1、第二节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题第二节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1二元一次不等式表示的平面区域(1)二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线l：AxByC0某一侧所有点组成的_，直线l应画成_，AxByC0，表示直线l_所有点组成的_，画不等式AxByC0(或0)所表示的平面区域时，应把边界直线画成_平面区域虚线另一侧平面区域实线(2)若点P(x0，y0)与点P1(x1，y1)在直线l：AxByC0的同侧，则Ax0By0C与Ax1By1C_；若点P(x0，y0)与点P
2、1(x1，y1)在直线l：AxByC0的异侧，则Ax0By0C与Ax1By1C _(3)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的_，即各个不等式所表示的平面区域的_ 同号异号交集公共部分2线性规划设 z2xy(x，y 为变量)，满足下列条件：x4y33x5y25x1，求 z2xy 的最大值、最小值这就是一个_，其中不等式组又称_ z2xy叫做_，又叫线性目标函数一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，线性规划问题线性约束条件目标函数统称为线性规划问题满足线性约束条件的解(x，y)叫做_，由所有可行解组成的集合叫做_，分别使目标函数取得最大值或最小值的
3、可行解，都叫做这个线性规划问题的_ 可行解可行域最优解思考感悟目标函数zaxby求最大值时就是把直线axby0向上平移可找到最大值，这种说法是否正确？提示：不一定正确若b0正确，若b0表示直线的左侧区域；右侧区域；上方区域；下方区域其中正确的是_答案：2(2011年南京调研)若AxBy50AxByC 0 及B0AxByC0AxByC0 及B0 表示直线 AxByC0 下方的区域即 B 的符号及不等式的符号“同号在上，异号在下”本类问题在高考中极少出现只求平面区域的题目，有些问题是在此基础上求区域的面积等有关问题(2009 年高 考安徽 卷改 编)若 不等 式组x0 x3y43xy4所表示的平面
4、区域被直线 ykx43分为面积相等的两部分，求 k 的值例1【思路分析】【解】由图可知，线性规划区域为ABC 边界及内部，ykx43恰过 C(0，43)，ykx43将区域平均分成面积相等两部分，故过 AB 的中点 D(12，52)，52k1243，k73.【名师点评】画直线时，注意找准两点，确定区域，一定要取恰当的易于判断的点，注意找准区域的边界是实线还是虚线，以防错误求不等式组表示的平面区域的面积，通常是先作出可行域，然后将可行域分割成规则几何图形(如三角形、矩形、梯形等)，进而利用相应的面积公式求解变式训练 1 若 A 为不等式组x0y0yx2表示的平面区域，则当 a 从2 连续变化到 1
5、 时，动直线 xya 扫过 A 中的那部分区域的面积为_解析：根据题意作图如图图中阴影部分为所求的区域，设其面积为 S，SSAODSABC12221211274.答案：74线性规划求最值或范围问题 本类问题为高考常考内容，以线性目标函数求最值为主，但目标函数显示有多样性，把常见的情况归类，总结出解题的一般思路是掌握本部分内容的关键，常见的目标函数还有以下几种：(1)x2y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；xa2yb2表示点(x，y)与点(a，b)的距离(2)yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；ybxa表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率这些代数式的几何意义，能使所求问题
6、得以转化，往往是解决问题的关键已知 x、y 满足条件7x5y230 x7y1104xy100，点P(x，y)求：(1)z2xy 的最小值和最大值；(2)y7x4的取值范围；(3)x2y2 的最大值和最小值例2【思路分析】(1)y2xz，平移直线 y2x，求在 y 轴上截距最大和最小值时可求 z 的最大值和最小值；对于(2)，y7x4可以理解为区域内的点与点(4，7)连线的斜率，故可用斜率模型解决；对于(3)，x2y2与距离有关，可用距离模型解决【解】如 图 所 示，画 出 不 等 式 组 7x5y230 x7y1104xy100表示的平面区域：其中 A(4,1)，B(1，6)，C(3,2)(1
7、)先作直线 y2x，向上或向下平移时，可知过 A 点 z 最大，过 B 点时 z 最小zmax2419，zmin2(1)68.(2)y7x4可理解为区域内的点与点 D(4，7)连线的斜率由图可知，连线与直线 BD 重合时，倾斜角最小且为锐角；连线与直线 CD 重合时，倾斜角最大且为锐角kBD13，kCD9，所以y7x4的取值范围为13，9(3)设 ux2y2，则 u为点(x，y)到原点的距离结合不等式所表示的区域，不难知道：点 B 到原点的距离最大，而当(x，y)在原点时，距离为 0.所以 umax(1)2(6)237，umin0.【名师点评】线性规划求最值问题，要充分理解目标函数的几何意义，
