1、高考资源网（） 您身边的高考专家专题四导数与定积分(见学生用书P18)(见学生用书P18)1函数f(x)在xx0处的导数(1)定义：函数f(x)在xx0处的瞬时变化率_为函数f(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)_(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是过曲线yf(x)上点(x0，f(x0)的切线的斜率2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)cf(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_a(a0)f(x)exf(x)exf(x)lo
2、gaxf(x)(a0，且a1)f(x)lnxf(x)3.导数运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)g(x)04函数的单调性与导数在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内为常数5函数的极值若函数f(x)在xa处的函数值f(a)比它在xa附近其他点的函数值都小，且f(a)0，而且在xa附近的左侧f(x)0，则xa处的点叫函数的极小值点，f(a)叫函数的极小值
3、若函数f(x)在点xb处的函数值f(b)比它在xb附近其他点的函数值都大，且f(b)0，而且在xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则xb处的点叫函数的极大值点，f(b)叫函数的极大值，极大值和极小值统称为极值6定积分(1)定积分的定义及相关概念如果函数f(x)在区间a，b上连接，用分点ax0x1xi1xixnb，将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1，2，n)，作和式Imf(i)xi，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx在f(x)dx中，a、b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间
4、，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式(2)定积分的性质.kf(x)dxkf(x)dx(k为常数).f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx.f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中ac0得函数的递增区间；解不等式f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增当a0时，令g(x)ax2(2a2)xa，(2a2)24a24(2a1)当a时，0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当a时，0，g(x)0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当a0，设x1，x2(x10，所以x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增
5、，x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减综上可知：当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当a0，故函数f(x)单调递增，则f(x)maxf(1)6，故a6.当x2，0)时，a，记f(x)，令f(x)0，得x1或x9(舍去)；当x(2，1)时，f(x)0，故f(x)minf(1)2，则a2.综上所述，实数a的取值范围是6，2答案：C点评：本题考查导数应用及不等式恒成立问题，解题的关键是分类讨论以及分离参数a，难度较大例 23函数f(x)axm(1x)n在区间0，1上的图象如图所示，则m，n的值可能是( )Am1，n1 Bm1，
6、n2Cm2，n1 Dm3，n1考点：利用导数研究函数的单调性分析：由图象得，原函数的极大值点小于0.5.把答案代入验证看哪个对应的极值点符合要求即可得出答案解析：由于本题是选择题，可以用代入法来做，由图象得，原函数的极大值点小于0.5.当m1，n1时，f(x)ax(1x)a.在x处有极值，故A错；当m1，n2时，f(x)axm(1x)nax(1x)2a(x32x2x)，所以f(x)a(3x1)(x1)，令f(x)0x，或x1，即函数在x处有极值，故B对；当m2，n1时，f(x)axm(1x)nax2(1x)a(x2x3)，有f(x)a(2x3x2)ax(23x)，令f(x)0x0，x，即函数在
7、x处有极值，故C错；当m3，n1时，f(x)axm(1x)nax3(1x)a(x3x4)，有f(x)ax2(34x)，令f(x)0x0，x，即函数在x处有极值，故D错答案：B点评：本题主要考查函数的最值(极值)点与导函数之间的关系在利用导函数来研究函数的极值时，分三步求导函数，求导函数为0的根，判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值本题考查利用极值求对应变量的值可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点规律总结在选择、填空题中考查导数应用问题也是近几年高考命题的热点问题既有单独考查利用导数解决函数的单调性、极值与最值问题，也有利用导数
