1、 第八章 立 体 几 何 1.立体几何初步(1)空间几何体 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图 会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(2)点、直线、平面之间的位置关系 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：公理 1：如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在此平面内 公理 2
2、：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行 定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理 理解以下判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该 直线与此平面垂直 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直 理解以下性质定理，并能
3、够证明：如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行 两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行 垂直于同一个平面的两条直线平行 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 2空间直角坐标系(1)了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置(2)会简单应用空间两点间的距离公式 3空间向量与立体几何(1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示(3)掌握空间向量的数量积及其坐标
4、表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直(4)理解直线的方向向量及平面的法向量(5)能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系(6)能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理)(7)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用 81 空间几何体的结构、三视图和直观图 1棱柱、棱锥、棱台的概念(1)棱柱：有两个面互相_，其余各面都是_，并且每相邻两个四边形的公共边都互相_，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 注：棱柱又分为斜棱柱和直棱柱侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；
5、底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱(2)棱锥：有一个面是_，其余各面都是有一个公共顶点的_，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 注：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫做棱台 注：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台 2.棱柱、棱锥、棱台的性质(1)棱柱的性质 侧棱都相等，侧面是_；两个底面与平行于底面的截面是_的多边形；过 不 相 邻 的 两 条 侧 棱 的 截 面 是_；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面、对角面都是_(2)正棱锥的性质 侧棱相等，侧面是全等的_；棱锥的高、斜高和斜高在
6、底面上的射影构成一个_；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个_；斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个_；侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个_(3)正棱台的性质 侧面是全等的_；斜高相等；棱台 的 高、斜 高 和 两 底 面 的 边 心 距 组 成 一 个_；棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个_；棱台的斜高、侧棱 和 两 底 面 边 长 的 一 半 也 组 成 一 个_ 3圆柱、圆锥、圆台(1)圆柱、圆锥、圆台的概念 分别以_的一边、_的一直角边、_中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台
7、(2)圆柱、圆锥、圆台的性质 圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是_、_、_；平行于底面的截面都是_ 4球(1)球面与球的概念 以半圆的_所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球半圆的圆心叫做球的_(2)球的截面性质 球心和截面圆心的连线_截面；球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面圆的半径 r的关系为_ 5平行投影 在一束平行光线照射下形成的投影，叫做_平行投影的投影线互相_ 6空间几何体的三视图、直观图(1)三视图 空间几何体的三视图是用正投影得到的，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的三视图包括_、_、_ 三视图尺寸关系口诀
8、：“长对正，高平齐，宽相等”长对正指正视图和俯视图长度相等，高平齐指正视图和侧(左)视图高度要对齐，宽相等指俯视图和侧(左)视图的宽度要相等(2)直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：在已知图形所在空间中取水平面，在水平面内作互相垂直的轴 Ox，Oy，再作 Oz 轴，使xOz_且yOz_ 画直观图时，把 Ox，Oy，Oz 画成对应的轴Ox，Oy，Oz，使xOy_，xOz_xOy所确定的平面表示水平面 已知图形中，平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段，在直观图中分别画成_x轴、y轴或 z轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同 已知
9、图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于 y 轴的线段，长度为原来的_ 画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图 自查自纠：1(1)平行 四边形 平行(2)多边形 三角形 2(1)平行四边形 全等 平行四边形 矩形(2)等腰三角形 直角三角形 直角三角形 直角三角形 直角三角形(3)等腰梯形 直角梯形 直角梯形 直角梯形 3(1)矩形 直角三角形 直角梯形(2)矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 4(1)直径 球心(2)垂直于 d R2r2 5平行投影 平行 6(1)正(主)视图 侧(左)视图 俯视图(2)90 90 45 (或 135 )90 平行
10、于 一半 以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是()A球的三视图总是三个全等的圆 B正方体的三视图总是三个全等的正方形 C水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D水平放置的圆台的俯视图是一个圆 解：几何体的三视图要考虑视角，只有球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆故选 A.下列结论正确的是()A各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥 D圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 解：A 错误，如图 1 是由两个相同的三棱锥叠放在一起构
11、成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；B 错误，如图 2，若ABC不是直角三角形，或ABC 是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；C 错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾；易知 D 正确故选 D.(2015北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A1 B.2 C.3 D2 解：由题中三视图知，此四棱锥的直观图如图所示，其中侧棱 SA底面 ABCD，且底面是边长为 1的正方形，SA1，所以四棱锥最长棱的棱长为SC 3，故选 C.如图所示的三个直角三角形是 一个体积 为 20cm3 的 几 何
12、 体 的 三 视 图，则 h _cm.解：由三视图可知，该几何体为三棱锥，此三棱锥的底面为直角三角形，直角边长分别为 5cm，6cm，三棱锥的高为 hcm，则三棱锥的体积为 V131256 h20，解得 h4cm.故填 4.已知正ABC 的边长为 a，那么ABC 的平面直观图ABC的面积为_ 解：如图所示是实际图形和直观图 由图可知，ABABa，OC 12OC 34 a，在图中作 CDAB，垂足为 D，则 CD 22 OC 68 a.所以 SABC 12ABCD12a68 a616 a2.故填 616a2.类型一 空间几何体的结构特征 (2014全国卷)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画
13、出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A三棱锥 B三棱柱 C四棱锥 D四棱柱 解：该几何体的三视图由一个三角形，两个矩形组成，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B.点拨：解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征常见的有以下几类：三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱 (2014福建)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能
14、是()A圆柱 B圆锥 C四面体 D三棱锥 解：由三视图可知，圆柱的正视图中不可能出现三角形故选 A.类型二 空间几何体的三视图 (2016山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为()A.1323 B.13 23 C.13 26 D1 26 解：由已知，半球的直径为 2，正四棱锥的底面边长为 1，高为 1，所以其体积为1311 1124322313 26.故选 C.点拨：由三视图还原到直观图的基本思路：(1)根据俯视图确定几何体的底面(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征调整实线和虚线所对应的棱、面的位置(3)确定几何体的直观图的形状 (
15、2015全国)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为 1620，则 r()A1 B2 C4 D8 解：由图可知该几何体由半个圆柱和半个球体组合而成，则 S表4r21212r22 r2r2r2r1620，解得 r2.故选 B.类型三 空间多面体的直观图 如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图 解：由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥 画法：(1)画轴如图 1，画 x 轴、y 轴、z轴，使xOy45，xOz90.图 1(2)画底面利用斜二测画法画出底面 ABC
16、D，在z轴上截取O使OO等于三视图中相应高度，过 O作 Ox 的平行线 Ox，Oy 的平行线 Oy，利用 Ox与 Oy画出底面 ABCD.(3)画正四棱锥顶点在 Oz 上截取点 P，使PO等于三视图中相应的高度(4)成图连接 PA，PB，PC，PD，AA，BB，CC，DD，整理得到三视图表示的几何体的直观图如图 2 所示 图 2 点拨：根据三视图可以确定一个几何体的长、宽、高，再按照斜二测画法，建立 x 轴、y 轴、z 轴，使xOy45，xOz90，确定几何体在 x轴、y 轴、z 轴方向上的长度，最后连线画出直观图 已知一个四棱锥的高为 3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长
17、为 1 的正方形，则此四棱锥的体积为()A.2 B6 2 C.13 D2 2 解：因为四棱锥的底面直观图是一个边长为1 的正方形，该正方形的对角线长为 2，根据斜二测画法的规则，原图底面的底边长为 1，高为直观图中正方形的对角线长的两倍，即 2 2，则原图底面积为 S22.因此该四棱锥的体积为 V13Sh132 232 2.故选 D.类型四 空间旋转体的直观图 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为116，截去的圆锥的母线长是 3cm，求圆台的母线长 解：设圆台的母线长为 l，截得圆台的上、下底面半径分别为 r，4r.根据相似三角形的性质得，33l r4r，解得
18、l9.所以，圆台的母线长为 9cm.点拨：用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，设相关几何变量列方程求解 (2014湖南)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()A1 B2 C3 D4 解：该几何体为一直三棱柱，底面是边长为6，8，10 的直角三角形，侧棱为 12，其最大球的半径为底面直角三角形内切圆的半径 r，由等面积法可得12(6810)r1268，得 r2.故选 B.1在研究圆柱、圆锥、圆台的相关问题时，主
19、要方法就是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中容易找到这些几何体的有关元素之间的位置关系以及数量关系 2建议对下列一些具有典型意义的重要空间图形的数量关系予以推证并适当记忆(1)正多面体 正四面体就是棱长都相等的三棱锥，正六面体就是正方体，连接正方体六个面的中心，可得到一个正八面体，正八面体可以看作是由两个棱长都相等的正四棱锥拼接而成 棱长为 a 的正四面体中：a斜高为 32 a；b高为 63 a；c对棱中点连线长为 22 a；d外接球的半径为 64 a，内切球的半径为 612a；e正四面体的表面积为 3a2，体积为 212 a3.如图，在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，连接
