1、第十篇检测试题(时间:120分钟满分:150分) 【选题明细表】知识点、方法题号计数原理、排列、组合3、5、6、8、9、10二项式定理4、14、18随机事件的概率11互斥事件与对立事件1、7、13古典概型16、17几何概型2条件概率6事件的独立性与独立重复试验15超几何分布12、21二项分布20离散型随机变量的分布列、期望19、20、21、22一、选择题(每小题5分,共60分)1.一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现奇数点,事件B表示向上的一面出现的点数不超过3,事件C表示向上的一面出现的点数不小于4,则(D)(
2、A)A与B是互斥而非对立事件(B)A与B是对立事件(C)B与C是互斥而非对立事件(D)B与C是对立事件解析:事件A与B不互斥且不对立,B与C互斥且对立,故选D.2.(2012年高考广东卷)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是(D)(A)(B)(C)(D)解析:从10到99,这90个两位数中,符合个位数与十位数之和是奇数的有45个,其中个位数为0的有:10、30、50、70、90共5个,由古典概型知:p=.故选D.3.(2013成都高三第一次诊断性检测)继续实施区域发展总体战略,加大对革命老区、民族地区、边疆地区、贫困地区扶持力度,某市教育局再次号召本市重点中学教师
3、和领导自愿到观阁、广兴、天池、龙滩四个边远山区中学支教,得到了积极响应,统计得知各边区学校教师需求情况如表:边区学校教师需求情况观阁中学3名(其中需1名数学教师)广兴中学2名天池中学3名(其中需2名英语教师)龙滩中学3名(均为物理教师)现从大量报名者中选出语文教师2名(包含1名干部),数学教师3名,英语教师3名(包含2名干部)、物理教师3名(包含1名干部),要求向每个学校各派一名干部任组长.则不同的派遣方案有(A)(A)24种(B)28种(C)36种(D)48种解析:由题意,3名物理教师都去龙滩中学,不再考虑.而天池中学需2名英语教师则不能少也不能多,以下先考虑英语老师,第一步,选出1名干部剩
4、余的2名都去天池中学有种方法;第二步,选出的英语干部与语文干部在前两处中学作全排列,有种方法;第三步,数学老师在前三处中学一处1名作全排列,有种方法,最后一名非干部语文教师只有到观阁中学.总之有=24种方法.故选A.4.(2012江西八校联考)若二项式的展开式的第四项是2,而第三项的二项式系数是15,则的取值为(D)(A)(kZ)(B)k-(kZ)(C)k+(kZ)(D)k(kZ)解析:二项式的展开式的第三项的二项式系数是=15,解得n=6,又展开式的第四项是=2,解得tan =,=k,kZ,故选D.5.(2012日照二诊)为纪念抗日战争,某市电视台在沿海城市举办了一场“红色经典”的革命歌曲文
5、艺演出,已知节目单中共有7个节目,为了活跃现场气氛,主办方特地邀请了3位参加过抗美援朝的老战士每人分别演唱一首当年的革命歌曲,要将这3个不同的节目添入节目单,而不改变原来的节目顺序,则不同的安排方式的种数有(B)(A)360(B)720(C)240(D)1440解析:法一(除序法)根据题意,添加3个节目后,节目单中共有10个节目,而原先7个节目的顺序是固定不变的,故可先将这10个节目进行全排列,不同的排列方式有种,而原来7个节目的不同安排方式共有种.故所求的不同安排方式共有=720种,故选B.法二(插空法)原有的7个节目形成8个空,先安排第一位老战士唱歌,则有种不同的安排方式,这样共8个节目,
6、形成9个空,再安排第二位老战士唱歌,有种不同的安排方式,这样共9个节目,形成10个空,最后安排第三位老战士唱歌,共有种不同的安排方式,根据分步计数原理可得,不同的安排方式共有=720种,故选B.6.(2012潍坊模拟)市场上供应的灯泡中,甲厂占70%,乙厂占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格率是80%,则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是(A)(A)0.665(B)0.56(C)0.24(D)0.285解析:记A=“甲厂产品”,B=“合格产品”,则P(A)=0.7,P(B|A)=0.95,P(AB)=P(A)P(B|A)=0.70.95=0.665.故选A.7.掷一个骰
7、子的试验,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A+发生的概率为(C)(A)(B)(C)(D)解析:由于事件总数为6,故P(A)=,P(B)=,从而P()=1-P(B)=1-=,且A与互斥,故P(A+)=P(A)+P()=+=,故选C.8.(2012开封定位评估)2位男生和3位女生共5位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是(B)(A)60(B)48(C)42(D)36解析:第一步选2女相邻排列,第二步相邻2女与男女排列,第三步男生甲插在中间,1种插法,第四步男男生插空(甲不站两端),故有=48种不同排法
