1、桂林十八中2020-2021学年度19级高二上学期期中考试卷数学（理科）注意事项：本试卷共4页，答题卡2页考试时间120分钟，满分150分；正式开考前，请务必将自己的姓名、考号用黑色水性笔填写清楚并张贴条形码；请将所有答案填涂或填写在答题卡相应位置，直接在试卷上做答不得分第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题中条件，根据二倍角的余弦公式，可直接得出结果.【详解】因为，所以.故选：D.2. 命题“若”，则否命题是（ ）A. “若，则”
2、B. “若，则”C. “若，则”D. “若，则”【答案】A【解析】【分析】根据否命题的转化规则，进行转化并选择即可.【详解】根据否命题的要求，需要将条件和结论都要否定，故命题：若，则的否命题是：若，则.故选：A.【点睛】本题考查命题的否命题的求解，注意条件和结论都要进行否定.3. 双曲线的渐近线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】依据双曲线性质，即可求出【详解】由双曲线得， ，即 ，所以双曲线的渐近线方程是，故选D【点睛】本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程，一般地双曲线的渐近线方程是；双曲线的渐近线方程是4. 已知向量，则（ ）A. 3B. 5C. 9D. 2
3、5【答案】B【解析】【分析】根据向量的坐标运算即可求解.【详解】解：，故选：B.5. 等差数列的前项和为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】【详解】等差数列的前项和为，且， 解得 故选B【点睛】本题考查等差数列的第二项的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的通项公式的合理运用6. 已知，则a, b, c的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】【详解】试题分析：因为，所以由指数函数的性质可得，因此,故选A.考点：1、指数函数的性质；2、对数函数的性质及多个数比较大小问题.【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大
4、小问题，属于中档题. 多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以也是常常是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将各个数按顺序排列.7. 的内角的对边分别为，若，则（ ）A. B. C. 3D. 【答案】B【解析】【分析】用余弦定理求解【详解】由余弦定理，得解得（舍去）故选：B8. 已知命题， 且，命题，.下列命题是真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】对于命题，当时，且成立，故命题为真命题；对于命题，其最大值为，故，为真命题，由以上可
5、得为真，故选A.9. 设等比数列的前n项和为，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题中条件，求出等比数列的公比，再由求和公式，即可求出结果.【详解】设等比数列的公比为，因为，则，即，解得，所以，则，所以.故选：A.10. 下列三个关于函数的命题：只需将函数的图象向右平移个单位即可得到的图象；函数的图象关于对称；函数在上单调递增其中，真命题的个数为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】C【解析】【分析】先对函数进行化简，得到，对于运用三角函数图像平移进行判断；对于计算出函数的对称中心进行判断；对于计算出函数的单调增区间进行判断.【详解】因为对于，将函数的图像向
6、右平移个单位可得函数的图像，得不到，故错误；对于，令，解得，故无论取何整数，函数的图像不会关于点对称，故错误；对于，当，即时函数递增，当时，的一个递增区间为，故正确.只有1个命题正确.故选：C【点睛】思路点睛：解答此类题目需要熟练掌握正弦型函数的单调性、对称性，以及三角函数的图像平移，在计算单调区间和对称中心时要能够通过整体代入计算求出结果，如等.11. 如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为，再由D向塔前进米后到点E，测得塔顶的仰角为，则塔高为（ ）米A. 10B. C. 15D. 【答案】C【解析】【分析】由，得是等腰三
7、角形，且可求得，在直角中易得塔高详解】由题知等腰的，中，故选：C12. 设分别是椭圆的左，右焦点，A是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为B，若，则C的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知条件可知与轴垂直，计算出的长度，再结合，可得线段的长度比值，过点作与轴垂直，计算出点坐标，代入椭圆方程可以求出离心率.【详解】由已知条件可知与轴垂直，则点，代入椭圆方程，解得，不妨取，又因为，则，过点作与轴垂直，如图所示，则与相似，故点坐标为，又因为点在椭圆上，将其点坐标代入椭圆方程得，即有，故，所以，离心率.故选：D【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于求出点坐标，
8、将其坐标代入椭圆方程中进行计算，即可化简求出离心率的值.第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知实数满足约束条件，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】画出可行域，平移基准直线到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线到可行域边界点的位置，此时取得最大值为.故答案为：.【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法.属于较易题.14. 已知双曲线的焦距为8，则实数的值为_.【答案】11【解析】【分析】由题可得，即可求出.【详解】由题可得，则由得，解得.故答案为：11