20、 A1B，BC1，A1C1，DC1，DA1，DB，可以得到一个棱长为 2a 的正四面体 A1BDC1，其体积为正方体体积的13.正方体与球有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体它们的相应轴截面如图所示(正方体的棱长为 a，球的半径为 R)(2)长方体的外接球 长、宽、高分别为 a，b，c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即a2b2c22R.棱长为 a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即 3a2R.3三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，主视图反映了物体的长度和高度；俯
21、视图反映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体的宽度和高度由此得到：主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等 4一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比，有“三变、三不变”三变：坐标轴的夹角改变，与 y 轴平行线段的长度改变(减半)，图形改变 三不变：平行性不变，与 x 轴平行的线段长度不变，相对位置不变 5对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积 S 与其直观图面积 S之间联系：S 24 S，并能进行相关的计算 1由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体是()A六棱锥 B六棱台 C六棱柱 D非棱柱、棱锥、棱台的一个几何体 解：平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体符合棱柱
22、的定义，故选 C.2给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 其中所有错误命题的序号是()A B.C D.解：认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故错误，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故错误，平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故错误故选 D.3将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括()A一个圆台、两个圆锥 B两个圆台、一个圆柱 C两个圆台、一个圆锥 D一个圆柱、两个圆锥 解：把等腰梯形分割成两
23、个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得几何体包括一个圆柱、两个圆锥故选 D.4如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是()解：先观察俯视图，由俯视图可知选项 B 和D 中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项 D正确故选 D.5沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()解：观察可知，该几何体的侧视图为正方形，且 AD1为实线，故选 B.6(2016北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A.16 B.13 C.12 D1 解：由三视图可画出三棱锥的直观图如图所示，其底面是等腰直角三角形 ACB，直角边长为1，三棱锥的高为 1，
24、故体积为 V131211 116.故选 A.7(2016全国卷)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为_ 解：由题意可知，圆柱的侧面积为 S1 2 2 4 16，圆 锥 的 侧 面 积 为 S2 122248，圆柱的底面面积为 S3 224，故该几何体的表面积为 SS1S2S328.故填 28.8(2015淮北检测)已知某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_ 解：该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥所组成的组合体，如图所示，圆锥的底面半径为 1，高为 2.该几何体的体积 V12(13122)131222 2 43.故填43.9在四棱锥 PABCD 中，底面为正方
25、形，PC与底面 ABCD 垂直该四棱锥的正视图和侧视图如图所示，它们是腰长为 6 cm 的全等的等腰直角三角形 (1)根据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求 PA 的长度 解：(1)该四棱锥的俯视图为边长为 6 cm 的正方形，如图，其面积为 36cm2.(2)在正方形 ABCD 中，易得 AC6 2cm，因为 PC面 ABCD，所以 PCAC.在Rt ACP中，PA PC2AC2 62（6 2）26 3cm.10如图是某几何体的三视图，试说明该几何体的结构特征，并用斜二测画法画出它的直观图 解：图中几何体是由上部为正六棱柱，下部为倒立的正六棱锥堆砌而成的组
26、合体 斜二测画法：(1)画轴如图(1)，画 x 轴，y轴，z 轴，使xOy45，xOzyOz90.(2)画 底 面，利 用 斜 二 测 画 法 画 出 底 面ABCDEF，在 z 轴上截取 O，使 OO等于正六棱柱的高，过 O作 Ox 的平行线 Ox，Oy 的平行线 Oy，利用 Ox与 Oy画出底面ABCDEF.(3)画正六棱锥顶点在 Oz 上截取点 P，使PO等于正六棱锥的高(4)成图连接 PA，PB，PC，PD，PE，PF，AA，BB，CC，DD，EE，FF，整理得到三视图表示的几何体的直观图如图(2)所示 注意：图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，
27、长度为原来的一半 11某长方体的一条体对角线长为 7，在该长方体的正视图中，这条对角线的投影长为 6，在该长方体的侧视图与俯视图中，这条体对角线的投影长分别为 a 和 b，求 ab 的最大值 解：如图，则有 AC1 7，DC1 6，BC1a，ACb，设 ABx，ADy，AA1z，有 x2y2z27，x2z26，所以 y21.因为 a2y2z2z21，b2x2y2x21，所以 a z21，b x21.所以ab（z21）（x21）z21x2124，当且仅当 z21x21，即 xz 3时，ab的最大值为 4.水以匀速注入某容器中，容器的三视图如图所示，其中与题中容器对应的水的高度h 与时间 t 的函
28、数关系图象是()解：由三视图知其直观图为两个圆台的组合体，水是匀速注入的，所以水面高度随时间变化的变化率先逐渐减小后逐渐增大，又因为容器的对称性，所以函数图象关于一点中心对称故选C.82 空间几何体的表面积与体积 1柱体、锥体、台体的表面积(1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 S 直棱柱侧_，S 正棱锥侧_，S 正棱台侧_(其中 C，C为底面周长，h为高，h为斜高)(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积 S圆 柱 侧_，S圆 锥 侧_，S 圆台侧_(其中 r，r为底面半径，l 为母线长)(3)柱 或 台 的 表 面 积 等 于 _ 与_的和，锥体的表面积等于_与_的和 2柱体、锥体、台体的体积(1)棱
29、柱、棱锥、棱台的体积 V 棱柱_，V 棱锥_，V棱台_(其中 S，S为底面积，h 为高)(2)圆柱、圆锥、圆台的体积 V 圆柱_，V 圆锥_，V圆台_(其中 r，r为底面圆的半径，h 为高)3球的表面积与体积(1)半径为 R 的球的表面积 S 球_(2)半 径 为R的 球 的 体 积 V球 _ 自查自纠：1(1)Ch 12Ch 12()CC h(2)2rl rl(rr)l (3)侧面积 两个底面积 侧面积 一个底面积 2(1)Sh 13Sh 13h()S SSS (2)r2h 13r2h 13h()r2rrr2 3(1)4R2(2)43R3 已知圆锥的正视图是边长为 2 的等边三角形，则该圆锥
30、体积为()A.22 B.2 C.33 D.3 解：易知圆锥的底面直径为 2，母线长为 2，则该圆锥的高为22123，因此其体积是 1312 3 33.故选 C.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2，3，6，则这个长方体的体对角线的长是()A2 3 B3 2 C6 D.6 解：设长方体的长、宽、高分别为 a，b，c，则有 ab 2，ac 3，bc 6，解得 a1，b 2，c 3，则长方体的体对角线的长 la2b2c2 6.故选 D.(2016全国卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是283，则它的表面积是()A17 B18 C20 D28
31、 解：由三视图知，该几何体是78个球，设球的半径为 R，则 V7843R3283，解得 R2，所以它的表面积是78422342217.故选 A.已知底面边长为 1，侧棱长为 2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为_ 解：因为该正四棱柱的外接球的半径是正四棱 柱 体 对 角 线 的 一 半，所 以 半 径 r 121212（2）21，V 球43 1343.故填43.(2016广西南宁二中高三月考)如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为_ 解：由三视图可知，该几何体为一个四棱锥，如图所示，CD面 PAD，BA面 PAD，PAAD，PAADCD2，AB1，PC2 3，PB 5，B
32、C 5，所以 SPBC122 3 2 6.则该几何体的表面积 S（12）221221122 221222 662 2 6.故填 62 2 6.类型一 空间几何体的面积问题 (2016全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A1836 5 B5418 5 C90 D81 解：由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为 3 的正方形，故面积都是 9，前后两个侧面是平行四边形，一边长为 3，该边上的高为 6，故面积都为 18，左右两个侧面是矩形，边长为 3 5和 3，故面积都为 9 5，则该几何体的表面积为 2(9189 5)541
33、8 5.故选 B.点拨：求解多面体的表面积及体积时，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，通过建立未知量与已知量间的关系，进行求解 (2016山西八校联考)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为()A.32 B 3 C.32 3 D.52 3 解：由三视图可知，该几何体是半个圆锥，且母线长为 2，底面半径为 1，则该几何体的表面积 S122 31212121232 3.故选 C.类型二 空间旋转体的面积问题 如图，半径为 4 的球 O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该
34、圆柱的侧面积之差是_ 解：如图，设球的一条半径与圆柱相应的母线的夹角为，圆柱侧面积 S24sin24cos32sin2，当 4 时，S 取最大值 32，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为 32.故填 32.点拨：根据球的性质，内接圆柱上、下底面中心连线的中点为球心，且圆柱的上、下底面圆周均在球面上，球心和圆柱的上、下底面圆上的点的连线与母线的夹角相等，这些为我们建立圆柱的侧面积与上述夹角之间的函数关系提供了依据 (2015陕西)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A3 B4 C24 D34 解：该几何体为半圆柱，底面半径为 1，高为 2，其表面积为 12221221234.故
35、选 D.类型三 空间多面体的体积问题 如图，在多面体 ABCDEF中，已知 ABCD是边长为 1 的正方形，且ADE，BCF 均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为 ()A.23 B.33 C.43 D.32 解：如图，过 A，B 两点分别作 AM，BN 垂直于 EF，垂足分别为 M，N，连接 DM，CN，可证得DMEF，CNEF，则多面体 ABCDEF 分为三部分，即多面体的体积 VABCDEFVAMDBNCVEAMDVFBNC.依题意知 AEFB 为等腰梯形 易知 RtDMERtCNF，所以 EMNF12.又 BF1，所以 BN 32.作 NH 垂直于 BC，则 H 为 BC
36、的中点，所以 NH 22.所以 SBNC12BCNH 24.所以 VFBNC13SBNCNF 224，VEAMDVFBNC 224，VAMDBNCSBNCMN 24.所以 VABCDEF 23，故选 A.点拨：求空间几何体体积的常用方法为割补法和等积变换法：割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而得出要求的几何体的体积；等积变换法：特别的，对于三棱锥，由于其任意一个面均可作为棱锥的底面，从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积性”还可求“点到面的距离”(2016浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是_cm2，体积是_cm3.解：
37、将三视图还原成直观图如图所示，它由 2 个长方体组合而成，其体积 V2 22432(cm3)，表面积为 62462 272(cm2)故填 72；32.类型四 空间旋转体的体积问题 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()A.5003 cm3 B.8663 cm3 C.1 3723 cm3 D.2 0483 cm3 解：由球的性质得，球在正方体上口所截的圆的直径为 8，球心到截面圆的距离为 R2，则R2(R2)242，解得 R5，所以球的体积 V球43R35003
38、(cm3)故选 A.点拨：关键是由球的截面圆性质建立关于球半径 R的方程，求出 R.(2015重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13 B.23 C.132 D.232 解：由三视图容易看出，该几何体是由一个半圆柱体和三棱锥组成，半圆柱体的底面圆半径为 1，高为 2，其体积为，易得三棱锥的体积为13，故原几何体体积为13.故选 A.1几何体的展开与折叠(1)几何体的表面积，除球以外，一般都是利用展开图求得的，利用空间问题平面化的思想，把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法(2)多面体的展开图 直棱柱的侧面展开图是矩形；正棱锥的侧面展开图
39、是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多边形；正棱台的侧面展开图是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多边形(3)旋转体的展开图 圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长(或宽)是底面圆周长，宽(或长)是圆柱的母线长；圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径长是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长；圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上、下弧长分别为圆台的上、下底面周长 注：圆锥和圆台的侧面积公式 S 圆锥侧12cl 和S圆台侧12(cc)l 与三角形和梯形的面积公式在形式上相同，可将二者联系起来记忆 2空间几何体的表面积的计算方法 有关空间几何体的表面积的计算通常是将空间图形问题转化为平面图形问题，这是解决立体
