1、12 应用举例第1课时 距离测量问题内 容 标 准学 科 素 养1.引导学生认识正、余弦定理是解决测量问题的一种方法2.运用正、余弦定理等知识和方法解决测量距离和长度的实际问题.运用数学建模提升数学运算发展逻辑推理运用直观想象01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识预习教材P1112，思考并完成以下问题知识点 基线的概念与选择原则(1)如何测量一个可到达的点到另一个不可到达点之间的距离？如图 1，测量 AB 的距离提示：测出 AC 与BAC 和ACB.图 1图 2(2)如何测量两个不可到达点之间的距离？如图 2，测量 AB 的距离提示：测出 DC
2、 及ADB，BDC，DCA，ACB.知识梳理(1)基线的定义：在测量上，根据测量需要适当确定的(2)选择基线的原则：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的，使测量具有较高的精确度，一般来说，基线，测量的精确度线段基线长度越长越高自我检测1轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时同时离开海港 O，两船航行方向的夹角为 120，两船的航行速度分别为 25 n mile/h,15 n mile/h，则 14 时两船之间的距离是()A50 n mile B70 n mileC90 n mile D110 n mile答案：B2A，B 两点间有一小山，先选定能直接到达点 A，B 的点 C，并测得 AC60
3、 m，BC160 m，ACB60，则 A，B 两点间的距离为_答案：140 m探究一 测量一个不可到达点的距离阅读教材 P11例 1测量器材：米尺、测角仪方法步骤：(1)在河的一岸选基线 AC.(2)测出基线长 AC.(3)测量角度BAC 和ACB.(4)利用正弦定理计算 AB.例 1 如图，一名学生在河岸紧靠岸边笔直行走，开始在 A 处，经观察，在河的对岸有一参照物 C，与学生前进方向成 30角，学生前进 200 m 后到达点 B，测得该参照物与前进方向成 75角求点 A 与参照物 C 的距离解析 由题意得 AB200 m，ABC105，BCA45.由正弦定理得 ABsin 45ACsin
4、105，ACABsin 105sin 45200 2 6422100(1 3)，即 A 与 C 的距离为 100(1 3)m.延伸探究 如果本例条件不变，求河的宽度解析：作 CDAB 于 D 点(图略)，由于CAB30，CD12AC50(1 3)(m)即河的宽度为 50(1 3)m.方法技巧 测量从一个可到达的点与一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理去解决 探究二 测量不可到达的两点间的距离阅读教材 P11例 1测量器材：米尺、测角仪方法步骤：(1)选基线 CD，并测量长度(2)测角度BCA，ACD，CDB，BDA.(3)用正弦定理计算
5、 AC，BC.(4)用余弦定理计算 AB.例 2 某基地进行实兵对抗演习，红方为了准确分析战场形势，从相距 32 a km 的军事基地 C 和 D 处测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和 B 处，且ADB30，BDC30，DCA60，ACB45，如图所示，求蓝方这两支精锐部队间的距离解析 ADCADBBDC60.ACD60，DAC60，ADCD 32 a km.在BCD 中，DBC1803010545，由正弦定理BDsinBCDCDsinDBC，得 BDCDsinBCDsinDBC 32 a6 24223 34a(km)在ADB 中，由余弦定理得AB2AD2BD22ADBDcosADB34a2(
6、3 34a)223 34a 32 a 32 38a2，AB 64 a km.故蓝方这两支精锐部队间的距离为 64 a km.方法技巧 测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是先把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，再把求未知的边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，最后运用正弦定理解决问题其实质是综合应用正、余弦定理求解边长跟踪探究 1如图，对于河对岸 A、B 两点，给出不同于本例题解法的另外一种测量方法解析：测量者可以在河岸边选定点 E，C，D，使 A，E，C 及 D，E，B 三点共线，测得 ECa，EDb，并且分别测得BECAED，BCA，ADB，在AED 和BEC
7、 中，应用正弦定理得AEbsin sin bsin sin，BEasin sin asin sin.在ABE 中，应用余弦定理计算出 A，B 两点间的距离AB AE2BE22AEBEcos.探究三 测量不通、不可视的两点间的距离阅读教材 P24 A 组第 3 题如图，在铁路建设中需要确定隧道的长度和隧道两端的施工方向已测得隧道两端的两点 A，B 到某一点C 的距离 a，b 及ACB，求A，B 两点的距离，以及ABC，BAC.解析：AB a2b22abcos，cosABCa2AB2b22aAB2a22abcos 2a a2b22abcos abcos a2b22abcos，从而确定ABC 的大小
