1、第三节用样本估计总体 考纲传真1.了解分布的意义与作用，能根据概率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点.2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释.4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征理解用样本估计总体的思想，会用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题1频率分布直方图(1)频率分布表的画法：第一步：求极差，决定组数和组距，组距；第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表
2、(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图931)图931横轴表示样本数据，纵轴表示，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率2茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数. 3样本的数字特征数字特征定义众数在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数 中位数将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等平均数样本数据的算术平均数，即方差s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中s为标准差1(思考辨析)判断下列结论的正误(
3、正确的打“”，错误的打“”)(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势()(2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中. ()(3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越高()(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次()解析(1)正确平均数、众数与中位数都在一定程度上反映了数据的集中趋势(2)错误方差越大，这组数据越离散(3)正确小矩形的面积组距频率(4)错误茎相同的数据，叶可不用按从小到大的顺序写，相同的数据叶要重复记录，故(4)错误答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)若某校高一年级8
4、个班参加合唱比赛的得分如茎叶图932所示，则这组数据的中位数和平均数分别是()图932A91.5和91.5B91.5和92C91和91.5D92和92A这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96.中位数是91.5，平均数91.5.3(2017南昌二模)如图933所示是一样本的频率分布直方图若样本容量为100，则样本数据在15,20)内的频数是()图933A50B40C30D14C因为15,20对应的小矩形的面积为10.0450.150.3，所以样本落在15,20的频数为0.310030，故选C.4(2016江苏高考)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，
5、则该组数据的方差是_015个数的平均数5.1，所以它们的方差s2(4.75.1)2(4.85.1)2(5.15.1)2(5.45.1)2(5.55.1)20.1.5(2017山东淄博模拟)某校女子篮球队7名运动员身高(单位：cm)分布的茎叶图如图934，已知记录的平均身高为175 cm，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数字记为x，那么x的值为_图9342170(12x451011)175，则(33x)5，即33x35，解得x2.样本的数字特征(1)(2015广东高考)已知样本数据x1，x2，xn的均值5，则样本数据2x11,2x21，2xn1的均值为_(2)某企业有甲、乙
6、两个研发小组为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，)，(a，b)，(，b)，(，)，(a，b)，(a，b)，(a，)，(，b)，(a，)，(，)，(a，b)，(a，)，(，b)，(a，b)其中a，分别表示甲组研发成功和失败；b，分别表示乙组研发成功和失败若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差并比较甲、乙两组的研发水平；若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率(1)11由条件知5，则所求均值02125111.(2)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1
7、,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均数为甲.3分方差s.乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均数为乙.方差s.因为甲乙，ss，所以甲组的研发水平优于乙组.6分记E恰有一组研发成功在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a，)，(，b)，(a，)，(，b)，(a，)，(a，)，(，b)，共7个因此事件E发生的概率为.用频率估计概率，即得所求概率为P(E).12分规律方法1.平均数反映了数据的中心，是平均水平，而方差和标准差反映的是数据围绕平均数的波动大小进行均值与方差的计算，关键是正确运用公式. 2可以通过比较甲、乙两组样本数据
8、的平均数和方差的差异，对甲、乙两品种做出评价或选择变式训练1(2017郑州模拟)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：)制成如图935所示的茎叶图考虑以下结论：图935甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； 甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差其中根据茎叶图能得到的统计结论的序号为 ()ABCDB甲地5天的气温为：26,28,29,31,31，其平均数为甲29；方差为s(2629)2(
9、2829)2(2929)2(3129)2(3129)23.6；标准差为s甲.乙地5天的气温为：28,29,30,31,32，其平均数为乙30；方差为s(2830)2(2930)2(3030)2(3130)2(3230)22；标准差为s乙.甲乙，s甲s乙茎叶图及其应用(2014全国卷)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：甲部门乙部门359440448975122456677789976653321106011234688988777665555544433321007001134496655200