40、几何问题常用的基本方法(1)计算棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积，可以分别求各面面积，再求和，对于直棱柱、正棱锥、正棱台也可直接利用公式；(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算其侧面积时需将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和；(3)组合体的表面积应注意重合部分的处理 3空间几何体的体积的计算方法(1)计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面，特别是轴截面，将空间问题转化为平面问题求解(2)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、还台为锥法、等积变换法(如求三棱锥的体积可灵活变换顶点与底面)等，它们是计算一些不规则几何体体
41、积常用的方法，应熟练掌握(3)利用三棱锥的“等体积性”可以解决一些点到平面的距离问题，即将点到平面的距离视为一个三棱锥的高，通过将其顶点和底面进行转化，借助体积的不变性解决问题 1如图，正方体 ABCDABCD的棱长为 4，动点 E，F 在棱 AB 上，且 EF2，动点 Q在棱 DC上，则三棱锥 AEFQ 的体积()A与点 E，F 位置有关 B与点 Q 位置有关 C与点 E，F，Q 位置都有关 D与点 E，F，Q 位置均无关，是定值 解：因为 VAEFQVQAEF131224 4163，所以三棱锥 AEFQ 的体积与点 E，F，Q的位置均无关，是定值故选 D.2正四棱锥的顶点都在同一球面上若该
42、棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为()A.814 B16 C9 D.274 解：设球的半径为 R，由题意可得(4 R)2(2)2R2，解得 R94，所以该球的表面积为4R2814.故选 A.3(2015全国卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18 B.17 C.16 D.15 解：设正方体棱长为 a，则截去部分为三棱锥 AA1B1D1，其体积 VAA1B1D11312a316a3，剩余部分的体积为 a316a356a3，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15.故选 D.4(2015全国)九章算术是我国古代内容
43、极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有()A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛 解：设圆锥底面半径为 r，因为米堆底部弧长为 8 尺，所以2 r8，r16163 尺，所以米堆的体积为 V1314163253209(立方尺)，又 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，所以该米堆有3209 1.6222(斛)故选 B
44、.5(2015全国卷)已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB90，C 为该球面上的动点若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为()A36 B64 C144 D256 解：如图所示，当 OC面 OAB 时，三棱锥 OABC 的体积最大，设球 O 的半径为 R，则 VOABCVCAOB 1312R2R16R336，得 R6，所以球 O 的表面积 S4R2144.故选 C.6(2015湖南)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为 材料利用率新工件的体积原工件的体积()
45、A.89 B.169 C.4（21）3 D.12（21）3 解：易知该工件为圆锥，要使其内接长方体体积最大，则长方体的底面是正方形设此长方体底面对角线长为 2x，高为 h，则由三角形相似可得x12h2，所以 h22x，x(0，1，长方体体积为 V长方体(2x)2h2x2(2 2x)4x34x2，x(0，1，令 V长方体12x28x0，得 x23，经检验 V 长方体在 x23处取极大值 故当 x23时，(V 长方体)max1627，V 圆锥1312223.故材料利用率162723 89.故选 A.7如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，若侧棱 AA1与侧面 BCC1B1的距离为 2，侧面 BCC
46、1B1的面积为 4，则此三棱柱 ABCA1B1C1的体积为_ 解：(补形法)将三棱柱补成四棱柱，如图所示 记 A1到平面 BCC1B1的距离为 d，则 d2，V三棱柱12V 四棱柱12S 四边形 BCC1B1d124 24.故填 4.8(2015洛阳统考)如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为_ 解：由三视图知，该几何体可以由一个长方体截去 3 个角后得到，该长方体的长、宽、高分别为 5，4，3.所以 2R 4232525 2.所以表面积 S4R250.故填 50.9一个直角梯形上底、下底和高之比为24 5，将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，求这个圆台上底面积、
47、下底面积和侧面积之比 解：由题意可设直角梯形上底、下底和高为2x，4x，5x，它们分别为圆台的上、下底半径和高如图示，过点 B 作 BCOA 于 C，则 RtABC 中，ACOAOCOAOB4x2x2x，BC OO 5 x，所 以 AB AC2BC2（2x）2（5x）23x.所以 S上S下S侧289.10(2014上海)底面边长为 2 的正三棱锥PABC，其表面展开图是三角形 P1P2P3.如图，求P1P2P3的边长及三棱锥的体积 V.解：由正三棱锥 PABC 的性质及其表面展开图是P1P2P3可知 A，B，C 分别是P1P2P3三边的中点，且 ABACBC2.依三角形中位线定理可得 P1P2
48、P2P3P1P32AB4.易判断正三棱锥PABC 为棱长为 2 的正四面体，其体积为 V 212232 23.11(2016湖南师大附中高三月考)设点 A，B，C 为球 O 的球面上三点，O 为球心，若球 O 的表面积为 100，且ABC 是边长为 4 3的正三角形，求三棱锥 OABC 的体积 解：设球 O 的半径为 R，过点 A，B，C 的截面圆半径为 r，球心 O 到平面 ABC 的距离为 h，由已知得，4R2100，则 R5.在ABC 中，由正弦定理得，2r4 3sin608，则 r4.所以 hR2r23，V13SABCh1312 (4 3)2sin60312 3.一个几何体的三视图如图
49、所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为 V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有()AV1V2V4V3 BV1V3V2V4 CV2V1V3V4 DV2V3V1V4 解：由已知条件及三视图可知，该几何体从上到下依次是圆台，圆柱，正方体，棱台，则 V1131(44)73，V212 22，V3238，V4131(4416 16)283.综上可知，V2V1V3V4.故选 C.83 空间点、线、面之间的位置关系 1平面的基本性质(1)公理 1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在此平面内它的作用是可用来证明点在平面内或_(2)
50、公理 2：过_上的三点，有且只有一个平面 公理 2 的推论如下：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；经过两条相交直线，有且只有一个平面；经过两条平行直线，有且只有一个平面 公理 2 及其推论的作用是可用来确定一个平面，或用来证明点、线共面(3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们_过该点的公共直线它的作用是可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线、三线共点等问题 2空间两条直线的位置关系(1)位置关系的分类 错误!(2)异面直线 定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 注：异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指“不可能找到一个平面能同时经过这两条
51、直线”，也可以理解为“既不平行也不相交的两条直线”，但是不能理解为“分别在两个平面内的两条直线”异面直线的画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交，也不共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性 异面直线所成的角：已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与 b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a与 b 所成的角(或夹角)异面直线所成角的范围是_若两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线_，所以空间两条直线垂直分为相交垂直和_ 3平行公理 公理 4：平行于_的两条直线互相平行(空间平行线的传递性)它给出了判断空间两条直线平行的依据 4等
52、角定理 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_ 自查自纠：1(1)两点 直线在平面内(2)不在一条直线(3)有且只有一条 2(1)一个公共点 没有公共点 没有公共点(2)0，2 互相垂直 异面垂直 3同一条直线 4相等或互补 给出下列命题：经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3 解：经过不共线的三点可以确定一个平面，错误；两条平行线可以确定一个平面，正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，正确；命题中没有说明三个交点是否共线，这两
53、个平面可能相交或重合，错误故选 C.(2015广东)若直线 l1 和 l2 是异面直线，l1在平面 内，l2在平面 内，l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是()Al 与 l1，l2都不相交 Bl 与 l1，l2都相交 Cl 至多与 l1，l2中的一条相交 Dl 至少与 l1，l2中的一条相交 解：可用反证法，假设 l 与 l1，l2都不相交，因为 l 与 l1都在平面 内，于是 ll1，同理ll2，于是 l1l2与已知矛盾故选 D.若点 P，Q，R，m，且 Rm，PQmM，过 P，Q，R 三点确定一个平面，则 是()A直线 QR B直线 PR C直线 RM D以上均不正确 解：因为
54、PQmM，m，所以 M.又 M平面 PQR，即 M，故 M 是 与 的公共点 又 R，R平面 PQR，即 R，所以 R 是 与 的公共点所以 MR.故选 C.(2015福建六校联考)设 a，b，c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题：若 ab，bc，则 ac；若 ab，bc，则 ac；若 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 相交；若 a 平面，b 平面，则 a，b 一定是异面直线 上述命题中错误的是_(写出所有错误命题的序号)解：由公理 4 知正确；当 ab，bc 时，a 与 c 可以相交、平行或异面，故错；当 a 与 b相交，b 与 c 相交时，a 与 c 可以相交、平行，
55、也可以异面，故错；a，b，并不能说明a 与 b“不同在任何一个平面内”，故错故填.已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为 BB1，CC1的中点，那么异面直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为_ 解：连接 DF，则 AEDF，所以D1FD 即为异面直线 AE 与 D1F 所成的角设正方体的棱长为 a，则 D1Da，DFD1F 52 a，cosD1FD52 a252 a2a22 52 a 52 a35.故填35.类型一 基本概念与性质问题 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为棱 AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD 都相交的直线有_条 解
56、：如图示，在 EF 上任取一点 M，直线 A1D1与 M 确定一个平面，这个平面与 CD 有且仅有 1个交点 N，当 M 取不同的位置时就确定不同的平面，从而与 CD 有不同的交点 N，而直线 MN 与这 3条直线都有交点故填无数 点拨：本题难度不大，但比较灵活解题关键在于构造平面，可考虑过一条直线及另一条直线上的一点作平面，进而找出与三条异面直线都相交的直线解决点、线、面位置关系问题可借助平面、立体(长方体、正方体)模型，有利于我们看清问题 一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()AABCD BAB 与 CD 相交 CABCD DAB 与 CD 所
57、成的角为 60 解：将展开图还原，得如图所示正方体，易知 AB 与 CD 是异面直线，且它们所成的角为 60.故选 D.类型二 点共线、线共点问题 如图，空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，G，H 分别在 BC，CD 上，且BGGCDHHC12.(1)求证：E，F，G，H 四点共面；(2)设 EG 与 FH 交于点 P，求证：P，A，C 三点共线 证明：(1)因为 E，F 分别为 AB，AD 的中点，所以 EFBD.在BCD 中，因为BGGCDHHC12，所以 GHBD，所以 EFGH.所以 E，F，G，H 四点共面(2)因为 EGFHP，PEG，EG 平面 ABC，
58、所以 P平面 ABC.同理 P平面 ADC.所以 P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点 又平面 ABC平面 ADCAC，所以 PAC，即 P，A，C 三点共线 点拨：(1)证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可(2)要证明点共线问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理 3，即证点在两个平面的交线上，本题即采用这种证法；或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在直线上(3)证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上，如变式 2.
