1、高考资源网（） 您身边的高考专家二一般形式的柯西不等式1.理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西不等式的一般形式2会用三维形式及一般形式的柯西不等式证明有关不等式和求函数的最值等问题1三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2，当且仅当bi0(i1，2，3)或存在一个数k，使得aikbi(i1，2，3)时，等号成立2一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0(i1，2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1，
2、2，n)时，等号成立1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)二维形式的柯西不等式是一般形式的柯西不等式的特殊情况()(2)三维形式的柯西不等式可以由空间向量的几何意义推导出来()(3)柯西不等式中的字母a，b，c，具有轮换对称性，按照一定顺序轮换，式子不变()(4)在应用柯西不等式时，不需要验证等号成立的条件()答案：(1)(2)(3)(4)2已知x，y，z0，且xyz1，则x2y2z2的最小值是()A1BC D3答案：B3设a，b，c0，且abc1，则的最大值是()A1 BC3 D9答案：B4已知a，b，cR，a2b3c6，则a24b29c2的最小值为_解析：由柯西不等式，得(121212
3、)(a24b29c2)(a2b3c)2，即a24b29c212，当a2b3c2时，等号成立，所以a24b29c2的最小值为12.答案：12利用柯西不等式证明不等式(1)设a，b，c为正数，求证abc.(2)设a1，a2，an为实数，b1，b2，bn为正实数，求证：.【证明】(1)(abc)()2()2()2(abc)2，即(abc)(abc)2.因为a，b，cR，所以abc0，所以abc.(2)(b1b2bn)(a1a2an)2.因为b1，b2，bn为正实数，所以b1b2bn0.所以.当且仅当时，等号成立利用柯西不等式证明不等式时常用的技巧(1)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数 (
4、2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序(3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，从而达到使用柯西不等式的目的(4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项.1.已知正数a，b，c，求证：abc.证明：构造两组数ab，bc，ca；ca，ab，bc，则由柯西不等式得abcabcabcabc，即b2c2c2a2a2b2abc(abc)于是abc.2已知a，b，cR，a2b2c21.求证：|abc|.证明：由柯西不等式，得(abc)2(121212)(a2b2c2)3.所以abc，所以|abc|.用三维形式柯西不等式求最值设a，b，c为正数，且a2b3c13，求的最
5、大值【解】因为(a2b3c)()2，所以()213.所以，当且仅当时，等号成立又a2b3c13，所以当a9，b，c时，()max.利用柯西不等式求最值的方法技巧利用柯西不等式可求某些含有约束条件的多变量函数的最值问题，其关键是对原目标函数通过巧变结构、巧拆常数、巧换位置、巧添项等技巧以保证柯西不等式的结构特征且出现常数结果，同时要注意等号成立的条件 设2x3y5z29，求函数的最大值解：根据柯西不等式，有(111)2(2x1)(3y4)(5z6)(111)3(2x3y5z11)340120.故2，当且仅当2x13y45z6，即x，y，z时等号成立此时max2.1对柯西不等式一般形式的说明一般形
6、式的柯西不等式是二维形式 、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方运用时的关键是构造出符合柯西不等式的结构形式2一般形式柯西不等式成立的条件由柯西不等式的证明过程可知0f(x)min0a1xb1a2xb2anxbn0b1b2bn0，或.【规范解答】构造三维柯西不等式求最值(本题满分7分)已知a0，b0，c0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4.(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值【解】(1)因为f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，当且仅当axb时，等号成立又a0，b0，所以
7、|ab|ab，所以f(x)的最小值为abc.又已知f(x)的最小值为4，所以abc4.(3分)(2)由(1)知abc4，由柯西不等式，得(a2b2c2)(491)(23c1)2(abc)216，即a2b2c2.(5分)当且仅当，即a，b，c时等号成立，故a2b2c2的最小值是.(7分)(1)结合本题特征，用绝对值三角不等式求函数f(x)|xa|xb|c的最小值简单快捷非常方便，此外本题也可作出函数f(x)的图象，利用数形结合思想方法求解(2)本题第(2)问的求解显然需要构造三维形式柯西不等式的条件及结构特点，因为现有的两组数为和(a，b，c)，因此需构造一组常数(4，9，1)才能符合三维柯西不