8、解决方程与不等式等综合问题变式训练【22】 (2013湖北卷)已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A(，0) B.C(0，1) D(0，)解析：f(x)ln x12ax，依题意ln x12ax0有两个正实数根x1，x2(x10.g(x)2a，令g(x)0，得x，于是g(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)在x处取得极大值，即fln 0，则1，所以0a0，且2，3是方程3ax22bxc0的两根由根与系数的关系知(2)3，23，b，c18a，此时f(x)ax3x218ax34.当x(，2)时，f(x)0，f(x)为增函数；当x(2，3)时，f(x)0，
9、f(x)为增函数，f(3)为f(x)的极小值，f(3)27a54a34115，a2.故选C.答案：C考点三 定积分考点精析1定积分的求法定义法：分割近似代替作和取极限；利用微积分基本定理：先求被积函数f(x)的原函数F(x)，即F(x)f(x)，再计算F(b)F(a)，即为所求2求定积分的一些技巧对被积函数要先化简，再求定积分；求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段求定积分，再求和；对含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能求定积分3定积分的几何性质如果在区间a，b上的函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么定积分f(x)dx表示由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)
10、所围成的曲边梯形的面积例 31(2015湖南卷)(x1)dx_考点：定积分的计算分析：利用微积分基本定理直接计算解析：(x1)dx(22)00.答案：0点评：本题利用微积分定理计算定积分，考查了运算求解能力，比较简单例 32(2015陕西卷)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为_考点：求函数表达式，定积分在求面积中的应用分析：建立平面直角坐标系，利用定积分求出阴影部分面积，再求比值解析：建立直角坐标系，如图过B作BEx轴于点E，BAE45，BE2，AE2.又OE5，A(3，0)，B(5，2)设抛物线的方程
11、为x22py(p0)，代入点B的坐标，得p，故抛物线的方程为yx2.从而曲边三角形OEB的面积为x2dx.又SABE222，故曲边三角形OAB的面积为，从而图中阴影部分的面积为.又易知等腰梯形ABCD的面积为216，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为1.2.答案：1.2点评：本题的关键是结合图形求函数表达式和用定积分求面积，考查了运算求解能力和数形结合思想，难度较难规律总结随着新课程改革向纵综推进，高考对定积分的考查逐渐由原来的仅考查简单的定积分计算问题，向与定积分有关的综合问题发展变式训练【31】 (2014雅礼模拟)设adx，bdx，cdx，则下列关系式成立的是( )A. B.C. D
12、.解析：(ln x)，a(ln x)|ln 2，b(ln x)|ln 3，c(ln x)|ln 5.，lnln，lnln，.0，则有f(x)在(a，b)上为单调递增函数；若f(x)在(a，b)上有f(x)1.(见学生用书P155)一、选择题1(2014广西卷)曲线yxex1在点(1，1)处切线的斜率等于()A2e BeC2 D1解析：函数的导数为f(x)ex1xex1(1x)ex1，当x1时，f(1)2，即曲线yxex1在点(1，1)处切线的斜率kf(1)2.答案：C2设函数f(x)x3x2tan ，其中，则导数f(1)的取值范围是()A2，2 B，C，2 D，2解析：f(x)sin x2co
13、s x，f(1)sin cos 2sin.，.sin.2sin.答案：D3(2015郑州模拟)已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)()A1 B0 C2 D4解析：由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于，f(3).g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由题图可知f(3)1，所以g(3)130.答案：B4(2015厦门模拟)等比数列中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f(0)()A26 B29 C212 D215解析：函
14、数f(x)的展开式含x项的系数为a1a2a8(a1a8)484212，而f(0)a1a2a8212，故选C.答案：C5(2014湖北卷)若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx0，则称f(x)，g(x)为区间1，1上的一组正交函数给出三组函数：f(x)sin x，g(x)cos x；f(x)x1，g(x)x1；f(x)x，g(x)x2.其中为区间1，1上的正交函数的组数是()A0 B1 C2 D3解析：对于，sin xcos xdxsin xdx0，所以是一组正交函数；对于，(x1)(x1)dx(x21)dx0，所以不是一组正交函数；对于，xx2dxx3dx0，所以是一组正交函数，故选
