1、专题39 填空题的解法一、题型特点近几年来，在新课标全国卷数学试题中选择题一直是12道题，填空题一直是4道题，所占分值为80分，约占数学试题总分数的53%. 且在高考题中属于中低难度的试题，仅有个别题属于较高难度试题，在一般的情况下分别按由易到难的顺序排列，在高考数学中选择题和填空题是一种只要求得到结果，不要求写出解答过程的试题具有概括性强、小巧灵活、知识覆盖面广，其中融入多种数学思想和方法等特点，可以有效地检验考生的数学思维层次及分析问题、判断问题、推理问题和解决问题的能力二、解题思路做选填题的步骤为：1首先，审题能很好的把数学的三种语言(文字语言、图形语言、数字符号语言)之间快速转化并发掘
2、题目中的隐含条件，要去伪存真，快速领会题目的真正含义2其次，要注意选填题的解题技巧小题小做、巧做，简单做，要多用数形结合、特殊值法等技巧，节约时间3最后，仔细检查答卷不能有漏填的现象(遇到不会做的，也不要空着不做，一定要写一个答案)，不能有把答案抄错的现象三、解题方法与技巧(一)直接演绎法所谓直接演绎法，就是直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果例1(2015课标全国)一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_【解析】由题意知，圆过椭圆的三个顶点(4，0)，(0，2)，(0，2)，设圆心为(a，0)
3、，其中a0，由4a，解得a，所以该圆的标准方程为y2【反思】直接演绎法是解选择填空题最基本的方法，涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目，充分挖掘题设条件，通过严谨的推理，正确的运算必能得出正确的答案因此，学会熟练运用基本知识，并能迅速分析题目，抓住主干，吃透题意是用直接演绎法解题的不二法宝(二) 特例(值)法所谓特例(值)法，就是利用满足题设条件的一些特殊数值、特殊函数、特殊方程、特殊数列、特殊点、特殊角、特殊图形、特殊位置等进行求解，从而得出正确答案例2 (2015课标全国)若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_【反思】特例(值)法是高考数学解选择填空题的最佳方法，能降低解题难度，提高
4、解题效率当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，用特例(值)法(取得越简单越好)进行探究，从而清晰、快捷地得到正确答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律(三) 极限化法在一些选择填空题中，有一些任意选取或者变化的元素，我们对这些元素的变化趋势进行研究，分析它们的极限情况或者极端位置，并进行计算，以此来判断结果这种通过动态变化，或对极端取值来解选择填空的策略是一种极限化法例3(2015课标全国)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是_【反思】用极限化法是解选择填空题的一种有效方法，也是在选择填空题中避免“小题大做”的有效途径它根据题干及选择支的特征，考虑极端
5、情形，有助于缩小做题难度，计算简便，能迅速得到答案(四)数形结合法所谓数形结合法是把抽象的数学语言同直观的图形结合起来，通过“以形助数”、“以数辅形”，使抽象思维与形象思维相结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题例4(2015课标全国)若x，y满足约束条件则的最大值为_【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，在点A(1，3)处，取得最大值3.【反思】“数”与“形”是数学的重要基石，二者在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化，如果在解答选择填空题的过程中能够很好的运用这一数学解题中最重要的方法之一，就能够使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，进而简化
6、解题过程，从而达到事半功倍的效果(五) 构造法所谓构造法就是依据某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新的数学形式；或者利用具体问题的特殊性，为待解决的问题设置一个框架，从而使问题转化并得到解决的方法例5如图，已知球O的球面上有四个点A，B，C，D，DA平面ABC，ABBC，DAABBC，则球O的体积等于_【解析】如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以2R，所以R，故球O的体积V.【反思】构造法是一种创造性思维，是综合运
7、用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法四题型演练1若数列是正项数列，且 ，则_【答案】【方法总结】：本题主要考查的知识点是数列的概念及简单表示法。通过已知的条件求出数列的通项公式，然后化简所求的数列的各项，最后再利用等差数列求出数列的和。2在中， 是线段的中点， ， ，则_【答案】【解析】设，则， 3在平面上， ，且， 若，则的取值范围是_【答案】.【解析】分别以、为、轴建立直角坐标系，设，由得.设，由得， ，两式相加得，即，于是，又 ，故 ，即的取值范围是.4在的展开式中， 的系数为_(用