8、则BACABC.例 3 如图所示，为了开凿隧道，要测量隧道上 DE 间的距离，为此在山的一侧选取适当的点 C，测量 AC400 m，BC600 m，ACB60，又测得 A，B 两点到隧道口的距离 AD80 m，BE40 m(点 A，D，E，B 在同一直线上)，试计算隧道 DE 的长(精确到 1 m)解析 在ABC 中，由余弦定理可得AB2AC2BC22ACBCcosACB40026002240060012280 000，AB200 7，DEABADEB200 78040409(m)方法技巧 此类问题是已知三角形的两边及夹角求第三边问题，故直接用余弦定理跟踪探究 2如图所示，为了测量某湖泊两侧
9、A，B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A，B 不共线的一点 C，然后给出了三种测量方案：(ABC 的角 A，B，C 所对的边分别记为 a，b，c)测量 A，B，b 测量 a，b，C 测量 A，B，a.则一定能确定 A，B 间距离的所有方案的个数为()A3 B2 C1 D0解析：ABbsinABsin B；AB a2b22abcos C；ABasinABsin A.答案：A探究四 海平面上两点间的距离阅读教材 P19习题 A 组第 1 题如图，货轮在海上以35 n mile/h 的速度沿着方位角为 148的方向航行为了确定船位，在 B 点观察灯塔 A 的方位角是 126，航行半小时后到达 C
10、点，观察灯塔 A 的方位角是 78.求货轮到达 C 点时与灯塔 A 的距离解析：在ABC 中，ABC14812622，BAC1267848，BC352.由正弦定理 BCsin 48 ACsin 22，故 AC35sin 222sin 48.例 4 一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在 A 处获悉后，即测出该商船在方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为 45距离 10 海里的 C 处，并沿方位角为 105的方向，以 9 海里/时的速度航行“黄山”舰立即以 21 海里/时的速度前去营救并在 B 处追上商船求“黄山”舰追上商船所
11、需要的最短时间及所经过的路程解析 如图所示，A，B，C 构成一个三角形设所需时间为 t 小时，则 AB21t，BC9t.又已知 AC10，依题意知，ACB120.由余弦定理，得 AB2AC2BC22ACBCcosACB，所以(21t)2102(9t)22109tcos 120，所以(21t)210081t290t，即 360t290t1000.所以 t23或 t 512(舍去)所以 AB212314(海里)即“黄山”舰需要用23小时追上商船，共航行 14 海里方法技巧 根据题意，画出适合的三角形，找出已知与所求，结合余弦定理解三角形课后小结(1)运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达
12、点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”是测量“两个不可到达点间的距离”的基础，这两类测量距离的题型间既有联系又有区别(2)正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解素养培优1对题意理解不清或定理记忆不准确致误如图所示，为了在一条河上建一座桥，施工前先要在河两
13、岸打上两个桥位桩 A，B，若要测量 A，B 两点之间的距离，需要测量人员在岸边定出基线 BC，现测得 BC50 米，ABC105，BCA45，则 A，B 两点的距离为_米易错分析 此类题易将已知条件与三角形的边角关系对应错，或运用定理致错考查了直观想象、数学运算、数学抽象的学科素养自我纠正 在ABC 中，BC50 米，ABC105，BCA45，所以BAC180ABCBCA1801054530.由正弦定理得ABsinBCABCsinBAC，所以 ABBCsinBCAsinBAC50sin 45sin 3050 2.故 A，B 两点间的距离为 50 2米答案：50 22不能正确分类讨论实际问题海事
14、救护船 A 在基地的北偏东 60，与基地相距 100 3 n mile，渔船 B 被困海面，已知 B 距离基地 100 n mile，而且在救护船 A 正西方，则渔船 B 与救护船 A 的距离是_易错分析 此题出错的原因是不能根据题意，分类讨论出具体情况，而丢解考查了直观想象、数学运算的学科素养自我纠正 如图，设基地位于 O 处，则在ABO 中，OA100 3，OB100，BAO30.由正弦定理得：sinABOOAsinBAOOB100 3sin 30100 32，ABO60或 120.(1)当ABO60时，AOB90，所以 ABOBsinBAO 100sin 30200(n mile)(2)当ABO120时，AOB30，所以 ABOB100 n mile.即渔船 B 与救护船 A 的距离是 100 n mile 或 200 n mile.答案：100 n mile 或 200 n mile04 课时 跟踪训练