10、8123345632220901145610000(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价解(1)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.3分50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故样本中位数为67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.5分(2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为0
11、.1，0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1,0.16.8分(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大.12分规律方法1.茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况2(1)作样本的茎叶图时，先要根据数据特点确定茎、叶，再作茎叶图；作“叶”时，要做到不重不漏，一般由内向外，从小到大排列，便于数据的处理(2)根据茎叶图中数据的数字特征进行分析判断
12、，考查识图能力、判断推理能力和创新应用意识；解题的关键是抓住“叶”的分布特征，准确提炼信息变式训练2(2017雅礼中学质检)已知甲、乙两组数据如茎叶图936所示，若两组数据的中位数相同，平均数也相同，那么mn_. 【导学号：31222364】图93611两组数据的中位数相同，m3.又两组数据的平均数也相同，n8，因此mn11.频率分布直方图角度1利用分布直方图求频率、频数(2016山东高考)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图937所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组为17.5,20)，20,22.5)，22.5,25)，25,27
13、.5)，27.5,30根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()图937A56B60C120D140D由直方图可知每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04)2.50.7，则每周自习时间不少于22.5小时的人数为0.7200140.故选D.角度2用频率分布直方图估计总体(2016四川高考)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)将数据按照0，0.5)，0.5,1)，4,4.5分成9组，制成了如图938所示的频率分布直方图图938(1)求直方图中
14、a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数解(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在0,0.5)的频率为0.080.50.04，同理，在0.5,1)，1.5,2)，2,2.5)，3,3.5)，3.5,4)，4,4.5组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1(0.040.080.210.250.060.040.02)0.5a0.5a，解得a0.30.5分(2)由(1)知，该市100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.060.040.020.12.由以上样本的频率分布，可以估计30
15、万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 0000.1236 000.8分(3)设中位数为x吨因为前5组的频率之和为0.040.080.150.210.250.730.5，而前4组的频率之和为0.040.080.150.210.480.5，所以2x2.5.10分由0.50(x2)0.50.48，解得x2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.12分规律方法1.准确理解频率分布直方图的数据特点，频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，易误认为纵轴上的数据是各组的频率2(1)例32中抓住频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，这是解题的关键(2)利用样本的频率分布估
16、计总体分布思想与方法1用样本估计总体是统计的基本思想用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用2(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量，与每个样本数据有关，这是中位数、众数所不具有的性质(2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小标准差、方差越大，数据的离散程度就越大(3)茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用图表直观描述样本数据的分布规律的易错与防范1使用茎叶图时，要弄清茎叶图的数字特点，切莫混淆茎与叶的含义2利用频率分布直方图求众数、中位数与平均
17、数时，应注意这三者的区分：(1)最高的矩形的中点即众数；(2)中位数左边和右边的直方图的面积是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和3直方图与条形图不要搞混频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误课时分层训练(五十六)用样本估计总体A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1重庆市2016年各月的平均气温()数据的茎叶图如图939，则这组数据的中位数是()图939A19B20C21.5D23B由茎叶图可知这组数据
18、由小到大依次为8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32，所以中位数为20.2我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 ()A134石B169石 C338石D1 365石B254粒和1 543石中夹谷的百分比含量是大致相同的，可据此估计这批米内夹谷的数量设1 534石米内夹谷x石，则由题意知，解得x169.故这批米内夹谷约为169石3某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图9310，数据的分组依次为20,40)，40,60)，60,80)，80,1
19、00若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()图9310A45B50 C55D60B由频率分布直方图，知低于60分的频率为(0.0100.005)200.3.该班学生人数n50.4(2016全国卷)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图图9311中A点表示十月的平均最高气温约为15 ，B点表示四月的平均最低气温约为5 .下面叙述不正确的是()图9311A各月的平均最低气温都在0 以上B七月的平均温差比一月的平均温差大C三月和十一月的平均最高气温基本相同D平均最高气温高于20 的月份有5个D对于选项A，由题图易知各月的平均最低气温都在0 以