59、如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为 AB，AA1的中点 求证：(1)EFD1C；(2)CE，D1F，DA 三线共点 证明：(1)连接 A1B，则 EFA1B，A1BD1C.所以 EFD1C.(2)因为面 AA1D1D面 ABCDDA，且 EFD1C，EF12D1C，所以 D1F 与 CE 相交 又 D1F 面 AA1D1D，CE 面 ABCD，所以 D1F 与 CE 的交点必在 DA 上 所以 CE，D1F，DA 三线共点 类型三 共面问题 如图，四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形，BADFAB90，BC 綊12AD，BE 綊12FA，G，H 分别为 FA，F
60、D 的中点 (1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形；(2)C，D，F，E 四点是否共面？为什么？解：(1)证明：因为 GH 是AFD 的中位线，所以 GH 綊12AD.又 BC 綊12AD，所以 GH 綊 BC，所以四边形 BCHG 为平行四边形(2)C，D，F，E 四点共面 理由：BE 綊12AF，又由 G 为 FA 的中点知，BE綊 FG，所以四边形 BEFG 为平行四边形，所以 EFBG.由(1)知 BGCH，所以 EFCH，所以 EF 与 CH 共面又 DFH，所以 C，D，F，E 四点共面 点拨：点共面的证明方法和点共线的证明方法类似，即先由部分点或者线确定一个平面，再证明其余的
61、点或者在该平面内，或者由另外一部分点确定另一个平面，再证明这两个平面是同一个平面无论是点共线、线共点问题，还是共面问题，我们基本上是运用公理及其推论来进行演绎推理，其演绎推理的基本步骤是：首先由部分点或者线确定一条直线或者一个平面，再运用公理或者推论，证明剩余的点、线也在这条直线或者这个平面内 下列如图所示的正方体和正四面体中，P、Q、R、S 分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是_(填所有满足条件图形的序号)解：易知中 PSQR，所以四点共面在中构造如图所示的含点 P，S，R，Q 的正六边形，易知四点共面在中，由点 P，R，Q 确定平面，由图象观察知点 S 在平面 外，因此四点不共面综上知
62、，故填.类型四 异面直线问题 (2014全国)已知二面角 l为 60，AB，ABl，A 为垂足，CD，Cl，ACD135，则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为()A.14 B.24 C.34 D.12 解：如图，在平面 内过点 C 作 CEAB，并取 CE1，在平面 内过点 C 作 CFl，并取 CF1，过点F 作 FDl，则易知CFD 为等腰直角三角形ECF60，所以 EF1，CD 2，所以EFD90，DE 2.于是ECD 为异面直线 AB与 CD 所 成 的 角 或 其 补 角，故 cos ECD CE2CD2ED22CECD12（2）2（2）221 224.故选 B.点拨：探求常
63、规的异面直线所成角的问题，首先要理清求角的基本步骤为“一作，二证，三求”，通过平行线或补形平移法把异面直线转化为相交直线进而求其夹角，其中空间选点任意但要灵活，如常选择端点、中点、等分点，通过三角形的中位线平行于底边，长方体对面上的平行线进行平移等这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题 如图所示，在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，BAC60，PAABAC2，E是 PC 的中点 (1)求证：AE 与 PB 是异面直线；(2)求异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值 解：(1)证明：假设 AE 与 PB 共面，设此平面为.因为 A，B，E，所以平面 即为平面
64、ABE，所以 P平面 ABE，显然这与 P平面 ABE 矛盾，所以 AE 与 PB 是异面直线(2)取 BC 的中点 F，连接 EF，AF，则 EFPB，AEF(或其补角)就是异面直线 AE 和 PB 所成的角 因为BAC60，PAABAC2，PA平面 ABC，所以 AF 3，AE 2，EF 2，cosAEFAE2EF2AF22AEEF 2232 2 214，即异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值为14.1判断空间线面关系命题的真假，是一类常见的客观题解这类题，一要准确把握、理解相关概念；二要熟悉“推理论证加反例推断”的方法；三要借助空间直观如教室就是一个长方体，建议同学们学立体几何时充分
65、借助这一模型 2要重视三种数学语言文字语言、符号语言、图形语言的互译，特别要培养准确使用符号语言的能力在空间图形中，点是最基本的元素，点与线、点与面是元素与集合的关系，直线与平面是集合与集合的关系，防止出现符号“”“”混用的错误 3求两条异面直线所成角的步骤是：先作图，再证明，后计算作图，往往过其中一条直线上一点作另外一条直线的平行线，或过空间一特殊点分别作两条直线的平行线，即平移线段法，此法是求异面直线所成角的常用方法，其实质是把异面问题转化为共面问题；证明，即证明作图中所产生的某个角是异面直线所成的角；计算，一般在一个三角形中求解，这往往需要运用正弦定理或余弦定理来解决，如果计算出来的角是
66、钝角，则需要转化为相应的锐角，因为异面直线所成角的范围是0，2.4证明“线共面”或者“点共面”问题时，可以先由部分直线或者点确定一个平面，再证明其余的直线或者其余的点也在这个平面内 5证明“点共线”问题时，可以将这些点看做是两个平面的交线上的点，只要证明这些点是两个平面的公共点，根据公理 3 就可以确定这些点都在同一条直线上，即点共线 1(2015湖北)l1，l2表示空间中两条直线，若 p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则()Ap 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 Bp 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 Cp 是 q 的充分必要条件 Dp 既不是 q 的充分条
67、件，也不是 q 的必要条件 解：由 l1，l2是异面直线可得 l1，l2不相交，所以 pq；由 l1，l2不相交，可得 l1，l2可能是异面直线或 l1l2，q p所以 p 是 q 的充分不必要条件故选 A.2如图，点 P，Q，R，S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线 PQ 与 RS是异面直线的一个图是()解：A，B 中 PQ 綊 RS，D 中直线 PQ 与 RS 相交(或 RPSQ)，即直线 PQ 与 RS 共面，均不满足条件；C 中的直线 PQ 与 RS 是两条既不平行，又不相交的直线，即直线 PQ 与 RS 是异面直线故选 C.3(2015太原检测)已知平面 和直线 l
68、，则 内至少有一条直线与 l()A平行 B相交 C垂直 D异面 解：直线 l 与平面 相交时，在平面 内不存在与 l 平行的直线，所以 A 错误；l 时，在平面 内不存在与 l 相交的直线，所以 B 错误；l 时，在平面 内不存在与 l 异面的直线，所以 D 错误无论哪种情形，在平面 内都有无数条直线与 l 垂直故选 C.4 直 三 棱 柱 ABCA1B1C1 中，若 BAC 90，ABACAA1，则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于()A30 B45 C60 D90 解：延长 CA 到 D，使得 ADAC，连接 A1D，BD，则四边形 ADA1C1为平行四边形，DA1B 就是异面直线
69、 BA1与 AC1所成的角，又A1DB 为等边三角形，所以DA1B60.故选 C.5如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E，F，且 EF12，则下列结论中错误的是()AACBE BEF平面 ABCD C三棱锥 ABEF 的体积为定值 D异面直线 AE 与 BF 所成角为定值 解：易证 AC平面 BB1D1D，从而 ACBE，A正确由 B1D1平面 ABCD 得 EF平面 ABCD，B正确因为B点到直线B1D1的距离不变，所以BEF的面积为定值，又因为点 A 到平面 BEF 的距离为定值 22，所以 VABEF为定值，C 正确故选 D.6(2015广东
70、执信中学期中)如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 在侧面 BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持 APBD1，则动点 P 的轨迹是()A线段 B1C B线段 BC1 CBB1的中点与 CC1的中点连成的线段 DBC 的中点与 B1C1的中点连成的线段 解：连接 AB1，AC，BD，B1C，A1B，在正方体ABCDA1B1C1D1中，易证 AC平面 BDD1，AB1平面 BA1D1，所以 ACBD1，AB1BD1.又 ACAB1A，所以 BD1面 AB1C，所以 BD1B1C，从而动点 P 的轨迹是线段 B1C.故选 A.7如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N 分别为
71、DE，BE，EF，EC 的中点，在这个正四面体中，GH 与 EF 平行；BD 与 MN 为异面直线；GH 与 MN 成 60角；DE 与 MN 垂直 以 上 四 个 命 题 中，正 确 命 题 的 序 号 是_(填写所有正确命题的序号)解：把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH 与 EF 为异面直线，BD 与 MN为异面直线，GH 与 MN 成 60角，DEMN.故填.8(2015浙江)如图，在三棱锥 ABCD 中，ABACBDCD3，ADBC2，点 M，N 分别是AD，BC 的中点，则异面直线 AN，CM 所成的角的余弦值是_ 解：连接 ND，取 ND 的中点为 E，连接 ME，EC，则
72、 MEAN，异面直线 AN，CM 所成的角即为EMC(或其补角)，因为 AN2 2，CN1，所以 ME 2.又 CM2 2，NE 2，所以 CE 3，所以 cosEMCME2CM2CE22MECM 2832 22 278.故填78.9如图，已知正方体 ABCDABCD.(1)哪些棱所在直线与直线 BA是异面直线？(2)直线 BA和 CC的夹角是多少？(3)哪些棱所在的直线与直线 AA垂直？解：(1)由异面直线的定义可知，棱 AD，DC，CC，DD，DC，BC所在直线分别与直线 BA是异面直线(2)由 BBCC可知，BBA为异面直线 BA与 CC的夹角，BBA45，所以直线 BA与 CC的夹角为
73、 45.(3)直线AB，BC，CD，DA，AB，BC，CD，DA分别与直线 AA垂直 10如图，设 E，F，G，H，P，Q 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1所在棱上的中点，求证：E，F，G，H，P，Q 共面 证明：连接 A1C1，GQ，EH，因为 E，F，G，Q分 别 是 A1D1，D1C1，C1C，A1A 的中 点，所以EFA1C1QG.同理 FGEH.设 E，F，G，Q 确定平面，F，G，H，E 确定平面，由于 与 都经过不共线的三点 E，F，G，故 与 重合，所以 E，F，G，H，Q 五点共面 同理可证 E，F，G，P，Q 五点共面 所以 E，F，G，H，P，Q 共面 11如图，在
74、四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD是边长为 2 的菱形，DAB60，对角线 AC 与BD 交于点 O，PO平面 ABCD，PB 与平面 ABCD 所成角为 60.(1)求四棱锥的体积；(2)若 E 是 PB 的中点，求异面直线 DE 与 PA所成的角的余弦值 解：(1)在四棱锥 PABCD 中，因为 PO平面 ABCD，所以PBO 即为 PB 与平面 ABCD 所成的角，即PBO60，在 RtABO 中，AB2，OAB30，所以BO1.因为 PO平面 ABCD，OB 平面 ABCD，所以POOB.在 RtPOB 中，POBOtan60 3，易知底面菱形的面积 S2 34 222 3，所以四
75、棱锥 PABCD 的体积 VPABCD132 332.(2)取 AB 的中点 F，连接 EF，DF，因为 E 为PB 中点，所以 EFPA，所以DEF 即为异面直线 DE 与 PA 所成的角(或其补角)在 RtAOB 中，AO 3OP，所以 PA 6，EF 62.易知 DFDE 3，所以 cosDEFDE2EF2DF22DEEF（3）2622（3）22 3 62 24，即异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值为 24.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，P 为 BC 的中点，Q 为线段 CC1上的动点，过点 A，P，Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是
