1、题组层级快练(七十一)1设a0为常数，动点M(x，y)(y0)分别与两定点F1(a,0)，F2(a,0)的连线的斜率之积为定值，若点M的轨迹是离心率为的双曲线，则的值为()A2B2C3 D.答案A解析轨迹方程为，整理，得1(0)，c2a2(1)，13，2，故选A.2(2015山东青岛一模)如图，从点M(x0,4)发出的光线，沿平行于抛物线y28x的对称轴方向射向此抛物线上的点P，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q，再经抛物线反射后射向直线l：xy100上的点N，经直线反射后又回到点M，则x0等于()A5 B6C7 D8答案B解析由题意可知，p4，F(2,0)，P(2,4)，Q(2，4)
2、，QN：y4，直线QN，MN关于l：xy100对称，即直线l平分直线QN，MN的夹角，所以直线MN垂直于x轴，解得N(6，4)，故x0等于6.故选B.3(2014江苏南通一模)在平面直角坐标系xOy中，已知定点F(1,0)，点P在y轴上运动，点M在x轴上，点N为平面内的动点，且满足0，0.(1)求动点N的轨迹C的方程；(2)设点Q是直线l：x1上任意一点，过点Q作轨迹C的两条切线QS，QT，切点分别为S，T，设切线QS，QT的斜率分别为k1，k2，直线QF的斜率为k0，求证：k1k22k0.答案(1)y24x(2)略解析(1)设点N(x，y)，M(a,0)，P(0，b)由0可知，点P是MN的中
3、点所以即所以点M(x,0)，P(0，)所以(x，)，(1，)由0，可得x0，即y24x.所以动点N的轨迹C的方程为y24x.(2)设点Q(1，t)，由于过点Q的直线ytk(x1)与轨迹C：y24x相切，联立方程整理，得k2x22(k2kt2)x(kt)20.则4(k2kt2)24k2(kt)20，化简得k2tk10.显然，k1，k2是关于k的方程k2tk10的两个根，所以k1k2t.又k0，故k1k22k0.所以命题得证4(2015北京海淀二模)已知椭圆G的离心率为，其短轴两端点为A(0,1)，B(0，1)(1)求椭圆G的方程；(2)若C，D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点，直线AC，BD与
4、x轴分别交于点M，N.判断以MN为直径的圆是否过点A，并说明理由答案(1)y21(2)不过点A解析(1)由已知可设椭圆G的方程为1(a1)由e，可得e2，解得a22.所以椭圆的标准方程为y21.(2)方法一：设C(x0，y0)，且x00，则D(x0，y0)因为A(0,1)，B(0，1)，所以直线AC的方程为yx1.令y0，得xM，所以M(，0)同理，直线BD的方程为yx1，求得N(，0)(，1)，(，1)，所以1.由C(x0，y0)在椭圆G：y21上，所以x2(1y)所以10，所以MAN90.所以以线段MN为直径的圆不过点A.方法二：因为C，D关于y轴对称，且B在y轴上，所以CBADBA.因为
5、N在x轴上，又A(0,1)，B(0，1)关于x轴对称，所以NABNBACBA.所以BCAN，所以NAC180ACB.设C(x0，y0)，且x00，则x2(1y)因为(x0,1y0)(x0，1y0)x(y1)x0，所以ACBb0)与双曲线1(1v4)有公共焦点，过椭圆C的右顶点B任意作直线l，设直线l交抛物线y22x于P，Q两点，且OPOQ.(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C上，是否存在点R(m，n)，使得直线l：mxny1与圆O：x2y21相交于不同的两点M，N，且OMN的面积最大？若存在，求出点R的坐标及对应的OMN的面积；若不存在，请说明理由答案(1)y21(2)(，)或(，)，SOMN
6、解析(1)1v4，双曲线的焦点在x轴上设F(c,0)，则c24vv13.由椭圆C与双曲线共焦点，知a2b23.设直线l的方程为xtya，代入y22x并整理，得y22ty2a0.则y1y22t，y1y22a.x1x2y1y2(ty1a)(ty2a)y1y2(t21)y1y2at(y1y2)a2(t21)(2a)2at2a2a22a0.解得a2，b1.故椭圆C的方程为y21.(2)方法一：假设存在点R(m，n)满足题意，则n21，即m244n2.设圆心到直线l的距离为d，则d1，且d.又|MN|2，SOMN|MN|d2dd.当且仅当d，即d时，SOMN取得最大值.由d，得m2n22.联立得故存在点R满足题意，坐标为(，)或(，)或(，)或(，)，此时OMN的面积为.方法二：SOMN|OM|ON|sinMON，当MON90时，SMON取最大值.此时O到l的距离d，m2n22.又n21，解得m2，n2.故存在点R的坐标为(，)或(，)或(，)或(，)，此时OMN的面积为.
