1、A级基础通关一、选择题1函数f(x)的定义域为R,f(1)3,对任意xR,f(x)3x6的解集为()Ax|1x1Cx|x1 DR解析:设g(x)f(x)(3x6),则g(x)f(x)30的解集是x|x1答案:C2已知函数f(x)的定义域为1,4,部分对应值如下表:x10234f(x)12020f(x)的导函数yf(x)的图象如图所示当1a2时,函数yf(x)a的零点的个数为()A1 B2 C3 D4解析:根据导函数图象,知2是函数的极小值点,函数yf(x)的大致图象如图所示由于f(0)f(3)2,1a1时,由f(x)xaln x0恒成立,即a恒成立设g(x)(x1),则g(x).令g(x)0,
2、得xe,且当1xe时,g(x)e时,g(x)0,所以g(x)ming(e)e,所以ae.综上,a的取值范围是0ae,即0,e答案:C二、填空题6做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27 dm3,且用料最省,则圆柱的底面半径为_dm.解析:设圆柱的底面半径为R dm,母线长为l dm,则VR2l27,所以l,要使用料最省,只需使圆柱形水桶的表面积最小S表R22RlR22,所以S表2R.令S表0,得R3,则当R3时,S表最小答案:37对于函数yf(x),若其定义域内存在两个不同实数x1,x2,使得xif(xi)1(i1,2)成立,则称函数f(x)具有性质P.若函数f(x)具有性质P,则实数a的取
3、值范围为_解析:依题意,xf(x)1,即1在R上有两个不相等实根,所以axex在R上有两个不同的实根,令(x)xex,则(x)ex(x1),当x1时,(x)0,(x)在(,1)上是减函数;当x1时,(x)0,(x)在(1,)上是增函数因此(x)极小值为(1).在同一坐标系中作y(x)与ya的图象,又当x0时,(x)xex0.由图象知,当a0时,两图象有两个交点故实数a的取值范围为.答案:三、解答题8已知函数f(x)axln x,x1,e(e2.718 28是自然对数的底数)(1)若a1,求f(x)的最大值;(2)若f(x)0恒成立,求实数a的取值范围解:(1)若a1,则f(x)xln x,f(
4、x)1.因为x1,e,所以f(x)0,所以f(x)在1,e上为增函数,所以f(x)maxf(e)e1.(2)因为f(x)0,即axln x0对x1,e恒成立所以a,x1,e令g(x),x1,e,则g(x).当x1,e时,g(x)0,所以g(x)在1,e上递减所以g(x)ming(e),所以a.因此实数a的取值范围是.9(2019天津卷节选)设函数f(x)excos x,g(x)为f(x)的导函数(1)求f(x)的单调区间;(2)当x时,证明:f(x)g(x)0.(1)解:由已知,有f(x)ex(cos xsin x)因此,当x(kZ)时,有sin xcos x,得f(x)0,则f(x)单调递减
5、;当x(kZ)时,有sin x0,则f(x)单调递增所以f(x)的单调递增区间为(kZ),f(x)的单调递减区间为(kZ)(2)证明:记h(x)f(x)g(x).依题意及(1),有g(x)ex(cos xsin x),从而g(x)2exsin x.当x时,g(x)0,故h(x)f(x)g(x)g(x)(1)g(x)0.因此,h(x)在区间上单调递减,进而h(x)hf0.所以当x时,f(x)g(x)0.B级能力提升10已知函数f(x)ln x,g(x)xm(mR)(1)若f(x)g(x)恒成立,求实数m的取值范围;(2)已知x1,x2是函数F(x)f(x)g(x)的两个零点,且x1x2,求证:x
6、1x20),则F(x)1(x0),当x1时,F(x)0,当0x0,所以F(x)在(1,)上单调递减,在(0,1)上单调递增F(x)在x1处取得最大值1m,若f(x)g(x)恒成立,则1m0,即m1.(2)证明:由(1)可知,若函数F(x)f(x)g(x)有两个零点,则m1,0x11x2,要证x1x21,只需证x2F,由F(x1)F(x2)0,mln x1x1,即证lnmlnx1ln x10,令h(x)x2ln x(0x0,故h(x)在(0,1)上单调递增,h(x)h(1)0,所以x1x21.11(2019广州调研)设函数f(x)x2(a1)xaln x.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)已知函数f(x)有极值m,求证:m0),当a0时,f(x)0恒成立,所以f(x)在(0,)上单调递增当a0时,解f(x)0得xa,解f(x)0得0x0时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,)上单调递增(2)证明:由(1)知,a0时,f(x)的极值mf(a)a2aaln a.所以f(a)aln a,f(a)0有唯一实根a0.因为ln 0.50.6,所以a0(0.5,0.6)且f(a)在(0,a0)上递增,在(a0,)上递减所以mf(a)f(a0)aa0a0ln a0aa0aaa00.620.60.781.故m1成立