76、_(写出所有正确命题的编号)当 0CQ 12时，S 为四边形；当 CQ12时，S 为等腰梯形；当 CQ34时，S 与 C1D1的交点 R 满足 C1R13；当34CQ1 时，S 为六边形；当 CQ1 时，S 的面积为 62.解：过 A 作 AMPQ 交 DD1或 A1D1于 M.当 0CQ12时，M 在 DD1上，连接 MQ，则截面为 AMQP，故正确 当 CQ12时，M 与 D1重合，截面为 AD1QP，显然为等腰梯形，正确 当 CQ34时，M 在 A1D1上，且 D1M13.过 M 作 MRAP 交 C1D1于 R，则MD1RPBA，从而 D1R23，则 C1R13，故正确 当34CQ1
77、时，截面为 AMRQP，为五边形，即错误 当 CQ1 时，M 为 A1D1 的中点，截面 AMC1P为菱形，而 AC1 3，PM 2，故面积为12 3 2 62，正确 故填.84 空间中的平行关系 1空间中直线与平面之间的位置关系(1)直线在平面内，则它们_公共点；(2)直线与平面相交，则它们_公共点；(3)直线与平面平行，则它们_公共点 直 线 与 平 面 相 交 或 平 行 的 情 况 统 称 为_ 2直线与平面平行的判定和性质(1)直线与平面平行的判定定理 平 面 外 _ 与 此 平 面 内 的_平行，则该直线与此平面平行即线 线 平 行 线 面 平 行 用 符 号 表 示：_(2)直线
78、与平面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任 一 平 面 与 此 平 面 的 _ 与 该 直 线_即线面平行线线平行用符号表示：_ 3平面与平面之间的位置关系(1)两个平面平行，则它们_；(2)两个平面相交，则它们_，两个平面垂直是相交的一种特殊情况 4平面与平面平行的判定和性质(1)平面与平面平行的判定定理 一个平面内的两条_与另一个平面平行，则这两个平面平行用符号表示：_ 推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行 垂直于同一条直线的两个平面平行即l，l.平行于同一个平面的两个平面平行即，.(2)平面与平面平行的性质定理 如果两个
79、平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线_即面面平行 线 线 平 行 用 符 号 表 示：_ 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的 直 线 平 行 于 另 一 个 平 面 用 符 号 表 示：_ 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面用符号表示：_ 自查自纠：1(1)有无数个(2)有且只有一个 (3)没有 直线在平面外 2(1)一条直线 一条直线 a，b，且 aba(2)交线 平行 a，a，bab 3(1)没有公共点(2)有一条公共直线 4(1)相交直线 a，b，abP，a，b(2)平行，a，bab，a a，ll 已知平面，和直线 a，b，a，b，且 ab，
80、则 与 的关系是()A平行 B相交 C平行或相交 D垂直 解：可在平面 内作一直线 c，且 c 与 a 相交，若 c 平行于面，则根据面面平行的判定定理知；若 c 与面 相交，则面 与 相交故选 C.(2015北京)设，是两个不同的平面，m 是直线且 m.“m”是“”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解：如果 m，m，那么 与 可能平行也可能相交；反过来，如果 m，那么 m，所以 m 是 的必要不充分条件故选 B.(2016浙江宁波期中)设，是三个不重合的平面，m，n 是两条不重合的直线，则下列说法正确的是()A若，则 B若，m，则 m C若
81、 m，n，则 mn D若 m，n，则 mn 解：若，则 或 与 相交，A 错；若，m，则 m 与 平行、相交或 m，B 错；若 m，n，则 m 与 n 平行、相交或异面，D 错根据线面垂直的性质定理知 C 正确故选 C.(2016全国卷)，是两个平面，m，n 是两条直线，有下列四个命题：如果 mn，m，n，那么.如果 m，n，那么 mn.如果，m，那么 m.如果 mn，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等 其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)解：由 mn，m，可得 n 或 n 在 内，当 n 时，与 可能相交，也可能平行，故错易知都正确故填.棱长为 1 的正方体 ABCDA1
82、B1C1D1中，点 P，Q，R 分别是面 A1B1C1D1，BCC1B1，ABB1A1的中心，给出下列结论：PR 与 BQ 是异面直线；RQ平面 BCC1B1；平面 PQR平面 D1AC；过 P，Q，R 的平面截该正方体所得截面是边长为 2的等边三角形 以上结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)解：由于PR是A1BC1的中位线，所以PRBQ，故不正确；由于 RQA1C1，而 A1C1 不垂直于面BCC1B1，所以不正确；由于 PRBC1D1A，PQA1BD1C，所以正确；由于A1BC1 是边长为 2的正三角形，所以正确故填.类型一 线线平行 如图所示，在三棱锥 PABQ 中，D，C，E，F
83、分别是 AQ，BQ，AP，BP 的中点，PD 与EQ 交于点 G，PC 与 FQ 交于点 H，连接 GH.求证：ABGH.证明：因为 D，C，E，F 分别是 AQ，BQ，AP，BP 的中点，所以 EFAB，DCAB.所以 EFDC.又 EF平面 PCD，DC 平面 PCD，所以 EF平面PCD.又 EF 平面 EFQ，平面 EFQ平面 PCDGH，所以 EFGH.又 EFAB，所以 ABGH.点拨：证明线线平行，可以运用平行公理、中位线定理，也可以证明包含这两边的四边形是平行四边形，或者运用线面平行的性质定理来证明 (2015安徽)如图所示，在多面体A1B1D1DCBA 中，四边形 AA1B1
84、B，ADD1A1，ABCD 均为正方形，E 为 B1D1的中点，过 A1，D，E 的平面交CD1于 F.证明：EFB1C.证明：由正方形的性质可知 A1B1ABDC，且 A1B1ABDC，所以四边形 A1B1CD 为平行四边形，从而 B1CA1D.又 A1D 面 A1DE，B1C面 A1DE，所以 B1C面 A1DE.又 B1C 面 B1CD1，面 A1DE面B1CD1EF，所以 EFB1C.类型二 线面平行 (2015南通模拟)如图所示，斜三棱柱 ABCA1B1C1中，点 D，D1分别为 AC，A1C1的中点 (1)证明：AD1平面 BDC1；(2)证明：BD平面 AB1D1.证明：(1)因
85、为 D1，D 分别为 A1C1，AC 的中点，四边形 ACC1A1为平行四边形，所以 C1D1綊 DA，所以四边形 ADC1D1为平行四边形，所以 AD1C1D.又 AD1平面 BDC1，C1D 平面 BDC1，所以 AD1平面 BDC1.(2)连接 D1D，因为 BB1平面 ACC1A1，BB1平面 BB1D1D，平面 ACC1A1平面 BB1D1DD1D，所以 BB1D1D.又 D1，D 分别为 A1C1，AC 的中点，所以 BB1DD1，故四边形 BDD1B1为平行四边形，所以 BDB1D1.又 BD平面 AB1D1，B1D1 平面 AB1D1，所以 BD平面 AB1D1.点拨：(1)证
86、明线面平行时，先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行，若找不到这样的直线，可以考虑通过面面平行来推导线面平行(2)应用线面平行性质的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线 (2016江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F在侧棱 B1B 上，且 B1DA1F，A1C1A1B1.求证：直线 DE平面 A1C1F.证明：在直三棱柱 ABCA1B1C1中，A1C1AC.在ABC 中，因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点，所以 DEAC，于是 DEA1C1.又 DE平面 A1C1F，A1C1 平面 A1C1F，所以直线
87、DE平面 A1C1F.类型三 面面平行 (2015河南洛阳检测)如图，ABCD与 ADEF 为平行四边形，M，N，G 分别是 AB，AD，EF 的中点 (1)求证：BE平面 DMF；(2)求证：平面 BDE平面 MNG.证明：(1)如图，连接 AE，则 AE 必过 DF 与GN 的交点 O，连接 MO，则 MO 为ABE 的中位线，所以 BEMO.又 BE平面 DMF，MO 平面 DMF，所以 BE平面 DMF.(2)因为 N，G 分别为平行四边形 ADEF 的边AD，EF 的中点，所以 DEGN.又 DE平面 MNG，GN 平面 MNG，所以 DE平面 MNG.又由(1)知 BEMO，BE平
88、面 MNG，MO 平面MNG，所以 BE平面 MNG(依据中位线证 MNBD也可)又 DE，BE 为平面 BDE 内两条相交直线，所以平面 BDE平面 MNG.点拨：证明面面平行的方法详见“名师点睛”栏；第(2)问选用的证法也是证明面面平行的常用证法 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，S是 B1D1的中点，E，F，G 分别是 BC，DC，SC 的中点，求证：(1)直线 EG平面 BDD1B1；(2)平面 EFG平面 BDD1B1.证明：(1)如图，连接 SB，因为 E，G 分别是 BC，SC 的中点，所以 EGSB.又因为 SB 平面 BDD1B1，EG平面 BDD1B1，所以直线
89、EG平面 BDD1B1.(2)连接 SD，因为 F，G 分别是 DC，SC 的中点，所以 FGSD.又因为 SD 平面 BDD1B1，FG平面 BDD1B1，所以 FG平面 BDD1B1，又 EG 平面 EFG，FG 平面 EFG，EGFGG，所以平面 EFG平面 BDD1B1.1证明线线平行的方法(1)利用平面几何知识；(2)平行公理：ab，bcac；(3)线面平行的性质定理：a，a，bab；(4)面面平行的性质定理：，a，bab；(5)线面垂直的性质定理：m，nmn.2证明直线和平面平行的方法(1)利用定义(常用反证法)；(2)判定定理：a，b，且 aba；(3)利用面面平行的性质：，l
90、l；(4)向量法m，n，mnm；(5)空间平行关系的传递性：mn，m，n，mn；(6)，l，ll.3证明面面平行的方法(1)利用定义(常用反证法)；(2)利用判定定理：a，b，abP，a，b；推论：a，b，m，n，abP，mnQ，am，bn(或 an，bm)；(3)利用 面面 平行 的传递 性：；(4)利用线面垂直的性质：ll.4应用面面平行的性质定理时，关键是找(或作)辅助线或平面，对此需要强调的是：(1)辅助线、辅助平面要作得有理有据，不能随意添加；(2)辅助面、辅助线具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，不能主观臆断 5注意线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化 应用判定定理时，注意
91、由“低维”到“高维”：“线线平行”“线面平行”“面面平行”；应用性质定理时，注意由“高维”到“低维”：“面面平行”“线面平行”“线线平行”1(2015大连测试)在空间中，a，b 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是()A若 a，b，则 ab B若 a，b，则 ab C若 a，ab，则 b D若，a，则 a 解：对于 A，平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，A 错误；对于 B，分别位于两个相互垂直的平面内的两条直线可能平行、相交或异面，B 错误；对于 C，直线 b 可能位于平面 内，C 错误；对于 D，直线a 与平面 没有公共点，因此 a，D 正确故
92、选 D.2若直线 l 不平行于平面，且 l，则()A 内的所有直线与 l 异面 B 内不存在与 l 平行的直线 C 内存在唯一的直线与 l 平行 D 内的直线与 l 都相交 解：因为直线 l 不平行于平面，且 l，所以 l 与 相交观察各选项，易知 A，C，D都是错误的故选 B.3设，为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“m，n，且_，则 mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题，n；m，n；n，m.可以填入的条件有()A B C D 解：由面面平行的性质定理可知正确；当m，n，m，n 可能是异面直线，错误；当 n，m 时，n 和 m 在同一平面内，且没有公共点，
93、所以 mn，正确故选 C.4如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB6，AD4，AA13.分别过 BC，A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为 V111AEADFDV，V21 111EBE AFCF DV，V31 11 1B E B C F CV.若 V1V2V3141，则截面 A1EFD1的面积为()A4 10 B8 3 C4 13 D16 解：由于两个截面平行，所以三部分都可看作直棱柱，所以底面积之比为 141.易得 AE2，A1E 13.所以 SA1EFD14 13.故选 C.5如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F分别为棱 AB，CC1 的中点，