8、诸如直线的截距、两点间的距离(或平方)、点到直线的距离、过已知两点的直线斜率等变式训练 2(2009 年高考陕西卷)设 x，y 满足约束条件xy1，xy1，2xy2，则 zx2y 的最小值是_，最大值是_解析：由约束条件画出可行域，如图阴影部分，则 zx2y 与x2y0 平行，经过点(1,0)时，zmin1；过点(3,4)时 zmax32411.答案：1 11线性规划中的实际应用 线性规划中的实际生活问题，是应用题的一类，读懂题意，找出数量间的关系，列出准确的不等式关系，是解题的关键，可以用列表的方法找数量关系本类题在高考中时有出现，不能忽视(2010年高考广东卷)某营养师要为某个儿童预订午餐
9、和晚餐已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？例3【思路分析】由题意可知，本题为线性规划模型应用题，设出变量建立线性约束条件和目标函数，求最值及最优解 x0，y0，12x8y64，6x6y42，6x10y54.即x0，y0，3x2y16，xy
10、7，3x5y27.【解】法一：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z2.5x4y，且x，y满足z在可行域的四个顶点A(9,0)，B(4,3)，C(2,5)，D(0,8)处的值分别是zA2.594022.5，zB2.544322，zC2.524525，zD2.504832.比较知，zB最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求法二：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z2.5x4y，且 x，y 满足 x0，y0，12x8y64，6x6y42，6x10y54.即x0，y
11、0，3x2y16，xy7，3x5y27.让目标函数表示的直线 2.5x4yz 在可行域上平移由此可知 z2.5x4y 在 B(4,3)处取得最小值因此，应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐，就可满足要求【名师点评】解线性规划应用题时，先转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一条l；平移将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；求值解有关方程组求出A点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值方法感悟 方法技巧1解简单线性规划的方法可称为图解法，这种方法是用一族平行直线与某平面区域相交，研究直线在y轴上截
12、距的最大值或最小值，从而求其一次函数的最值2解线性规划问题，正确画出可行域并利用数形结合求最优解是重要一环，故力求作图准确；而在求最优解时，常把视线落在可行域的顶点上3目标函数所对应的直线的斜率，若与约束条件中的某一约束条件所对应的直线斜率相等，则最优解有可能有无数个4解线性规划应用题需从已知条件中建立数学模型，然后利用图解法解决问题，在这个过程中，建立模型需读懂题意，仔细分析，适当引入变量，再利用数学知识解决，求解程序如下：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数zaxbyc；作出可行域；作出直线l0：axby0；确定l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；解相关方程组，求出最优解，从而求
13、出目标函数的最小值或最大值失误防范1目标函数zaxbyc求最值时，平移直线axby0，平移的方向与b的正负有关，易弄错方向b0时向上平移，b0 或 b0，即 z 随直线 yabx 平移时在 y 轴上的截距变大而变大或变大而变小两种情况而最优解往往是可行域、边界直线与直线的交点名师预测 1若不等式组xy30ym1x3表示的平面区域是 一 个 三 角 形，则 实 数 m 的 取 值 范 围 是_解析：如图，当直线 ym 在点A和点B之间移动时(包括过点A的直线，不包含经过点 B 的直线)可行域构成三角形，故 4m6.答案：4,6)2已知 x，y 满足约束条件yxxy1y1，则 z2xy的最大值是_
14、解析：可行域如图，可知点C(2，1)是目标函数z2xy取得最大值的最优解，所以所求最大值为2215.答案：53若实数 x，y 满足2xy0，yx，yxb.且 z2xy 的最小值为 3，则实数 b 的值为_解析：先作出直线 2xy0，yx，yx，然后在 2xy0 上取一点 B，过 B 作 yx 的平行线即得 yxb，可得到如图所示的可行域易知点 B(b3，2b3)是目标函数取得最小值的最优解所以 z2b3 2b3 3，即 b94.答案：944设不等式组xy110，3xy30，5x3y90表示的平面区域为 D.若指数函数 yax 的图象上存在区域 D上的点，则 a 的取值范围是_解析：平面区域 D 如图所示要使指数函数 yax 的图象上存在区域 D 上的点，1a3.答案：(1,3本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