20、上，A正确；对于选项B，七月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的平均最高气温点与平均最低气温点的距离，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；对于选项C，三月和十一月的平均最高气温均为10 ，所以C正确；对于选项D，平均最高气温高于20 的月份有七月、八月，共2个月份，故D错误5若样本数据x1，x2，x10的标准差为8，则数据2x11,2x21，2x101的标准差为()A8B15 C16D32C已知样本数据x1，x2，x10的标准差为s8，则s264，数据2x11,2x21，2x101的方差为22s22264，所以其标准差为2816.二、填空题6如图9312所示的茎叶图是甲
21、、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则xy_. 【导学号：31222365】图931210甲85，x6.又乙同学的成绩众数为84，y4.xy10.7为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间80,130上，其频率分布直方图如图9313所示，则在抽测的60株树木中，有_株树木的底部周长小于100 cm. 【导学号：31222366】图931324底部周长在80,90)的频率为0.015100.15，底部周长在90,100)的频率为0.025100.25，样本容量为60，所以树木的底部周
22、长小于100 cm的株数为(0.150.25)6024.8(2017郑州调研)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_2易知甲90，乙90.则s(8790)2(9190)2(9090)2(8990)2(9390)24.s(8990)2(9090)2(9190)2(8890)2(9290)22.三、解答题9(2017郑州调研)某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图9314
23、所示，已知两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为10. 【导学号：31222367】图9314(1)求出m，n的值；(2)求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差s和s，并由此分析两组技工的加工水平解(1)根据题意可知：甲(78101210m)10，乙(9n101112)10，3分m3，n8.5分(2)s(710)2(810)2(1010)2(1210)2(1310)25.2，8分s(810)2(910)2(1010)2(1110)2(1210)22，10分甲乙，ss，甲、乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些.12分10(2016北京高考)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用
24、水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：图9315(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替当w3时，估计该市居民该月的人均水费解(1)由用水量的频率分布直方图，知该市居民该月用水量在区间0.5,1，(1,1.5，(1.5,2，(2,2.5，(2.5,3内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.3分所以该月用水量不超过3立方米的居民
25、占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，w至少定为3.5分(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表如下：组号12345678分组2,4(4,6(6,8(8,10(10,12(12,17(17,22(22,27频率0.10.150.20.250.150.050.050.0510分根据题意，该市居民该月的人均水费估计为40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.0510.5(元).12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9
26、个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示： 【导学号：31222368】图9316则7个剩余分数的方差为()A.B.C36D.B由题意知91，解得x4.所以s2(8791)2(9491)2(9091)2(9191)2(9091)2(9491)2(9191)2(16910190).2(2015湖北高考)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间0.3,0.9内，其频率分布直方图如图9317所示图9317(1)直方图中的a_；(2)在这些购物者中，消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为_(1)3(2)6 00
27、0(1)由0.11.50.12.50.1a0.12.00.10.80.10.21，解得a3.(2)区间0.3,0.5)内的频率为0.11.50.12.50.4，故0.5,0.9内的频率为10.40.6.因此，消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为0.610 0006 000.3(2017广州模拟)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以160,180)，180,200)，200,220)，220,240)，240,260)，260,280)，280,300分组的频率分布直方图如图9318.图9318(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量
28、为220,240)，240,260)，260,280)，280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在220,240)的用户中应抽取多少户？解(1)由(0.0020.009 50.0110.012 5x0.0050.002 5)201，得x0.007 5，直方图中x的值为0.007 5.4分(2)月平均用电量的众数是230.(0.0020.009 50.011)200.450.5，月平均用电量的中位数在220,240)内，设中位数为a，则(0.0020.009 50.011)200.012 5(a220)0.5，解得a224，即中位数为224.8分(3)月平均用电量在220,240)的用户有0.012 52010025(户)，同理可求月平均用电量为240,260)，260,280)，280,300的用户分别有15户、10户、5户，故抽样比为，从月平均用电量在220,240)的用户中应抽取255(户).12分