8、数字作答)【答案】31【解析】展开式中含有的项有： 五项， 的系数为.5在中，内角所对的边分别为,已知，且，则面积的最大值为_【答案】.6甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试，考试成绩采用等级制（分为三个层次），得的同学直接进入第二轮考试从评委处得知，三名同学中只有一人获得三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下：甲说：看丙的状态，他只能得或；乙说：我肯定得；丙说：今天我的确没有发挥好，我赞同甲的预测事实证明：在这三名同学中，只有一人的预测不准确，那么得的同学是_【答案】甲.【解析】若得的同学是甲，则甲、丙预测都准确，乙预测不准确，符合题意；若得的同学是乙，则甲、乙、丙预测都准确
9、，不符合题意；若得的同学是丙，则甲、乙、丙预测都不准确，不符合题意。综上，得的同学是甲.7已知实数满足约束条件，则的最小值是_【答案】.【解析】约束条件表示的平面区域为封闭的三角形，求出三角形的三个顶点坐标分别为、，带入所得值分别为、，故的最小值是.另，作出可行域如下：由得，当直线经过点时，截距取得最大值，此时取得最小值，为.【方法总结】：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.8已知点圆上,点在椭
10、圆上移动,则的最大值为_.【答案】7【方法总结】：本题考查椭圆、圆的方程、二次函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，考查计算能力以及转化思想，属于中档题；求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出， 两点间的最大距离.9已知函数,曲线在点处的切线方程为_.【答案】【解析】由函数可得， ，即切线的斜率，切线方程为，故答案为.【方法总结】：本题考查导数的几何意义即函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率，切线方程的求法，考查计算能力；我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来.10已知直线
11、的参数方程为（为参数）,以平面直角坐标系的坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,则直线与曲线的位置关系是_.【答案】相切11已知定点, 为抛物线的焦点,点在该抛物线上移动,当取最小值时,点的坐标为_.【答案】【解析】由抛物线方程可知焦点，准线方程为，设在抛物线准线方程上射影为，点到准线的距离与到焦点距离相等，当，代入抛物线方程求得，点抛物线的内部，当， ， 三点共线时， 的值最小，此时，此时的纵坐标为4， ，即的坐标为，故答案为.【方法总结】：本题主要考查了抛物线的基本性质，解题的关键是利用抛物线的定义；先由抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线方程，判断点在抛物线
12、内部，设在抛物线准线方程上射影为，根据抛物线的定义可知，分析， ， 三点共线时， 的值最小.12小李从网上购买了一件商品，快递员计划在5:00-6:00之间送货上门.已知小李下班到家的时间为下午5:30-6:00.快递员到小李家时，如果小李未到家，就将商品存放到快递柜中，则小李需要去快递柜收取商品的概率等于_【答案】【解析】如图所示， 轴表示快递员送货的试卷， 轴表示小李到家的时间，图中的矩形区域为所有可能的时间组合，阴影部分为满足小李需要去快递柜收取商品的时间，结合几何概型公式可得小李需要去快递柜收取商品的概率： .【方法总结】：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法用图解题的关键
13、：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.13已知四棱锥的侧棱长都相等，且底面是边长为的正方形，它的五个顶点都在直径为10的球面上，则四棱锥的体积为_【答案】6或5414已知半径为的球内有一个内接四棱锥，四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥的体积最大时，它的底面边长等于_ 【答案】4【解析】如图，设四棱锥的侧棱长为，底面正方形的边长为，棱锥的高为由题意可得顶点在地面上的射影为底面正方形的中心，则球心在高上在中， ，整理得又在中，有，设，则，当时， 单调递增，当时， 单调递减当时取得最大值，
