1、第二讲 证明不等式的基本方法2.2 综合法与分析法A级基础巩固一、选择题1若实数x,y满足不等式xy1,xy0,则()Ax0,y0Bx0,y0Cx0,y0 Dx0,y0解析:因为xy10,所以x,y同号又xy0,故x0,y0.答案:A2设x,y0,且xy(xy)1,则()Axy2(1) Bxy1Cxy2(1)2 Dxy2(1)解析:因为x,y0,且xy(xy)1,所以(xy)1xy.所以(xy)24(xy)40,解得xy2(1)答案:A3对任意的锐角,下列不等关系中正确的是()Asin()sin sin Bsin()cos cos Ccos()sin sin Dcos()cos cos 解析:
2、因为,为锐角,所以0,所以cos cos()又cos 0,所以cos cos cos()答案:D4设1,则()Aaaabba BaabaabCabaaba Dabbaaa解析:因为1,所以0ab1,所以aab1,所以abaa,.因为01,a0,所以1,所以aaba,所以abaaba.答案:C5已知a,bR,则“ab2,ab1”是“a1,b1”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析:当a1,b1时,两式相加得ab2,两式相乘得ab1.反之,当ab2,ab1时,a1,b1不一定成立如:a,b4也满足ab2,ab21,但不满足a1,b1.答案:B二、填空题6若
3、0,已知下列不等式:abab;|a|b|;ab;2.其中正确的不等式的序号为_解析:因为0,所以ba0,故错答案:7若a0,b0,则下列两式的大小关系为:lg_lg(1a)lg(1b )解析:lg(1a)lg(1b)lg(1a)(1b)lg(1a)(1b),又lglg,因为a0,b0,所以a10,b10,所以(a1)(1b),所以lglg(1a)(1b).即lglg(1a)lg(1b)答案:8已知a0,b0,若P是a,b的等差中项,Q是a,b的等比中项,是,的等差中项,则P,Q,R按从大到小的排列顺序为_解析:P,Q,所以RQP,当且仅当ab时取等号答案:PQR三、解答题9已知a0,b0,2c
4、ab,求证:ca.证明:要证ca,只需证明ca,即证ba2,当ba0时,显然成立;当ba0时,只需证明b2a22ab4c24ab,即证(ab)24c2,由2cab知上式成立所以原不等式成立10已知ABC的三边长是a,b,c,且m为正数求证:.证明:要证,只需证a(bm)(cm)b(am)(cm)c(am)(bm)0,即证abcabmacmam2abcabmbcmbm2abcacmbcmcm20,即证abc2abm(abc)m20.由于a,b,c是ABC的边长,m0,故有abc,即(abc)m20.所以abc2abm(abc)m20是成立的因此成立B级能力提升1已知a,b,c为三角形的三边且Sa
5、2b2c2,Pabbcca,则()AS2P BPS2PCSP DPS2P解析:因为a2b22ab,b2c22bc,c2a22ca,所以a2b2c2abbcca,即SP.又三角形中|ab|c,所以a2b22abc2,同理b22bcc2a2,c22aca2b2,所以a2b2c22(abbcca),即S2P.答案:D2若n为正整数,则2与2的大小关系是_解析:要比较2与2的大小,只需比较(2)2与的大小,即4n4与4n4的大小因为n为正整数,所以4n44n4.所以22.答案:223设a,b,c,d均为正数,且abcd.证明:(1)若abcd,则;(2)是|ab|cd|的充要条件证明:(1)因为()2ab2,()2cd2,由题设abcd,abcd,得()2()2.因此.(2)若|ab|cd|,则(ab)2(cd)2,即(ab)24abcd,由(1)得.若,则()2()2即ab2cd2,因为abcd,所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2,因此|ab|是|ab|cd|的充要条件