22小题用0.5mm黑色签字笔写在答题卷上各题的答题区域内.考试时间120分钟.在试题卷上作答无效.第卷（选择题）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知椭圆（）的左焦点为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：根据焦点坐标可知焦点在轴，所以，又因为，解得，故选C.考点：椭圆的基本性质2. 命题“，”的否定是（
2、 ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，考点：全称命题与特称命题3. 设复数满足，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：考点：复数的运算4. 已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）时等式成立（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由数学归纳法的概念直接求解【详解】若已假设n=k(k2，k为偶数)时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明n=k+2成立.、故选B.【点睛】此题主要考查数学归纳法的概念问题，对学生的理
3、解概念并灵活应用的能力有一定的要求，属于基础题目.5. 若变量满足约束条件 ，则的最小值为（ ）A B. 0C. 1D. 2【答案】A【解析】试题分析：由题意得，画出约束条件所表示的可行域，如图所示，目标函数的最优解为点，联立，解得，所以的最小值为考点：线性规划6. 直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（ ）A. B. 或C. 或D. 且【答案】D【解析】【分析】求出直线恒过的定点，根据题意，该定点必在椭圆内或椭圆上，根据点与椭圆的位置关系，代入点的坐标，即可求得结果.【详解】由于直线ykx1恒过定点(0，1)，且直线ykx1与椭圆总有公共点，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则且m5，解得
4、m1且m5.故选：D.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，关键在于直线恒过的点在椭圆上或椭圆的内部，属于中档题.7. 已知定点，它与抛物线上的动点连线的中点的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设， 则，即，又，代入即可求得轨迹方程.【详解】设，已知定点，利用中点坐标公式知，则，又动点在抛物线上，所以，即，即.故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查求轨迹方程，求轨迹方程一般是问谁设谁的坐标为，然后根据题目已知条件建立关于的等式即可，考查学生的转化与划归能力及运算求解能力，属于基础题.8. 若在内单调递减，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【
5、解析】【分析】由单调递减，所以时恒成立列出不等式组求解可得答案.【详解】，由在单调递减，.故选：A【点睛】本题主要考查了导数与函数单调性的关系，还考查了恒成立问题解决方法，考查转化能力，属于中档题9. 函数的定义域为，对任意，则的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用导数判断出函数在上的单调性，将不等式转化为，利用函数的单调性即可求解.【详解】依题意可设，所以.所以函数在上单调递增，又因为.所以要使，即，只需要，故选B.【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10
6、. 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设双曲线方程为，如图所示，过点作轴，垂足为，在中，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D考点：双曲线的标准方程和简单几何性质11. 已知直线与抛物线交于两点，为抛物线的焦点，若，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】设，则，联立直线方程和抛物线方程，消去利用韦达定理可求的值.【详解】由抛物线，知，设， 因为直线过且其斜率大于零，故在轴两侧.又，知，且，即.由可得,由韦达定理得，代入，可得又，故故选：C.【点睛】方法
7、点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，此类问题一般需要联立直线方程和抛物线的方程，消元后借助韦达定理构建未知变量的方程，注意所消变量的合理选择，考查学生的运算能力，属于一般题.12. 已知函数的定义域为，部分对应值如下表：的导函数的图象如图所示，则下列关于函数的命题： 函数是周期函数； 函数在是减函数； 如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4； 当时，函数有4个零点其中真命题的个数是 ( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】D【解析】【详解】显然错误；容易造成错觉，tmax5；错误，f(2)的不确定影响了正确性；正确，可由f(x)0得到第卷（非选择题）二、填空题13. 函数的最
8、大值为_.【答案】【解析】【分析】先把函数整理成，利用基本不等式求解最小值即可.【详解】当时，.当且仅当，时取等号.故答案为：.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14. 点平分双曲线的一条弦，则这条弦所在直线的方程一般式为_.【答案】【解析】【分析】设弦的两
