1、要点导学各个击破正弦定理的直接应用在ABC中,已知a=3,b=2,B=2A.(1) 求cosA的值;(2) 求c的值.思维引导(1) 结合已知条件,利用正弦定理构造关系式,解决问题的关键在于条件“B=2A”的运用;(2) 求出sinA,sinC,结合正弦定理即可求得c.解答(1) 因为a=3,b=2,B=2A,所以在ABC中,由正弦定理得=,所以=,故cosA=.(2) 由(1)知cosA=,所以sinA=.又因为B=2A,所以cosB=cos2A=2cos2A-1=,所以sinB=.在ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=.由正弦定理得c=5.精要点评解三
2、角形时,正弦定理是一个重要的工具.在结合正弦定理解三角形时,要注意:其一,什么条件下用;其二,怎么用;其三,如何灵活恰当地运用.特别是在边角关系转化时对定理的熟练应用.(2014广东卷)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若bcosC+ccosB=2b,则=.答案2解析由正弦定理及bcosC+ccosB=2b,得sinBcosC+sinCcosB=2sinB,即sin(B+C)=2sinB.因为sin(B+C)=sinA,所以sinA=2sinB,利用正弦定理得a=2b,故=2.利用正弦定理判断三角形的形状在ABC中,已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,
3、试判断ABC的形状.思维引导从条件我们容易发现角C可以写成-(A+B),另外注意到两边都是关于边的二次齐次式,因此可以利用正弦定理将边化为角处理.解答由已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC,得b2sin(A-B)+sin(A+B)=a2sin(A+B)-sin(A-B),即b2sinAcosB=a2cosAsinB,即sin2BsinAcosB=sin2AcosAsinB,所以sin2B=sin2A.由于A,B是三角形的内角,故02A2,02B2,所以2A=2B或2A=-2B,即A=B或A+B=.故ABC为等腰三角形或直角三角形.精要点评正弦定理的一个重要作用就是将边化为
4、角处理,借助三角恒等变换得到问题的解.若acosA=bcosB,试判断ABC的形状.解答因为acosA=bcosB,所以sinAcosA=sinBcosB,所以sin2A=sin2B.又因为A,B(0,),所以2A,2B(0,2),所以2A=2B或2A+2B=,所以A=B或A+B=,所以ABC为等腰三角形或直角三角形.正弦定理及面积公式的综合应用(2014重庆卷改编)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足a+b+c=8,sinAcos2+sinBcos2=2sinC,且ABC的面积S=sinC,求a和b的值.思维引导利用降幂公式化简sinAcos2+sinBcos2=2sin
5、C,再利用正弦定理将角的关系转化为边的关系,最后结合三角形面积公式,即可通过解方程组得出a和b的值.解答由sinAcos2+sinBcos2=2sinC,得sinA+sinB=2sinC,化简得sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC.因为sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC,所以sinA+sinB=3sinC,由正弦定理可知a+b=3c.又a+b+c=8,所以a+b=6.由于S=absinC=sinC,所以ab=9,结合解得a=b=3.精要点评(1) 解决此类问题,要根据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理及其推论,求边角或将边角互化,同时
6、还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.(2) 注意降幂公式和升幂公式在化简过程中的灵活运用.(2014德州模拟)已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(sinA,1),n=(cosA,),且mn.(1) 求角A的大小;(2) 若a=2,b=2,求ABC的面积.思维引导(1)由mn,得sinA=cosA,即tanA=.又A(0,),得到A=.(2)首先由正弦定理可得sinB=,通过讨论ab,得到AB,从而B=或.从而进一步确定ABC的面积.解答(1) 因为mn,所以sinA-cosA=0,即tanA=.因为A(0,),所以A=.(2) 由正弦定理可得sinB=,因
7、为ab,所以ABsinAsinB是准确判断并取舍解的情况的工具.(3) 利用正弦定理将边化为角或者将角化为边处理,这是正弦定理的一种重要作用,正弦定理在此承担了边与角之间互化的桥梁作用.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足ccos B+bcos C=4acos A.(1) 求cos A的值; (2) 若ABC的面积是,求的值.规范答题(1) 利用正弦定理=,得sin Ccos B+sin Bcos C=4sin Acos A,sin(B+C)=4sin Acos A,即sin A=4cos Asin A,所以cos A=.(7分)(2) 由(1)得sin A=,由题意得SA
8、BC=bcsin A=,所以bc=8,所以=bccos A=2.(14分)1. 在ABC中,已知b=4,c=8,B=30,那么a=.答案4解析由正弦定理得sin C=1,所以C=90,A=60.又由正弦定理得a=4.2. 在锐角三角形ABC中,角A,B所对的边分别为a,b.若2asinB=b,则A=.答案解析由2asin B=b及正弦定理得sin A=,因为ABC是锐角三角形,所以A,所以A=.3. 已知=,那么ABC的形状是.答案等腰直角三角形解析由正弦定理及=得tan B=tan C=1,注意到角A,B,C是ABC的内角,所以B=C=,从而A=,ABC是等腰直角三角形.4. (2014福建卷)在ABC中,A=60,AC=4,BC=2,则ABC的面积为.答案2解析由=,得sinB=1,所以B=90,C=180-(A+B)=30,则SABC=ACBCsinC=42sin30=2.温馨提醒趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习(第59-60页).