8、,故选B.9.(2012东北三省四市联考)在送医下乡活动中,某医院安排3名男医生和2名女医生到三所乡医院工作,每所医院至少安排一名医生,且女医生不安排在同一乡医院工作,则不同的分配方法总数为(B)(A)78 (B)114(C)108(D)120解析:第一类:3名男医生在同一所医院,另2名女医生每人一所医院,共有=6种分配方法;第二类:2名男医生在同一所医院,另一名男医生与一名女医生在一所医院,另一名女医生在另一所医院,共有=36种分配方法;第三类:1名男医生在一所医院,另2名男医生与一名女医生在一所医院,另一名女医生在另一所医院,共有=36种分配方法;第四类:1名男医生在一所医院,另2名男医生
9、与2名女医生各在一所医院(不包括2名女医生在同一所医院),共有=36种分配方法,综上由分类加法计数原理可得不同的分配方法总数为6+36+36+36=114种,故选B.10.(2012苏北四市联考)有3张都标着字母A,6张分别标着数字1,2,3,4,5,6的卡片,若任取其中5张卡片组成牌号,则可以组成的不同牌号的总数等于(用数字作答)(C)(A)3720(B)2820(C)4020(D)2600解析:若无字母A,则有种;若含有一个字母A,则有种;若含有两个字母A,则有种;若含有三个字母A,则有种,综上所述,共有+=4020种,故选C.11.(2013四川石室中学高三一模)已知关于x的方程-2x2
10、+bx+c=0,若b,c0,1,2,3,记“该方程有实数根x1,x2且满足-1x1x22”为事件A,则事件A发生的概率为(C)(A)(B)(C)(D)解析:对任意的b,c0,1,2,3总成立, 要使-1x1x22,则对二次函数f(x)=-2x2+bx+c图象作研究(如图所示).只需即b-c-2且2b+c8,只有与不满足,事件A含基本事件数有44-2=14,基本事件总数为44=16,其概率为P=.故选C.12.(2012金丽衢十二校联考)袋中装有大小完全相同,标号分别为1,2,3,9的九个球.现从袋中随机取出3个球.设为这3个球的标号相邻的组数(例如:若取出球的标号为3,4,5,则有两组相邻的标
11、号3,4和4,5,此时的值是2).则随机变量的数学期望E()为(D)(A)(B)(C)(D)解析:依题意得,的所有可能取值是0,1,2,且P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=,因此E()=0+1+2=,故选D.二、填空题(每小题4分,共16分)13.甲、乙两颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75,则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为.解析:P=1-(1-0.8)(1-0.75)=0.95.答案:0.9514.若=a0x6+a1x5+a2x4+a3x3+a4x2+a5x+a6,则a1+a3+a5=.解析:当x=1时,a0+a1+a2+a3
12、+a4+a5+a6=0,当x=-1时,a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=8,以上两式相减,得2(a1+a3+a5)=-8,a1+a3+a5=-4.答案:-415.甲、乙、丙三人在同一办公室工作,办公室内只有一部电话机,打进该机的电话是打给甲、乙、丙的概率分别是,在一段时间内共打进三个电话,且各个电话之间相互独立,则这三个电话中恰有两个是打给乙的概率是.解析:这是一个n=3,p=的独立重复试验,所以所求事件的概率为P=.答案:16.(2012杭州模拟)有一质地均匀的正四面体,它的四个面上分别标有1,2,3,4四个数字.现将它连续抛掷3次,其底面落于桌面,记三次在正四面体底面的数字和为S,
13、则“S恰好为4”的概率为.解析:本题是一道古典概型问题.用有序实数对(a,b,c)来记连续抛掷3次所得的3个数字,总事件中含444=64个基本事件,取S=a+b+c,事件“S恰好为4”中包含了(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1)三个基本事件,则P(S恰好为4)=.答案:三、解答题(共74分)17.(本小题满分12分)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.(1)求甲、乙两人同时在A岗位服务的概率;(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率.解:(1)记“甲、乙两人同时在A岗位服务”为事件EA,那么P(EA)=.即甲、乙两人同时在A
14、岗位服务的概率是.(2)记“甲、乙两人同时在同一个岗位服务”为事件E,那么P(E)=,所以甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率是P()=1-P(E)=.18.(本小题满分12分)(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.解:Tk+1=(2x)k,由题意有25=26.n=8.(1+2x)8展开式中,二项式系数最大的项为T5=(2x)4=1120x4.设第k+1项的系数最大,则有5k6.kN,k=5或k=6,系数最大的项为T6=1792x5,T7=1792x6.19.(本小题满分12分)(2013四川成都市龙泉中学高三月考)受轿车在保修期内维修费等