94、在平面 ADD1A1 内与平面 D1EF 平行的直线()A不存在 B有 1 条 C有 2 条 D有无数条 解：由题设知平面 ADD1A1与平面 D1EF 有公共点 D1，则必有过该点的公共直线 l，在平面 ADD1A1内与 l 平行的直线有无数条，且它们都不在平面D1EF 内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF 平行故选 D.6(2016全国卷)平面 过正方体 ABCD A1B1C1D1的顶点 A，平面 CB1D1，平面 ABCDm，平面 ABB1A1n，则 m，n 所成角的正弦值为()A.32 B.22 C.33 D.13 解：因为平面 平面 CB1D1，所以平面 与平面 ABCD
95、的交线 m 平行于平面 CB1D1 与平面ABCD 的交线 l.因为在正方体中平面 ABCD 平行于平面A1B1C1D1，所以 lB1D1，所以 mB1D1.同理，n 平行于平面 CB1D1 与平面 ABB1A1 的交线因为平面ABB1A1平面 CDD1C1，所以平面 CB1D1与平面 ABB1A1的交线平行于平面 CB1D1与平面 CDD1C1的交线 CD1，所以 nCD1.故 m，n 所成的角即为 B1D1，CD1所成的角，显然所成的角为 60，则其正弦值为 32.故选 A.7如图所示的四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB面 MNP
96、的图形的序号是_(写出所有符合要求的图形序号)解：在中，由于平面 MNP 与 AB 所在的侧面平行，所以 AB平面 MNP；在中，由于 AB 与以MP 为中位线的三角形的底边平行，所以 ABMP，又因为 MP 平面 MNP，AB平面 MNP.所以 AB平面 MNP.中，只须平移 AB，即可发现 AB 与平面 MNP 相交故填.8(2015长沙模拟)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，点 P 是棱 AD 上一点，且 APa3，过 B1，D1，P 的平面交底面 ABCD 于 PQ，Q 在直线 CD 上，则 PQ_ 解：因为平面 A1B1C1D1平面 ABCD，而平面B1D1P平面
97、 ABCDPQ，平面 B1D1P平面 A1B1C1D1B1D1，所以 B1D1PQ.又因为 B1D1BD，所以BDPQ.设 PQABM，又因为 ABCD，所以四边形 BDQM 为平行四边形，所以 MQBD 2a.又 PM13BD 23 a，所以 PQMQPM 2a 2a3 2 23 a.故填2 23a.9如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 为底面 ABCD 的中心，P，Q 分别是 DD1，CC1的中点求证：(1)PO面 D1BQ；(2)平面 D1BQ平面 PAO.证明：(1)连接 DB，在D1DB 中，P，O 分别是 DD1，DB 的中点，则 POD1B，又 PO面 D1BQ，D1
98、B 面 D1BQ，所以 PO面 D1BQ.(2)易证四边形 APQB 是平行四边形，所以PABQ.又 PA面 D1BQ，BQ 面 D1BQ，所以 PA面 D1BQ.又由(1)知 PO面 D1BQ，PO PAP，PO，PA平面 D1BQ，所以平面 D1BQ平面 PAO.10(2015四川)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示在正方体中，设 BC 的中点为 M，GH 的中点为 N.(1)请将字母 F，G，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线 MN平面 BDH.解：(1)点 F，G，H 的位置如图所示(2)证明：连接 BD，设 O 为 BD 的中点，连接
99、OM，OH.因为 M，O 分别是 BC，BD 的中点，所以 OMCD，且 OM12CD，又 HNCD，且 HN12CD，所以 OMHN，OMHN.所以 MNHO 是平行四边形，从而 MNOH.又 MN平面 BDH，OH 平面 BDH，所以 MN平面 BDH.11(2015山东)如图，在三棱台 DEFABC中，AB2DE，G，H 分别为 AC，BC 的中点 (1)求证：BD平面 FGH；(2)若 CF平面 ABC，ABBC，CFDE，BAC45，求平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角(锐角)的大小 解：(1)证明：在三棱台 DEFABC 中，由 BC2EF，H 为 BC 的中点，可得 BHE
100、F，BHEF，所以四边形 BHFE 为平行四边形，所以 BEHF.在ABC 中，因为 G 为 AC 的中点，H 为 BC的中点，所以 GHAB.又 GHHFH，所以平面 FGH平面 ABED.因为 BD 平面 ABED，所以 BD平面 FGH.(2)设 AB2，则 CFDE1，在三棱台 DEFABC 中，G 为 AC 的中点，由 DF12ACGC，可得四边形 DGCF 为平行四边形，所以DGFC.又 FC平面 ABC，所以 DG平面 ABC.连接 GB，在ABC 中，由 ABBC，BAC45，G 是 AC 的中点，得 ABBC，GBGC，因此，GB，GC，GD 两两垂直 以 G 为坐标原点，建
101、立如图所示空间直角坐标系 Gxyz，则 G(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，1)，可得 H22，22，0，F(0，2，1)，所以GH22，22，0，GF(0，2，1)设 n(x，y，z)是平面 FGH 的法向量，则 由nGH0，nGF0，得xy0，2yz0，令 x1，可得平面 FGH 的一个法向量 n(1，1，2)因为GB(2，0，0)是平面 ACFD 的一个法向量，所以 cosGB，nGBn|GB|n|22 212，所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为 60.(2016辽宁葫芦岛期中)已知如图所示的几何体，正方形 ABCD 和矩形 ABEF 所在平
102、面互相垂直，AF2AB2，M 为 AF 的中点，BNCE，垂足为 N，连接 DN.(1)求证：CF平面 BDM；(2)求二面角 M BD N 的大小 解：(1)证明：连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OM，因为四边形 ABCD 为正方形，所以 O 为 AC 的中点，又因为 M 为 AF 的中点，所以 FCMO，又因为 MO 平面 BDM，FC平面 BDM，所以 FC平面 BDM.(2)由已知可得 AF平面 ABCD.以 A 为坐标原点，AD，AB，AF 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图 易知 C(1，1，0)，M(0，0，1)，B(0，1，0)，D(1，0，0
103、)，N45，1，25，则BD(1，1，0)，BM(0，1，1)，BN45，0，25，设平面 BDM的法向量为 p(x1，y1，z1)，则pBD0，pBM0，即x1y10，y1z10，令 x11，则 p(1，1，1)设平面 BDN 的法向量为 q(x2，y2，z2)，则qBD0，qBN0，即x2y20，45x225z20，令 x21，则 q(1，1，2)设 p 与 q 的夹角为，则 cos pq|p|q|0，所以二面角 M BD N 的大小为 90.另解：证明 FC平面 BDN.85 空间中的垂直关系 1线线垂直 如果两条直线所成的角是_(无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直 2直线
104、与平面垂直(1)定义：如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说_，记作_直线 l叫 做 _，平 面叫 做_直线与平面垂直时，它们惟一的公共点 P 叫做_垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的_(2)判定定理：一条直线与一个平面内的_都垂直，则该直线与此平面垂直 推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面用符号表示：ab，ab.(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_ 3直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_，叫做这条直线和这个平面所成的角 一条直线垂直于平面，我们说它们
105、所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是 0的角任一直线与平面所成角 的范围是_ 4二面角的有关概念(1)二 面 角：从 一 条 直 线 出 发 的_叫做二面角(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作_的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角二面角的范围是_ 5平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直(2)判定定理：一个平面过另一个平面的_，则这两个平面垂直(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于_的直线与另一个平面垂直 自查自纠：1直角 2(1)直线l与平面互相垂
106、直 l 平面 的垂线 直线 l 的垂面 垂足 距离(2)两条相交直线(3)平行 3锐角 4(1)两个半平面所组成的图形(2)垂直于棱 5(1)直二面角(2)垂线(3)交线 (2015福建)若 l，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面，则“lm”是“l”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解：若 lm，m平面，则 l 或 l；若 l，m平面，则 lm，所以“lm”是“l”的必要而不充分条件故选 B.(2015浙江)设，是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l，m()A若 l，则 B若，则lm C若 l，则 D若，则lm 解：对于 A，由
107、两平面垂直的判定定理知，A正确；对于 B，直线 l，m 相交、平行、异面都有可能，B 错误；对于 C，要求 内两条相交直线都平行于，才能推出，C 错误；对于 D，l，m 平行、异面都有可能，D 错误故选 A.(2015贵州八校联考)如图，在正方形ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，沿 AE，AF，EF 把正方形折成一个四面体，使 B，C，D 三点重合，重合后的点记为 P，P 点在AEF 内的射影为O.则下列说法正确的是()AO 是AEF 的垂心 BO 是AEF 的内心 CO 是AEF 的外心 DO 是AEF 的重心 解：连接 PO，AO，EO，FO，易知 PA，PE，PF两两垂直
108、，则 PA平面 PEF，从而 PAEF，因为 PO平面 AEF，则 POEF，又 PAPOP，所以 EF平面 PAO，所以 EFAO，同理可知 AEFO，AFEO，所以 O 为AEF 的垂心故选 A.(2015福建月考)点 P 在正方体 ABCDA1B1C1D1的面对角线 BC1上运动，则下列四个命题：三棱锥 AD1PC 的体积不变；A1P平面 ACD1；DPBC1；平面 PDB1平面 ACD1.其中正确的命题序号是_(填写所有正确命题的序号)解：由题意可得直线 BC1平行于直线 AD1，并且直线 AD1 平面 AD1C，直线 BC1平面 AD1C，所以直线 BC1平面 AD1C.因为1A D
109、 PCV 1P AD CV，且点 P 到平面 AD1C的距离不变，所以三棱锥 AD1PC 的体积不变，正确；连接 A1C1，A1B，可得平面 AD1C平面 A1C1B.因为 A1P 平面 A1C1B，所以 A1P平面 ACD1，正确；当点 P 运动到 B 点时，DBC1是等边三角形，所以 DP 不垂直 BC1.错误；因为直线 AC平面 D1DBB1，DB1 平面 D1DBB1，所以 ACDB1.同理可得 AD1DB1.所以 DB1平面 ACD1.又因为 DB1 平面 PDB1，所以平面 PDB1平面 ACD1，正确 综上知，正确故填.如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面 AB
110、C，底面是以ABC 为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D 是 A1C1的中点，点 F在线段 AA1上，当 AF_时，CF平面B1DF.解：B1D平面 ACC1A1，所以 B1DCF.要 CF平面 B1DF，只要 CFDF 即可 令 CFDF，A1FDACF，AFCA1DF，设 AFx，则 A1F3ax.由 RtCAFRtFA1D，得ACA1FAFA1D，即 2a3axxa，解得 xa 或 x2a.(亦可由勾股定理求得)故填 a 或 2a.类型一 线线垂直问题 如图，在四棱台 ABCDA1B1C1D1中，D1D平面 ABCD，底面 ABCD 是平行四边形，AB2AD，ADA1B1，B
111、AD60.(1)证明：AA1BD；(2)证明：CC1平面 A1BD.证明：(1)因为 D1D面 ABCD，且 BD 面 ABCD，所以 D1DBD.又因为 AB2AD，BAD60，在ABD 中，由余弦定理得 BD2AD2AB22ADABcos603AD2，所以 AD2BD2AB2.所以 ADBD.又因为 ADD1DD，所以 BD面 ADD1A1.又 AA1 面 ADD1A1,所以 AA1BD.(2)连接 AC，A1C1，设 ACBDE，连接 A1E.因为四边形 ABCD 为平行四边形，所以 EC12AC.由棱台定义及 AB2AD2A1B1知 A1C1EC 且A1C1EC，所以四边形 A1ECC
