1、第10节导数的概念与计算 【选题明细表】知识点、方法题号导数的概念及运算1、2、3、12导数的几何意义4、5、7、8、9、13导数的综合问题6、10、11、14一、选择题1.在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+x,2+y),则为(C)(A)x+2(B)x-2(C)x+2(D)x-+2解析:y=f(1+x)-f(1)=(1+x)2+1-2=(x)2+2(x),=x+2,选C.2.若f(x)=2xf(1)+x2,则f(0)等于(D)(A)2(B)0(C)-2(D)-4解析:f(x)=2f(1)+2x,f(1)=2f(1)+2,f(1)=-2,f(x)=2x-4,f(0)=-4
2、.故选D.3.(2013合肥模拟)函数y=x2cos x在x=1处的导数是(B)(A)0(B)2cos 1-sin 1(C)cos 1-sin 1(D)1解析:y=(x2cos x)=(x2)cos x+x2(cos x)=2xcos x-x2sin x,在x=1处的导数为2cos 1-sin 1,故选B.4.(2013深圳调研)曲线y=2x-ln x在点(1,2)处的切线方程为(C)(A)y=-x-1(B)y=-x+3(C)y=x+1(D)y=x-1解析:y=2-,所以曲线在点(1,2)处的切线的斜率为k=2-1=1,因此,在点(1,2)处的切线方程为y-2=x-1,即y=x+1,故选C.5
3、.(2013潍坊模拟)若曲线f(x)=xsin x+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直,则实数a等于(D)(A)-2(B)-1(C)1(D)2解析:f(x)=sin x+xcos x,依题意,f=1,且-1=-1,解得a=2,故选D.6.定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1,f(x)为f(x)的导函数,已知y=f(x)的图象如图所示,若两个正数a、b满足f(2a+b)1,则的取值范围是(C)(A)(B)(5,+)(C)(D)(-,3)解析:观察图象,可知f(x)在(-,0上是减函数,在0,+)上是增函数,由f(2a+b)0)的一条切线,则实数b的值为.解析:由已知条件可得直线
4、的斜率k=,y=(ln x)=,得切点的横坐标为x=2,切点坐标为(2,ln 2).由点(2,ln 2)在切线y=x+b上可得b=ln 2-2=ln 2-1.答案:ln 2-1 8.(2013杭州质检)若曲线C:y=ax+ln x存在斜率为1的切线,则实数a的取值范围是.解析:切线斜率k=a+=1(x0),a=1-(x0),由此可得a0,所以2x+2=2(当且仅当2x=,即x=时取等号),所以f(x)=2x+3+2+3,即直线l的斜率的最小值为2+3.答案:2+311.若曲线y=sin x-存在与x轴平行的切线,则实数a的取值范围为.解析:依题意曲线y=sin x-存在斜率为零的切线,亦即方程
5、y=0有实数根.而y=cos x-,所以方程cos x-=0有解,即方程a=2cos x有解.设函数g(x)=2cos x,则函数g(x)的值域是-2,2,因此实数a的取值范围是-2,2.答案:-2,2三、解答题12.(1)求下列函数的导数.y=(2x2+3)(3x-1);y=(-2)2;y=x-sincos.(2)设f(x)=(ax+b)sin x+(cx+d)cos x,试确定常数a,b,c,d,使得f(x)=xcos x.解:(1)法一y=(2x2+3)(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)=4x(3x-1)+3(2x2+3)=18x2-4x+9.法二y=(2x2+3)(3x-1)=6
6、x3-2x2+9x-3,y=(6x3-2x2+9x-3)=18x2-4x+9.y=(-2)2=x-4+4,y=x-(4)+4=1-4=1-2.y=x-sincos=x-sin x,y=x-sin x=1-cos x.(2)由已知f(x)=(ax+b)sin x+(cx+d)cos x=(ax+b)sin x+(cx+d)cos x=(ax+b)sin x+(ax+b)(sin x)+(cx+d)cos x+(cx+d)(cos x)=asin x+(ax+b)cos x+ccos x-(cx+d)sin x=(a-cx-d)sin x+(ax+b+c)cos x.f(x)=xcos x,必须有
7、即a=d=1,b=c=0.13.已知函数f(x)=在x=处的切线为l,直线g(x)=kx+与l平行,求f(x)的图象上的点到直线g(x)的最短距离.解:因为f(x)=,所以f(x)=.所以切线l的斜率为k=f=1,切点为T,.所以切线l的方程为x-y+=0.因为切线l与直线g(x)=kx+平行,所以k=1,即g(x)=x+.f(x)的图象上的点到直线g(x)=x+的最短距离为切线l:x-y+=0与直线x-y+=0之间的距离,所以所求最短距离为=.14.已知点M是曲线y=x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:(1)斜率最小的切线方程;(2)切线l的倾斜角的取值范围.解:(1)y=x2-4x+3=(x-2)2-1-1,当x=2时,y=-1,y=,斜率最小的切线过,斜率k=-1,切线方程为x+y-=0.(2)由(1)得k-1,tan -1,.
