1、33幂 函 数【素养目标】1通过具体实例，理解幂的概念(数学抽象)2会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质(直观想象)3理解常见幂函数的基本性质(逻辑推理)【学法解读】以五种常见的幂函数为载体，学生应自己动手在同一个平面直角坐标系下画出这五种幂函数的图象，通过观察比较研究其图象和性质，进而研究一般幂函数的图象和性质必备知识探新知基础知识知识点1 幂函数的概念函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数思考1：幂函数的解析式有什么特征？提示：系数为1；底数x为自变量；幂指数为常数知识点2 幂函数的图象及性质(1)五个幂函数的图象：(2)幂函数的性质：幂函数yxyx2yx3yxyx1定
2、义域RRR0，)(，0)(0，)值域R0，)R0，)y|yR且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x(0，)增；x(，0)减增增x(0，)减；x(，0)减公共点都经过点(1，1)思考2：当0时，幂函数yx的图象在第一象限内有什么共同特征？提示：图象都是从左向右逐渐上升基础自测1判断下列说法是否正确，正确的打“”，错误的打“”(1)函数yx2是幂函数()(2)幂函数yx2是偶函数()(3)幂函数yx1是增函数()(4)幂函数都过点(0，0)，(1，1)()(5)幂函数的图象不过第四象限()(6)当0x3.711解析利用f(x)x1.在(0，)上为单调递减，3.173.711.关键能力攻重难题型探究
3、题型一幂函数的概念例1 已知函数f(x)(m22m)xm2m1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数分析本题将正比例函数、反比例函数、二次函数和幂函数放在一起考查，要注意区别它们之间的不同点，根据各自定义：(1)正比例函数ykx(k0)；(2)反比例函数y(k0)；(3)二次函数yax2bxc(a0)；(4)幂函数yx(是常数)，转化为系数和指数的取值问题解析(1)若f(x)为正比例函数，则，m1.(2)若f(x)为反比例函数，则，m1.(3)若f(x)为二次函数，则，m.(4)若f(x)为幂函数，则m22m1，m1.归纳提升形如yx的函数叫
4、幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项例如y3x，yxx1，yx21均不是幂函数【对点练习】 有下列函数：y3x2；yx21；y；y；yx；yx3.其中，是幂函数的有(只填序号)解析中，x2的系数为3，故不是幂函数；中，yx21不是x的形式，故不是幂函数；中，yx1，系数是1，故不是幂函数；中，yx1是幂函数；中，yx是幂函数；中，yx3是幂函数题型二幂函数的图象例2函数yx与yx(1，1，2，3)的图象只可能是下面中的哪一个(C)分析逐个分析函数图象，也可给分别取已知数值，研究两个函数在同一个坐标系的图象形状解析A中直线对应函数yx，曲线对应函数为yx1，
5、11，故A错；B中直线对应函数为y2x，曲线对应函数为yx，2，故B错；C中直线对应函数为y2x，曲线对应函数为yx2，当x2时，2222，故C对；D中直线对应函数为yx，曲线对应函数为yx3，13.故D错归纳提升解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数的图象越靠近x轴；在(1，)上，指数越大，幂函数的图象越远离x轴(2)依据图象确定幂指数与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象来判断【对点练习】 (1)函数yx的图象大致是(B)(2)当1，1，3时，幂函数yx的图象不可能经过第二、四象限解析(1)函数yx是定义
6、域为R的奇函数，且此函数在定义域上是增函数，其图象关于原点对称，排除A，C另外，因为y()()，y11，y2222，所以当x(0，1)时，函数yx的图象在直线yx的下方；当x(1，)时，函数yx的图象在直线yx的上方故选B(2)幂函数yx1，yx，yx3的图象分布在第一、三象限，yx的图象分布在第一象限所以幂函数yx(1，1，3)的图象不可能经过第二、四象限题型三幂函数简单性质的应用角度1比较幂的大小例3比较下列各题中两个数的大小：(1)2.3，2.4；(2)()，()；(3)(0.32)，0.35.分析 解析(1)yx为0，)上的增函数，且2.32.4，2.32.4.(2)yx为(0，)上的
7、减函数，且().(3)yx为R上的偶函数，(0.32)0.32.又函数yx在0，)上单调递增，且0.320.35，0.320.35，即(0.32)0.35.归纳提升比较幂值的大小，关键是构造适当的函数对于第(3)小题，当要比较的两数的底数不在同一单调区间上时，应先利用函数的奇偶性等性质进行转化，使得要比较的两数的底数在同一单调区间上，再比较角度2已知单调性求参数例4(2020湖南省长沙市联考)已知幂函数y(m2m5)xm22m3，当x(0，)时，y随x的增大而减小，求此幂函数的解析式分析先根据幂函数的定义求出m的值，然后根据该幂函数在(0，)上单调递减进行检验解析y(m2m5)xm22m3是幂
8、函数，m2m51，即(m2)(m3)0，m2或m3.当m2时，m22m33，yx3是幂函数，且满足当x(0，)时，y随x的增大而减小；当m3时，m22m312，yx12是幂函数，但不满足当x(0，)时，y随x的增大而减小，故舍去yx3(x0)归纳提升本题根据幂函数的定义可求出m有两个值，求出m的值后，一定要根据题目要求对m的值进行检验【对点练习】 比较下列各组数的大小：(1)1.10.1，1.20.1；(2)0.240.2，0.250.2；(3)已知幂函数yx3m9(mN*)的图象关于y轴对称且在(0，)上单调递减，求满足(a2)(52a) 的a的取值范围解析(1)由于函数yx0.1在第一象限
9、内单调递增，又因为1.11.2，所以1.10.11.20.1.(2)由于函数yx0.2在第一象限内单调递减，又因为0.240.250.2.(3)因为函数在(0，)上单调递减，所以3m90，解得m3.又因为mN*，所以m1，2.因为函数的图象关于y轴对称，所以3m9为偶函数，故m1.则原不等式可化为(a2)52a0或52aa20或a2052a，解得1a或a2.故a的取值范围是a|a2或1a误区警示用幂函数的单调性解题时忽略了不同单调区间的讨论例5已知幂函数yxm22m3(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，求满足(a1)(32a)的a的取值范围错解函数在(0，)上单调递减，m22
10、m30，解得1m3.mN*，m1，2.又函数图象关于y轴对称，m22m3是偶数又222233为奇数，122134为偶数，m1.又 yx是减函数，由(a1)32a.解得a.错因分析该解法中将函数值大小转化为自变量大小时忽略了定义域以及单调区间的限制只有在同一个单调区间内才可以在函数值大小与自变量大小之间实现自由转化正解函数在(0，)上单调递减，m22m30，解得1m3.mN*，m1，2.又函数图象关于y轴对称，m22m3是偶数又222233为奇数，122134为偶数，m1.又yx在(，0)，(0，)上均为减函数，由(a1)32a0或32aa10或a1032a.解得a1或ax2，得x21，所以x1
11、或x0，yx0，图象不可能经过第四象限，故选A3如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是(B)Ayx，yx2，yx，yx1Byx3，yx2，yx，yx1Cyx2，yx3，yx，yx1Dyx2，yx，yx，yx1解析由幂函数图象特点知选B4幂函数f(x)的图象过点(2，)，那么f(9)的值是3解析设f(x)x，2，22，f(x)x，f(9)93.5利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：(1)(1.5)3，(1.4)3；(2)，.解析(1)设f(x)x3，则f(x)在R上为增函数1.51.4，(1.5)3(1.4)3.(2)设g(x)，则g(x)在(，0)上为减函数1.51.4.