9、端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由AB的中点是P（8，1），知x1+x216，y1+y22，利用点差法能求出这条弦所在的直线方程【详解】设弦的两个端点分别为，则，两式相减得，因为线段的中点为，所以，所以，所以直线的方程为代入满足，即直线方程为.故答案为：.【点睛】本题考查弦的中点问题及直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点差法的合理运用15. 直线x=，x=与曲线y=sinx，y=cosx围成平面图形的面积为_.【答案】2【解析】画出图像如下图所示，由图可知，面积为.16. 已知函数在区间（其中）上存在最大值，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】利用导数求出
10、函数的单调性，判断出极值点后可得关于的不等式组，从而可得所求的范围.【详解】因为，所以.当时，；当时，.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以函数在处取得极大值.因为函数在区间（其中）上存在最大值，所以，解得.故答案为：.【点睛】关键点点睛：函数在开区间内有最值，则最值点（极值点）必在此开区间内，这是解决此题的关关键.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. 解下列不等式：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）化简分式不等式，等价成一元二次不等式进行求解即可；（2）先换元将含指数的不等式转化成一元二次不等式进行求解，再解
11、指数不等式即得结果.【详解】解：（1）即，等价于，故或，不等式的解集为；（2）令，解得，即，故，不等式的解集为.18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.试题解析：（1）由已知可得（2）又，的周长为考点：正余弦定理解三角形.19. 已知函数，曲线在点处切线方程为（1）求的值；（2）讨论的单调性，并求的极大值【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）求导函数，利用导数的
12、几何意义及曲线在点处切线方程为，建立方程，即可求得，的值；（2）利用导数的正负，可得的单调性，从而可求的极大值试题解析：（1）由已知得，故，从而，（2）由（1）知，令得，或从而当时，；当时，故在，上单调递增，在上单调递减当时，函数取得极大值，极大值为考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【方法点晴】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值求极值的步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么在处取极大值
13、，如果左负右正，那么在处取极小值20. 已知抛物线截直线所得弦长.（1）求m的值；（2）设P是x轴上的点，且的面积为9，求点P的坐标.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）设.由抛物线方程和直线方程联立，根据，利用弦长公式结合韦达定理由求解.（2）由（1）知直线的方程为,设，求得点P到直线的距离，再的面积为9，由求解.【详解】（1）设.由，得，,由根与系数的关系得.，解得.（2）由（1）知直线的方程为.设，点P到直线的距离为d，则.又，则，或.故点P坐标为或.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，弦长公式，三角形面积问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21. 已知函数，.
14、（1）求证：；（2）若对恒成立，求的最大值与的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）的最大值为，的最小值为1.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，判断函数的单调性，然后证明即可；（2）构造函数利用函数的导数求解函数的单调性以及函数的最值，然后求解的最大值与的最小值.【详解】（1）证明：由得.因为在区间上，所以在区间上单调递减.从而.（2）当时，“”等价于“”；“”等价于“”.令，则，当时，对任意恒成立.当时，因为对任意，所以在区间上单调递减，从而对对任意恒成立.当时，存在唯一的使得.与在区间上的情况如下：01-c+00单调递增极大值单调递减因为在区间上是增函数，所以，进一步，“对任意恒成立
15、”当且仅当，即.综上所述，当且仅当时，对任意恒成立；当且仅当时，对任意恒成立.所以，若对任意恒成立，则的最大值为，的最小值为1【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的综合题，构造函数利用导数研究不等式恒成立求参数的最值是解题的关键，考查学生的推理能力，计算能力.22. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线的准线上求椭圆的标准方程；点，在椭圆上，是椭圆上位于直线两侧的动点当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】设椭圆C的标准方程为，由椭圆的一个顶点恰好在抛物线的准线上，可得，解得又，联立解得即可；设，由，则P
16、A，PB的斜率互为相互数，可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为，直线PA的方程为：，与椭圆的方程联立化为，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出【详解】设椭圆C的标准方程为，椭圆的一个顶点恰好在抛物线的准线上，解得又，可得椭圆C的标准方程为设，则PA，PB的斜率互为相互数，可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为，直线PA的方程为：，联立，化为，同理可得：，直线AB的斜率为定值【点睛】考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用
