1、课后限时集训(五十一)直线与圆、圆与圆的位置关系建议用时:40分钟一、选择题1圆x2y22x4y0与直线2txy22t0(tR)的位置关系为()A相离 B相切C相交 D以上都有可能C直线2txy22t0恒过点(1,2),12(2)2214(2)50,点(1,2)在圆x2y22x4y0内部,直线2txy22t0与圆x2y22x4y0相交2若圆C1:x2y21与圆C2:x2y26x8ym0外切,则m()A21 B19 C9 D11C圆C1的圆心为C1(0,0),半径r11,因为圆C2的方程可化为(x3)2(y4)225m,所以圆C2的圆心为C2(3,4),半径r2(m25)从而|C1C2|5.由两
2、圆外切得|C1C2|r1r2,即15,解得m9,故选C3(2020全国卷)已知圆x2y26x0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A1 B2 C3 D4B将圆的方程x2y26x0化为标准方程(x3)2y29,设圆心为C,则C(3,0),半径r3.设点(1,2)为点A,过点A(1,2)的直线为l,因为(13)2220),所以(2a)2(1a)2a2,即a26a50,解得a1或a5,所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5),所以圆心到直线2xy30的距离为或,故选B5若圆x2y2r2(r0)上恒有4个点到直线xy20的距离为1,则实数r的取值范围是()A(1,) B(1,1)C
3、(0,1) D(0,1)A计算得圆心到直线l的距离为1,如图,直线l:xy20与圆相交,l1,l2与l平行,且与直线l的距离为1,故可以看出,圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离1.6(2020广州模拟)过点P(1,2)作圆C:(x1)2y21的两条切线,切点分别为A,B,则AB所在直线的方程为()Ay ByCy DyB圆(x1)2y21的圆心为(1,0),半径为1,以|PC|2为直径的圆的方程为(x1)2(y1)21,将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y10,即y.二、填空题7(2018全国卷)直线yx1与圆x2y22y30交于A,B两点,则|AB| .2由题意知圆的标准方程为x2(y
4、1)24,所以圆心坐标为(0,1),半径为2,则圆心到直线yx1的距离d,所以|AB|22.8(2019浙江高考)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2xy30与圆C相切于点A(2,1),则m ,r .2如图,由圆心与切点的连线与切线垂直,得,解得m2.圆心为(0,2),则半径r.9(2020安庆模拟)已知圆C:x2y21,直线l:axy40.若直线l上存在点M,以M为圆心且半径为1的圆与圆C有公共点,则a的取值范围是 (,)直线l上存在点M,以M为圆心且半径为1的圆与圆C有公共点,则|MC|2,只需|MC|min2,即圆C:x2y21的圆心到直线l:axy40的距离d2,即d2
5、,解得a或a.三、解答题10(2020三明模拟)已知圆C:x2y28y120,直线l:axy2a0.(1)当a为何值时,直线与圆C相切?(2)当直线与圆C相交于A,B两点,且|AB|2时,求直线的方程解(1)圆C的标准方程为x2(y4)24,圆心C的坐标为(0,4),半径长为2,当直线l与圆C相切时,则2,解得a.(2)由题意知,圆心C到直线l的距离为d,由点到直线的距离公式可得d,整理得a28a70,解得a1或7.因此,直线l的方程为xy20或7xy140.11圆O1的方程为x2(y1)24,圆O2的圆心坐标为(2,1)(1)若圆O1与圆O2外切,求圆O2的方程;(2)若圆O1与圆O2相交于
6、A,B两点,且|AB|2,求圆O2的方程解(1)因为圆O1的方程为x2(y1)24,所以圆心O1(0,1),半径r12.设圆O2的半径为r2,由两圆外切知|O1O2|r1r2.又|O1O2|2,所以r2|O1O2|r122.所以圆O2的方程为(x2)2(y1)2128.(2)设圆O2的方程为(x2)2(y1)2r,又圆O1的方程为x2(y1)24,相减得AB所在的直线方程为4x4yr80.设线段AB的中点为H,因为r12,所以|O1H|.又|O1H|,所以,解得r4或r20.所以圆O2的方程为(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)220.1一条光线从点(2,3)射出,经y轴反射后与圆(x3
7、)2(y2)21相切,则反射光线所在直线的斜率为()A或 B或C或 D或 D圆(x3)2(y2)21的圆心为(3,2),半径r1.作出点(2,3)关于y轴的对称点(2,3)由题意可知,反射光线的反向延长线一定经过点(2,3)设反射光线的斜率为k,则反射光线所在直线的方程为y(3)k(x2),即kxy2k30.由反射光线与圆相切可得1,即|5k5|,整理得12k225k120,即(3k4)(4k3)0,解得k或k.故选D2(2020昆明模拟)已知直线yax与圆C:x2y26y60相交于A,B两点,C为圆心若ABC为等边三角形,则a的值为 根据题意,圆C:x2y26y60即x2(y3)23,其圆心
8、为(0,3),半径r,直线yax与圆C:x2y26y60相交于A,B两点,若ABC为等边三角形,则圆心C到直线yax的距离d,则有,解得a.3已知点P(2,2),圆C:x2y28y0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点(1)求点M的轨迹方程;(2)当|OP|OM|时,求l的方程及POM的面积解(1)由x2y28y0得x2(y4)216,圆C的圆心坐标为(0,4),半径为4.设M(x,y),则(x,y4),(2x,2y)由题意可得0,即x(2x)(y4)(2y)0.整理得(x1)2(y3)22.所以点M的轨迹方程为(x1)2(y3)22.(2)由(1)知M的轨
9、迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆,由于|OP|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ONPM.又kON3,故直线l的斜率为,所以直线PM的方程为y2(x2),即x3y80.则O到直线l的距离为.又N到l的距离为,|PM|2.SPOM.1在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y2x4,设圆C的半径为1,圆心在l上若圆C上存在点M,使MA2MO,则圆心C的横坐标a的取值范围是()A B0,1 C DA因为圆心在直线y2x4上,所以圆C的方程为(xa)2y2(a2)21,设点M(x,y),因为MA2MO,所以2,化简得x2y22y30,即x2(y1)24,所以点M
10、在以D(0,1)为圆心,2为半径的圆上由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|21|CD|21,即13.由1得5a212a80,解得aR;由3得5a212a0,解得0a.所以点C的横坐标a的取值范围为.故选A2(2020海淀模拟)在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,以O为圆心的圆与直线xy40相切(1)求圆O的方程;(2)直线l:ykx3与圆O交于A,B两点,在圆O上是否存在一点M,使得四边形OAMB为菱形?若存在,求出此时直线l的斜率;若不存在,说明理由解(1)设圆O的半径长为r,因为直线xy40与圆O相切,所以 r2. 所以圆O的方程为 x2y24.(2)假设存在点M,使得四边形OAMB为菱形,则OM与AB互相垂直且平分,所以原点O到直线l:ykx3的距离d|OM|1.所以1,解得k28,即k2,经验证满足条件所以存在点M,使得四边形OAMB为菱形,此时直线l的斜率为2