112、1为平行四边形 所以 CC1A1E.又因为 A1E 面 A1BD，CC1面 A1BD，所以 CC1面 A1BD.点拨：本题主要考查线线、线面位置关系第(1)问证明线线垂直，其实质是通过证明线面垂直，再化归为线线垂直；第(2)问证明线面平行，需转化为证明线线平行，由于面 A1BD 中没有与 CC1平行的直线，故需作辅助线 (2015江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1 中，已知 ACBC，BCCC1，设 AB1 的中点为 D，B1CBC1E.求证：(1)DE平面 AA1C1C；(2)BC1AB1.证明：(1)由题意知 E 为 B1C 的中点，又 D 为AB1的中点，所以 DEAC.又因为 D
113、E平面 AA1C1C，AC 平面 AA1C1C，所以 DE平面 AA1C1C.(2)因为棱柱 ABCA1B1C1是直三棱柱，所以 CC1平面 ABC.因为 AC 平面 ABC，所以 ACCC1.又因为 ACBC，CC1 平面 BCC1B1，BC 平面BCC1B1，BCCC1C，所以 AC平面 BCC1B1.又因为 BC1 平面 BCC1B1，所以 BC1AC.因为 BCCC1，所以矩形 BCC1B1 是正方形，所以 BC1B1C.又 ACB1CC，所以 BC1平面 B1AC.又因为AB1 平面 B1AC，所以 BC1AB1.类型二 线面垂直问题 如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，
114、ABAD，点 E 在线段 AD 上，且 CEAB.(1)求证：CE平面 PAD；(2)若 PAAB1，AD3，CD 2，CDA45，求四棱锥 PABCD 的体积 解：(1)证明：因为 PA底面 ABCD，CE 平面 ABCD，所以 PACE.因为 ABAD，CEAB，所以 CEAD.又 PAADA，所以 CE平面 PAD.(2)由(1)可知 CEAD.在 RtECD 中，CECDsin451，DECDcos451，又因为 AB1，则 ABCE.又 CEAB，ABAD，所以四边形 ABCE 为矩形，四边形 ABCD 为梯形 因为 AD3，所以 BCAEADDE2，SABCD12(BCAD)AB1
115、2(23)152，VPABCD13SABCDPA1352156.于是四棱锥 PABCD 的体积为56.点拨：证明线面垂直的基本思路是证明该直线和平面内的两条相交直线垂直，亦可利用面面垂直的性质定理来证明；第(2)问的难点在于求底面四边形 ABCD 的面积，注意充分利用题设条件，先证明底面 ABCD 是直角梯形，从而求出底面面积，最后求体积 (2015浙江)如 图，在 三 棱 柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，A1A4，A1在底面 ABC 的射影为 BC 的中点，D 是 B1C1的中点证明：A1D平面 A1BC.证明：设 E 为 BC 的中点，连接 A1E，DE，AE，由题意得 A
116、1E平面 ABC，所以 A1EAE.因为 ABAC，所以 AEBC，所以 AE平面A1BC.由 D，E 分别为 B1C1，BC 的中点，得 DEB1B 且 DEB1B，从而 DEA1A 且 DEA1A，所以四边形 A1AED 为平行四边形，所以 A1DAE.又因为 AE平面 A1BC，所以 A1D平面 A1BC.类型三 面面垂直问题 如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M 是棱 CC1的中点 (1)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值；(2)证明：平面 ABM平面 A1B1M.解：(1)因为 C1D1B1A1，所以MA1B1为异面直线 A1M 和
117、 C1D1所成的角，因为 A1B1平面 BCC1B1，所以A1B1M90.而 A1B11，B1M B1C21MC21 2，故 tanMA1B1B1MA1B1 2.(2)证明：由 A1B1平面 BCC1B1，BM 平面BCC1B1，得 A1B1BM.由(1)知，B1M 2，又 BM BC2CM2 2，B1B2，B1M2BM2B1B2，从而 BMB1M.又 A1B1B1MB1，由得 BM平面 A1B1M.而 BM 平面 ABM，所以平面 ABM平面 A1B1M.点拨：求异面直线所成的角，一般方法是通过平移直线，把异面问题转化为共面问题，通过解三角形求出所构造的角；证明面面垂直，可转化为证明线面垂直
118、，而线面垂直又可以转化为证明线线垂直，在证明过程中，需充分利用规则几何体本身所具有的几何特征简化问题，有时还需应用勾股定理的逆定理，通过计算来证明垂直关系，这在高考题中是常用方法之一 如图，在三棱锥 VABC 中，VC底面 ABC，ACBC，D 是 AB 的中点，且 ACBCa，VDC02.(1)求证：平面 VAB平面 VCD；(2)当角 在0，2 上变化时，求直线 BC与平面 VAB 所成的角的取值范围 解：(1)证明：因为 ACBCa，所以ACB是等腰三角形又 D 是 AB 的中点，所以 CDAB.又 VC底面 ABC，所以 VCAB.于是 AB平面 VCD.又 AB 平面 VAB，所以平
119、面 VAB平面 VCD.(2)在平面 VCD 内过点 C 作 CHVD 于 H，则由(1)知 CH平面 VAB.连接 BH，于是CBH 就是直线 BC 与平面 VAB所成的角 在 RtCHD 中，易知 CH 22 asin.设CBH，在 RtBHC 中，CHasin，所以 22 sinsin.因 为0 2，所 以0sin1，0sin 22.又 02，所以 04.即直线 BC 与平面 VAB 所成角的取值范围为0，4.类型四 垂直综合问题 如图，在圆锥 PO 中，已知 PO 2，O 的直径 AB2，C 是AB的中点，D 为 AC 的中点 (1)证明：平面 POD平面 PAC；(2)求二面角 BP
120、AC 的余弦值 解：(1)证明：因为 OAOC，D 为 AC 的中点，所以 ACOD.又因为 PO底面O，AC 底面O，所以ACPO.因为 ODPOO，所以 AC平面 POD.而AC 平面 PAC，所以平面 POD平面 PAC.(2)在平面 POD 中，过 O 作 OHPD 于 H，由(1)知，平面 POD平面 PAC，所以 OH平面 PAC.又 PA 平面 PAC，所以 PAOH.在平面 PAO 中，过 O 作 OGPA 于 G，连接 HG，则有 PA平面 OGH，从而 PAHG，所以OGH 是二面角 BPAC的平面角 在 RtODA 中，ODOAsin45 22.在 RtPOD 中，OH
121、POODPO2OD22 22212105，在 RtPOA 中，OG POOAPO2OA2212163，在 RtOHG 中，sinOGHOHOG10563 155，所以 cosOGH 105.故二面角 BPAC 的余弦值为 105.点拨：本题以圆锥为载体，主要考查面面垂直及二面角的计算等第(1)问是利用隐含的线线、线面垂直得出面面垂直，充分利用圆及圆锥的性质是证明的关键；第(2)问的难点在于如何作出二面角BPAC 的平面角，这主要是利用第(1)问面面垂直的性质作图来实现的，在作出二面角的平面角后，构造(或找出)含此角的三角形，计算即可注意尽量将计算问题放在直角三角形内 (2016全国卷)如图，在
122、以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角 D AFE与二面角 CBEF 都是 60.(1)证明：平面 ABEF平面 EFDC；(2)求二面角 EBCA 的余弦值 解：(1)证明：由已知可得 AFDF，AFFE，又 DFFEF，所以 AF平面 EFDC.又 AF 平面 ABEF，故平面 ABEF平面 EFDC.(2)过 D 作 DGEF，垂足为 G，由(1)知 DG平面 ABEF.以 G 为坐标原点，GF的方向为 x 轴正方向，|GF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz.由(1)知DFE 为二面角 DAFE 的平面角，故
123、DFE60，则 DF2，DG 3，可得 A(1，4，0)，B(3，4，0)，E(3，0，0)，D(0，0，3)由已知得，ABEF，所以 AB平面 EFDC.又平面 ABCD平面 EFDCCD，故 ABCD，CDEF.由 BEAF，可得 BE平面 EFDC，所以CEF为二面角 CBEF 的平面角，故CEF60，从而可得 C(2，0，3)，连接 AC，则EC(1，0，3)，EB(0，4，0)，AC(3，4，3)，AB(4，0，0)设 n(x，y，z)是平面 BCE 的法向量，则 nEC0，nEB0，即x 3z0，4y0，所以可取 n(3，0，3)设 m 是平面 ABCD 的法向量，则mAC0，mA
124、B0，同理可取 m(0，3，4)，则 cosn，m nm|n|m|2 1919，结合图形，得二面角 EBCA 的余弦值为 2 1919.1判断(证明)线线垂直的方法(1)根据定义；(2)如果直线 ab，ac，则 bc；(3)如果直线 a面，c，则 ac；(4)向量法：两条直线的方向向量的数量积为零 2证明直线和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理：两相交直线 a，b，ac，bcc；(2)ab，ab；(3)利用面面平行的性质：，aa；(4)利用面面垂直的性质：，m，a，ama；，m m.3证明面面垂直的主要方法(1)利用判定定理：a，a；(2)用定义证明只需判定两平面所成二面角为直二面角；(3)
125、如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面：，.4平面与平面垂直的性质的应用 当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等 5注意线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化 6线面角、二面角求法 求这两种空间角的步骤：根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找)证求(算)三步曲 也可用射影法：设斜线段 AB 在平面 内的射影为 AB，AB 与 所成角为，则 cos|AB|AB；设
126、ABC 在平面 内的射影三角形为ABC，平面 ABC 与 所成角为，则 cosSABCSABC.1已知，为两个不同的平面，l 为直线，若，l，则()A垂直于平面 的平面一定平行于平面 B垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面 C垂直于平面 的平面一定平行于直线 l D垂直于直线 l 的平面一定与平面，都垂直 解：由面面垂直的判定定理可知，垂直于直线 l 的平面一定与平面，都垂直故选 D.2设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面下列命题中正确的是()A若，m，n，则 mn B若，m，n，则 mn C若 mn，m，n，则 D若 m，mn，n，则 解：若，m，n，则 m 与 n 可能平行、相交
127、或异面，故 A 错；若，m，n，则 m 与 n 可能平行，也可能异面，故B 错；若 mn，m，n，则 与 可能相交，也可能平行，故 C 错；对于 D 项，由 m，mn，得 n，又知 n，故，所以 D项正确故选 D.3(2015福建质量检查)如图，AB 是圆 O的直径，VA 垂直圆 O 所在的平面，C 是圆周上不同于 A，B 的任意一点，M，N 分别为 VA，VC 的中点，则下列结论正确的是()AMNAB BMN 与 BC 所成的角为 45 COC平面 VAC D平面 VAC平面 VBC 解：依题意，MNAC，又直线 AC 与 AB 相交，因此 MN 与 AB 不平行，A 错误；注意到 ACBC
128、，因此 MN 与 BC 所成的角是 90，B 错误；注意到直线 OC 与 AC 不垂直，因此 OC 与平面 VAC 不垂直，C 错误；由于 BCAC，BCVA，因此 BC平面 VAC.又 BC 平面 VBC，所以平面 VBC平面VAC，D 正确故选 D.4(2014福建南平3月月考)如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则 C1在底面 ABC 上的射影 H 必在()A直线 AB 上 B直线 BC 上 C直线 AC 上 DABC 内部 解：因为 BC1AC，BAAC，BABC1B，所以 AC平面 ABC1，因此平面 ABC平面 ABC1，因此 C1在底面 ABC 上的射
129、影 H 在直线 AB 上故选A.5如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为对角线 BD1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有()A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 解：如图，过 P 作平面 A1B1C1D1，ABCD 的垂线分别交 D1B1，DB 于 E，F 点，易知 P 也是 EF 的三等分点 设正方体的棱长为 a，则 PA1PC1a；PD123 3a，PB 33 a；PB1 63 a，PAPC 63 a，PDa.故有 4 个不同的值故选 B.6 (2015衡水模拟)如 图，正 方 体ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，过点 A 作平面 A1BD 的垂线，垂足为点 H.