15、C.答案：C6(2015全国卷)设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)0，则a的取值范围是()A. B.C. D.解析：由已知函数关系式，先找到满足f(x0)0的整数x0，由x0的唯一性列不等式组求解f(0)1a0，x00.又x00是唯一的使f(x)0的整数，即解得a.又a1，a2，则f(x)2x4的解集为_解析：设F(x)f(x)(2x4)，则F(1)f(1)(24)220.又对任意xR，f(x)2，所以F(x)f(x)20，即F(x)在R上单调递增则F(x)0的解集为(1，)，f(x)2x4的解集为(1，)答案：(1，)12(2015武汉模拟)当x
16、R，|x|1时，有如下表达式：1xx2xn.两边同时积分得：01dx0xdx0x2dx0xndx0dx，从而得到如下等式：123n1ln 2.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：CCCC_解析：CCxCxn(1x)n，两边同时积分得0Cdx0Cxdx0Cx2dx0Cxndx0(1x)ndx，从而得到如下等式：CCCC.答案：三、解答题13(2015全国卷)设函数f(x)emxx2mx.(1)证明：f(x)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增；(2)若对于任意x1，x21，1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范围解析：(1)证明：f(x)m(emx1)2x.若m0，则当x(，
17、0)时，emx10，f(x)0；当x(0，)时，emx10，f(x)0.若m0，则当x(，0)时，emx10，f(x)0；当x(0，)时，emx10，f(x)0.所以，f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)由(1)知，对任意的m，f(x)在1，0单调递减，在0，1单调递增，故f(x)在x0处取最小值所以对于任意x1，x21，1，|f(x1)f(x2)|e1的充要条件是即设函数g(t)ette1，则g(t)et1.当t0时，g(t)0；当t0时，g(t)0.故g(t)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增又g(1)0，g(1)e12e0，故当t1，1时，g(t)0.当m1，1时
18、，g(m)0，g(m)0，即式成立；当m1时，由g(t)的单调性，g(m)0，即emme1；当m1时，g(m)0，即emme1.综上，m的取值范围是1，114(2015四川卷)已知函数f(x)2(xa)ln xx22ax2a2a，其中a0.(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(2)证明：存在a(0，1)，使得f(x)0在区间(1，)内恒成立，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解解析：(1)由已知，函数f(x)的定义域为(0，)，g(x)f(x)2(xa)2ln x2，所以g(x)2.当0a时，g(x)在区间，上单调递增，在区间上单调递减；当a时，g(x)在区间(0，)上单
19、调递增(2)证明：由f(x)2(xa)2ln x20，解得a.令(x)2ln xx22x2.则(1)10，(e)20.故存在x0(1，e)，使得(x0)0.令a0，u(x)x1ln x(x1)由u(x)10知，函数u(x)在区间(1，)上单调递增所以0a01.即a0(0，1)当aa0时，有f(x0)0，f(x0)(x0)0.由(1)知，f(x)在区间(1，)上单调递增，故当x(1，x0)时，f(x)0，从而f(x)f(x0)0；当x(x0，)时，f(x)0，从而f(x)f(x0)0.所以，当x(1，)时，f(x)0.综上所述，存在a(0，1)，使得f(x)0在区间(1，)内恒成立，且f(x)0
20、在区间(1，)内有唯一解15(2014济宁一模)设函数f(x)ax2ln x(aR)(1)若f(x)在点(e，f(e)处的切线方程为xey2e0，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)当x0时，求证：f(x)axex0.解析：(1)f(x)ax2ln x(x0)，f(x)a.又f(x)在点(e，f(e)处的切线方程为xey2e0，f(e)a，故a.(2)由(1)知，f(x)a(x0)，当a0时，f(x)0时，令f(x)0，则x，令f(x)0，则0x0，则x，f(x)在上单调递减，在上单调递增综上可得：当a0时，f(x)的单调减区间为(0，)，当a0时，f(x)的单调减区间为，f(x)的单调增区间为；(3)当x0时，要证f(x)axex0，即证exln x20，令g(x)exln x2(x0)，只需证g(x)0.g(x)ex，由指数函数和幂函数的单调性知，g(x)在(0，)上递增，又g(1)e10，ge30，g(x)在内存在唯一的零点则g(x)在(0，)上有唯一零点设g(x)的零点为t，则g(t)et0，即et.由g(x)的单调性知：当x(0，t)时，g(x)g(t)0.g(x)在(0，t)上为减函数，在(t，)上为增函数，当x0时，g(x)g(t)etln t2ln2t2220，又t0.当x0时，f(x)axex0.- 26 - 版权所有高考资源网