8、等式的条件1若x，y，zR，x2y2z21，求mxyz的最大值解：由柯西不等式得(x2y2z2)()2()2()2(xyz)2，当且仅当时，等号成立，所以3xyz3，因此m的最大值为3.2已知1，2，n是平面凸n边形的内角的弧度数，求证：.证明：由柯西不等式，得(12n)()()2n2.因为12n(n2)，所以，当且仅当12n时，等号成立A基础达标1设a，b，c为正数，且ab4c1，则的最大值为()ABC2 D3解析：选A.由柯西不等式，得()2()2()2()21，所以，当且仅当2时，等号成立故选A.2已知aaa1，xxx1，则a1x1a2x2anxn的最大值为()A1 B2C1 D 不确定
9、解析：选A.因为(a1x1a2x2anxn)2 (aaa)(xxx)111，当且仅当aikxi (i1，2，n)时，等号成立，所以a1x1a2x2anxn的最大值是1.故选A.3已知x23y24z22，则|x3y4z|的最大值为()A2 B4C6 D8解析：选B.由柯西不等式知(x23y24z2)(134)(x3y4z)2，又x23y24z22所以28(x3y4z)2.所以|x3y4z|4.当且仅当x，即xyz时取等号4设a，b，cR，abc6，则的最小值为()A1 B4C6 D9解析：选C.由柯西不等式得(abc)()2()2()236.即636.所以6.故选C.5已知实数x，y，z满足2x
10、y2z60，x2y2z24，则2xyz()A BC D2解析：选B.因为实数x，y，z满足2xy2z60，所以2xy2z6.由柯西不等式可得(x2y2z2)22(1)2(2)2(2xy2z)236，所以x2y2z24.再根据x2y2z24，可得x2y2z24.故有，所以x2y，z2y.再把x2y，z2y代入2xy2z60，求得y，则2xyz4yy2yy.6已知a，b，cR，a2b3c6，则a24b29c2的最小值为_解析：因为a2b3c6，所以1a12b13c6.所以(a24b29c2)(121212)(a2b3c)236，即a24b29c212.当且仅当，即a2，b1，c时取等号答案：127
11、已知2x3yz8，则x2y2z2取得最小值时，x，y，z形成的点(x，y，z)_解析：由柯西不等式(223212)(x2y2z2)(2x3yz)2，即x2y2z2.当且仅当z时等号成立又2x3yz8，解得：x，y，z，所求点为.答案：8已知x，y，zR，xyz1，则的最小值为_解析：利用柯西不等式，因为(xyz)36，所以36，当且仅当x，即x，y，z时，等号成立综上可知，的最小值为36.答案：369设xyz1，求H2x23y2z2的最小值解：因为xyzxy1z，所以由柯西不等式得：(xyz)2(2x23y2z2)，即H1，解得H，等号成立的条件为解得x，y，z.此时，H.综上所述，H的最小值
12、为.10已知|x2y3z|4(x，y，zR)(1)求x2y2z2的最小值；(2)若|a2|(x2y2z2)对满足条件的一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围解：(1)因为(x2y3z)2(122232)(x2y2z2)，且|x2y3z|4(x，y，zR)，所以x2y2z2，当且仅当时取等号即x2y2z2的最小值为.(2)因为x2y2z2的最小值为，所以|a2|4，所以4a24，解得6a2，即a的取值范围为6，2B能力提升1设a，b，c，x，y，z是正数，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，则()ABC D解析：选C.由柯西不等式得，(a2b2c2)，当且仅当时等号成立
13、因为a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，所以等号成立所以.所以.故选C.2边长为a，b，c的三角形ABC，其面积为，外接圆半径R为1，若s，t，则s与t的大小关系是_解析：由已知得absin C，2R2.所以abc1，所以abbcca，由柯西不等式得(abbcca)()2，所以()2.即.当且仅当abc1时等号成立当abc时，三角形ABC的面积为，不满足题意，所以st.答案：st3设x1、x2、xnR且x1x2xn1，求证：.证明：(n1)()(1x11x21xn)()()2()2()2()2()2()2()2(x1x2xn)21，所以.4已知正数x，y，z满足5x4y3z10.(1)求证：5.(2)求9x29y2z2的最小值解：(1)证明：根据柯西不等式，得(4y3z)(3z5x)(5x4y)(5x4y3z)2，当且仅当时，等号成立，因为5x4y3z10，所以5.(2)根据基本不等式，得9x29y2z2223x2y2z2，当且仅当x2y2z2时，等号成立根据柯西不等式，得(x2y2z2)(524232)(5x4y3z)2100，即x2y2z22，当且仅当时，等号成立综上，9x29y2z223218.高考资源网版权所有，侵权必究！