9、.15. 已知数列的前项和，则数列的前6项和是_【答案】【解析】【分析】先根据数列的前项和求出，再由裂项相消法，即可求出结果.【详解】因为数列的前项和，所以当时，又也满足上式，所以，则，因此数列的前6项和是.故答案为：.【点睛】结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型，其中是公差为的等差数列；（2）无理型；（3）指数型；（4）对数型.16. 若，使成立，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先整理为关于的不等式恒成立，求出相应的最值后，得不等式在时能成立，分离参数整理为，求出诉最大值可得结论【详解】由，得，当时，取得最小值，使成立，即，使成立设，设，则，即，在时，是增函数在
10、上有，故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查双变量不等式恒成立求参数范围解题方法是先整理为以为变量的不等式恒成立，又转化为关于的不等式能成立，分离参数后求得函数的最值三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤17. 集合，（1）若，求；（2）已知命题；命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据，分别解不等式，化简两集合，再由交集和补集的概念，即可得出结果；（2）先化简两集合，根据题中条件，得到，列出不等式求解，即可得出结果.详解】（1）当时， ，；（2），是的充分不必要条件， 由得（等号不同时成立），解得，实数的取
11、值范围【点睛】结论点睛：根据命题的充分条件与必要条件求参数时，一般可根据如下规则求解：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含18. 设分别是椭圆： 的左，右两个焦点，上的点到两点的距离之和等于4（1）求的方程和焦点坐标；（2）若直线与只有一个公共点，求实数m的值【答案】（1），焦点坐标为；（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义以及椭圆过点，即可求出椭圆的方程和焦点坐标；（2）联立直线与椭圆方程，利用，即可
12、求出的值.【详解】解：（1）由题意知：，解得：， 椭圆的方程为：，焦点坐标为； （2）联立，得：， 直线与椭圆只有一个交点， 即，解得：19. 已知数列满足（1）证明是等差数列，并求的通项公式；（2）求的前n项和【答案】（1）证明见解析，；（2）.【解析】【分析】（1）将， 变形为，再利用等差数列的定义求解.（2）由（1）得到 ，再利用错位相减法求解.【详解】（1）， ，又，数列是首项、公差均为1的等差数列； ， （2）由（1）知，所以， ， 两式相减得： ， 【点睛】方法点睛：求数列前n项和的方法(1)公式法：等差数列的前n项和公式，等比数列的前n项和公式；(2)分组转化法：把数列的每一项分
13、成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解20. 森林失火，火势以每分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警后立即派消防员前去，在失火5分钟到达现场开始救火，已知消防员在现场平均每人每分钟可灭火，所消耗
14、的灭火材料、劳务津贴等费用平均每人每分钟125元，所消耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而每烧毁的森林损失费为60元，设消防队派名消防队员前去救火，从到现场把火完全扑灭共用分钟（1）求出与的关系式；（2）求为何值时，才能使总损失最少【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设派名消防员前去救火，用分钟将火扑灭，总损失为元，则；（2）总损失为灭火材料、劳务津贴车辆、器械、装备费与森林损失费的总和，利用基本不等式即可求出最值【详解】（1）由已知可得，所以（2）设总损失为元，则，当且仅当，即时，取最小值答：需派27名消防员，才能使总损失最小，最小值为36450元【点睛】本题主要考查阅读
15、能力、数学建模能力和化归思想以及利用基本不等式求最值能力，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.21. 的三个内角的对边分别为，且（1）当时，求的面积；（2）当为锐角三角形时，求c的取值范围【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理代入后可得，从而求得角，再由余弦定理求得，然后可得面积；（2）在锐角三角形条件下求得，然后可得，由正弦定理把用角表示后可得其范围【详解】（1）据正弦定理得 ，当时，由得 由余弦定理得，解
16、得或 当时，； 当时， （2）为锐角三角形，依题意得且， 据正弦定理得 ，【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，在用正弦定理解三角形时，注意三角形解的个数，即由求时，需确定的范围，以确定结果是一个角还是两个角22. 设为椭圆的两个焦点，直线与交于两点（1）若为椭圆短轴上的一个顶点，且是直角三角形，求的值；（2）若，且，求证：的面积为定值【答案】（1）；（2）证明见解析 .【解析】【分析】（1）若为椭圆短轴上的一个顶点，则短轴与焦距相等，即，结合即可求得的值；（2）讨论存在与不存在：a.当直线斜率存在，通过条件解出点坐标，将的面积用点坐标算出来；b.当直线斜率不存在，设出直线方
17、程，联立椭圆方程消去，用设而不求法将弦长表示出来，将点到直线的距离用距离公式表示出来，根据面积公式，结合化简即可.【详解】解：（1）由题知是等腰直角三角形，且，所以，解得， 故（2）证明：当时，椭圆方程，设，由知即， 若直线l垂直于x轴，则，不妨设此时，又解得 若直线l斜率存在，设方程为由整理得，所以， 所以，所以，所以，即 所以 因为O到直线的距离，所以， 综上，面积为定值1【点睛】直线与椭圆相交问题求解策略：（1）解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去(或)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解；（2）涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.