15、因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计数据如表:品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0x11202轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率,解答下列问题:(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率;(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X1,X2的分布列;(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车
16、,若从经济效益的角度考虑,你认为应该生产哪种品牌轿车?说明理由.解:(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A.则P(A)=.(2)依题意得,X1的分布列为X1123PX2的分布列为X21.82.9P(3)由(2)得,E(X1)=1+2+3=2.86,E(X2)=1.8+2.9=2.79.因为E(X1)E(X2),所以应生产甲品牌轿车.20.(本小题满分12分)(2012武汉适应性训练)甲、乙两位射击选手进行强化训练.现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次,记录如下:甲:8.3,9.0,7.9,7.8,9.4,8.9,8.4,8.3;乙:9.2,9.5,8.0,
17、7.5,8.2,8.1,9.0,8.5.(1)画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图;(2)现要从中选派一人参加奥运会封闭集训,从统计学角度,你认为派哪位选手参加合理?简单说明理由;(3)若将频率视为概率,对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测,记这三次成绩中不低于8.5分的次数为,求的分布列及均值E().解:(1)甲、乙两位选手成绩的茎叶图如图所示(其中茎表示成绩的整数部分,叶表示成绩的小数部分):(2)因为=8.5,又=0.27,=0.405,得,所以选派甲合适.(3)依题意得,乙不低于8.5分的频率为,的可能取值为0,1,2,3.则B(3,),所以P(=k)=,k=0,1,2,3.所以的分布列为0
18、123PE()=0+1+2+3=.21.(本小题满分12分)(2013北京市西城区期末)生产A,B两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为正品,小于82为次品.现随机抽取这两种元件各100件进行检测,检测结果统计如下:测试指标70,76)76,82)82,88)88,94)94,100元件A81240328元件B71840296(1)试分别估计元件A,元件B为正品的概率;(2)生产1件元件A,若是正品可盈利40元,若是次品则亏损5元;生产1件元件B,若是正品可盈利50元,若是次品则亏损10元 .在(1)的前提下,记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润,求随机变量X的分布列和
19、数学期望;求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率.解:(1)元件A为正品的概率约为=,元件B为正品的概率约为=.(2)随机变量X的所有取值为90,45,30,-15.P(X=90)=,P(X=45)=,P(X=30)=,P(X=-15)=.所以,随机变量X的分布列为X904530-15P数学期望为E(X)=90+45+30+(-15)=66. 设生产的5件元件B中正品有n件,则次品有(5-n)件.依题意,得50n-10(5-n)140,解得n.因为n为正整数,所以n=4或n=5.设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A,则P(A)=（）4+（）5=.22.(本小题满分1
20、4分) (2012江西八校联考)设不等式x2+y24确定的平面区域为U,|x|+|y|1确定的平面区域为V.(1)定义横、纵坐标为整数的点为“整点”,在区域U内任取3个整点,求这些整点中恰有2个整点在区域V内的概率;(2)在区域U内任取3个点,记这3个点在区域V内的个数为X,求X的分布列和数学期望.解:(1)依题可知平面区域U内的整点为(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(2,0),(1,1),共有13个,平面区域V内的整点为(0,0),(0,1),(1,0),共有5个,P=.(2)依题可得平面区域U的面积为22=4,平面区域V的面积为22=2,在区域U内任取1个点,则该点在区域V内的概率P=,易知X的可能取值为0,1,2,3,且P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,X的分布列为X0123PX的数学期望E(X)=0+1+2+3=.