14、即四棱锥的体积取得最大值，此时，解得四棱锥的体积最大时，底面边长等于4答案:415在中，角的对边分别为，设的面积为，若，则的最大值为_【答案】【解析】由题得【方法总结】:本题的难在解题思路,第一个难点就是把中的分母化简成,第二个难点是得到后，如何求tanA的最大值. 转化成利用基本不等式求cosA的最大值.16已知函数，由是奇函数，可得函数的图象关于点对称，类比这一结论，可得函数的图象关于点_对称.【答案】【解析】由题得所以是奇函数，所以函数的图象关于点对称.故填.17设函数，则使成立的的取值范围是_.【答案】【方法总结】：本题考查了函数的单调性、奇偶性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的
15、奇偶性和函数的单调性，转化为不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于解函数不等式：首先根据函数的单调性和奇偶性把函数的“”去掉，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内是试题的易错点.18如图，在三角形中， 、分别是边、的中点，点在直线上，且 ，则代数式的最小值为_【答案】【解析】不妨设为直角,且,以分别为轴,此时为点的坐标, 表示到原点的距离,最短时为点到直线的距离,由于是中位线,故最短的等于点到距离的一半,即.19已知函数， e (e是自然对数的底数)，对任意的R，存在，有，则的取值范围为_.【答案】【解析】对任意的R，存在，有等价于.函数，令
16、，得；令，得.函数在上为增函数，在上为减函数e 的对称轴为当，即时， ，即，故无解；当，即时， ，即，此时的取值范围为；当，即时， ，即，此时的取值范围为.综上所述， 的取值范围为.故答案为.20上方右图是一个容量为200的样本的频率分布直方图，请根据图形中的数据填空：(1)样本数据落在范围5，9的可能性为_；(2)样本数据落在范围9，13的频数为_【答案】 0.32 7221如图，圆形纸片的圆心为，半径为cm，该纸片上的正方形的中心为， ， ， ， 为圆上的点， ， ， ， 分别以， ， ， 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以， ， ， 为折痕折起， ， ， ，使得， ， ， 重合，得
17、到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的倍时，该四棱锥的外接球的体积为_【答案】 【解析】如图：连接OE交AB于点I，设E，F，G，H重合于点P，正方形的边长为x，则OI=， .因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，所以，解得设该四棱锥的外接球的球心为Q，半径为R，则， ，解得，外接球的体积 22已知数列，且， 若，则_设是数列的前项和，则_【答案】 【解析】由已知可得， ， ，当时， ，（舍去），当时， ，解得，满足条件故由， ， ，得：，当时， ，故，当时， ，则， ，故答案为(1) ， (2) 23执行如图所示的程序框图，若输入的， 分别为， ，则输出的_【答案】【解析】执行程序，可得，
18、 ； ， ， ，不满足条件，执行循环体， ， ， ，不满足条件，执行循环体， ， ， ，满足条件，推出循环，输出,故答案为【方法】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.24设， ，称为， 的平方平均数， 为， 的调和平均数如图， 为线段上
19、的点，且， ， 为中点，以为直径作圆过点， 分别作的垂线，交圆于， 两点连结， 过点作的垂线，垂足为已知图中线段的长度是， 的算术平均数，线段的长度是， 的几何平均数则图中所示线段中，线段_的长度是， 的平方平均数，线段_的长度是， 的调和平均数【答案】 25如图，飞机的航线和山顶在同一个铅锤平面内，已知飞机的高度为海拔，速度为，飞行员先看到山顶的俯角为，经过后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为_【答案】【解析】如图，在等腰三角形中， ，故山顶的海拔高度为【方法总结】：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意
20、图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.26如图是的导函数的图象,则的极小值点的个数为_.【答案】【解析】极小值是左减右增,故时,函数取得极小值,故极小值点有个.27已知正实数满足且,则的最小值为_.【答案】【方法总结】当时， (当且仅当时取“”号).利用基本不等式求最值满足条件：一正、二定、三相等.28如图,正方形的边长为2, 为的中点,射线从出发,绕着点顺时针方向旋转至,在旋转的过程中,记为 所经过正方形内的区域（阴影部分）的面积,那么对于有以下三个结论:对任意都有任意且
21、都有.其中所有正确的序号是_.【答案】当时， ，则，即正确，由图象的对称性可知，即正确，显然当时， 为增函数，即错误.故填.29已知函数在上具有单调性,则实数的取值范围是_.【答案】【解析】因为函数 在上具有单调性，所以或，解得.【方法总结】本题考查分段函数的单调性.在已知分段函数的单调性求有关参数问题时，往往只重视各段上的单调性相同，但忽视两段函数的分界点对应函数值的大小关系.30(2017全国卷改编)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯_盏.【答案】3