130、则以下命题中，错误的是()A点 H 是A1BD 的垂心 BAH 垂直于平面 CB1D1 CAH 延长线经过点 C1 D直线 AH 和 BB1所成角为 45 解：对于 A，由于 AA1ABAD，所以点 A 在平面 A1BD 上的射影必到点 A1，B，D 的距离相等，即点 H 是A1BD 的外心，而 A1BA1DBD，所以点 H 是A1BD 的垂心，命题 A 是真命题；对于 B，由于 B1D1BD，CD1A1B，所以平面 A1BD平面CB1D1，而 AH平面 A1BD，从而 AH平面 CB1D1，命题 B 是真命题；对于 C，由于 AH平面 A1BD，AC1平面 A1BD，所以 AH 的延长线经过
131、 C1，命题C 是真命题；对于 D，由 C 知直线 AH 即是直线 AC1，又直线 AA1BB1，所以直线 AH 和 BB1所成的角为A1AC1，而 tanA1AC1 2，命题 D 是假命题故选 D.7如图，二面角 l 的大小是 60，线段 AB，Bl，AB 与 l 所成的角为 30.则AB 与平面 所成的角的正弦值是_ 解：过点 A 作平面 的垂线，垂足为 C，连接 BC，在 内作 CDl，交 l 于点 D，连接 AD.因为 lCD，lAC，ACCDC，所以 l面 ACD.所以lAD.故ADC为二面角l的平面角，即ADC60，易知ABC 为直线 AB 与平面 所成的角 设 CDa，则 AD2
132、a，AC 3a.又因为ABD30，所以 AB4a.所以 sinABCACAB 3a4a 34.故填 34.8已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E，F，G 分别是 AB，BC，B1C1的中点下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形；P 在直线 FG 上运动时，APDE；Q 在直线 BC1上运动时，三棱锥 AD1QC 的体积不变；M 是正方体的面 A1B1C1D1内到点 D 和 C1距离相等的点，则 M 点的轨迹是一条线段 解：三棱锥 A1ABC 的四个面都是直角三角形，错误；P 在 FG 上运动时，PF平面 ABC
133、D，所以 PFDE，又在正方形 ABCD 中，E，F 分别为AB，BC 的中点，所以 AFDE，所以 DE平面 PAF，所以 DEPA，正确；1A D QCV 1Q AD CV，因为BC1AD1，所以 BC1平面 AD1C，所以无论点 Q 在BC1上怎样运动，Q 到平面 AD1C 的距离都相等，正确；到点 D 和 C1距离相等的点在平面 A1BCD1上，而面 A1BCD1面 A1B1C1D1A1D1，所以点 M 的轨迹是线段 A1D1，正确故填.9如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点 E 是正方形 BCC1B1的中心，点 F，G 分别是棱 C1D1，DD1的中点设点 E1是
134、点 E 在平面 DCC1D1内的正投影 (1)证明：直线 FG平面 FEE1；(2)求异面直线 E1G 与 EA 所成角的正弦值 解：如图所示，连接 EE1，EB.(1)证明：因为 E1G2，FE1FG 2，易得 FE21FG2E1G2，所以 FGFE1.又因为 EE1面 CC1D1D，所以 EE1FG.又 EE1FE1E1，所以 FG平面 FEE1.(2)因为 E1GAB，所以EAB 即为异面直线 E1G 与 EA 所成的角因为 BEAB，AB2，BE 2，所以 AE 6.所以 sinEABBEAE 26 33.10已知四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，ABCD 是正方形(1)若
135、PDAD，求 PC 与面 ABCD 所成的角；(2)求证：平面 PBC平面 PCD.解：(1)因为 PD平面 ABCD，所以 DC 是直线PC 在平面 ABCD 上的射影，所以PCD 是直线 PC和平面 ABCD 所成的角 又因为 PDDA，四边形 ABCD 是正方形，所以 PDDC.所以PCD45，即直线 PC 与平面ABCD 所成的角为 45.(2)证明：因为 PD平面 ABCD，BC 平面ABCD，所以 PDBC，因为 ABCD 为正方形，所以 BCCD，因为 PDCDD，PD，CD 平面 PCD，所以 BC平面 PCD.又因为 BC 平面 PBC，所以平面 PBC平面PCD.11(20
136、16全国卷)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB5，AC6，点 E，F分别在 AD，CD 上，AECF54，EF 交 BD 于点 H.将DEF 沿 EF 折到DEF 的位置，OD 10.(1)证明：DH平面 ABCD；(2)求二面角 B DAC 的正弦值 解：(1)证明：由已知得 ACBD，ADCD.又由 AECF 得AEADCFCD，故 ACEF.因此 EFHD，从而 EFDH.由 AB5，AC6，得 DOBO AB2AO24.由 EFAC 得OHDOAEAD14.所以 OH1，DHDH3.于是 DH2OH2321210DO2，故 DHOH.又 DHEF，而 OH
137、EFH，所以 DH平面 ABCD.(2)如图，以 H 为坐标原点，HF的方向为 x轴正方向，建立空间直角坐标系 Hxyz.则 H(0，0，0)，A(3，1，0)，B(0，5，0)，C(3，1，0)，D(0，0，3)，AB(3，4，0)，AC(6，0，0)，AD(3，1，3)设 m(x1，y1，z1)是平面 ABD的法向量，则mAB0，mAD 0，即3x14y10，3x1y13z10，所以可取 m(4，3，5)设 n(x2，y2，z2)是平面 ACD的法向量，则nAC0，nAD 0，即6x20，3x2y23z20，所以可取 n(0，3，1)于是 cosm，n mn|m|n|1450 107 52
138、5，sinm，n2 9525.因此二面角 BDAC 的正弦值是2 9525.(2015北京)如 图，在 四 棱 锥 AEFCB 中，AEF 为等边三角形，平面 AEF平面 EFCB，EFBC，BC4，EF2a，EBCFCB60，O 为 EF 的中点 (1)求证：AOBE；(2)求二面角 FAEB 的余弦值；(3)若 BE平面 AOC，求 a 的值 解：(1)因为AEF 是等边三角形，O 为 EF的中点，所以 AOEF.又平面 AEF平面 EFCB，AO 平面 AEF，所以 AO平面 EFCB.所以 AOBE.(2)取 BC 中点 G，连接 OG.由题设知 EFCB 是等腰梯形，所以 OGEF.
139、由(1)知 AO平面 EFCB，又 OG 平面 EFCB，所以 OAOG.如图建立空间直角坐标系 Oxyz，则 E(a，0，0)，A(0，0，3a)，B(2，3(2a)，0)，EA(a，0，3a)，BE(a2，3(a2)，0)设平面 AEB 的法向量 n(x，y，z)，则nEA0，nBE0，即ax 3az0，（a2）x 3（a2）y0.令 z1，则 x 3，y1.于是 n(3，1，1)平面 AEF 的法向量为 p(0，1，0)所以 cosn，p np|n|p|55.由题设知二面角 FAEB 为钝角，所以它的余弦值为 55.(3)因为 BE平面 AOC，所以 BEOC，即BEOC0.又OC(2，
140、3(2a)，0)，所以2(a2)3(a2)20，又 0a2，解得 a43.86 空间向量及其加减、数乘和数量积运算 1空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间，我们把具有_和_的量叫做空间向量(2)零向量：规定_的向量叫做零向量(3)单位向量：_的向量称为单位向量(4)相反向量：与向量 a_的向量，称为 a 的相反向量，记为a.(5)相等向量：_的向量称为相等向量(6)空间向量的加法运算满足交换律及结合律：a b _；(a b)c _ 2空间向量的数乘运算(1)向量的数乘：实数 与空间向量 a 的乘积 a 仍然是一个向量，称为向量的数乘 当 _0 时，a 与向量 a 方向相同；当 _0 时，a
141、 与向量 a 方向相反 a 的长度是向量 a 的长度的_倍(2)空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：分配律：(ab)_ 结合律：(a)_(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线_，则这些向量叫做共线向量或平行向量(4)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b()b0，ab 的充要条件是_(5)空 间 直 线 l 的 方 向 向 量：和 直 线l_的非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量(6)空间直线的向量表示：l 为经过已知点 A且平行于已知非零向量 a 的直线，对空间任意一点 O，点 P 在直线 l 上的充要条件是_，特别地，如果 aAB，则上式可以化为OPOAtAB，或_，这
142、也是空间三点 A，B，P 共线的充要条件(7)共面向量：_的向量叫做共面向量(8)空间共面向量定理：如果两个向量 a，b不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是_ 推论：对空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，满足向量关系式_，其中_，则点 P 与点 A，B，C 共面 3空间向量的数量积运算(1)空间向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则_叫做 a，b 的数量积，记作 ab，通常规定，0a，b.对于两个非零向量 a，b，ab_(2)空 间 零 向 量 与 任 何 向 量 的 数 量 积 为_(3)aa|a|a cosa，a_(4)空间向量的数量积满足如下的运算律：()a
143、 b_；ab_(交换律)；a()bc _(分 配律)自查自纠：1(1)大小 方向 (2)长度为 0(3)模为 1(4)长度相等而方向相反 (5)方向相同且模相等(6)ba a(bc)2(1)|(2)ab()a(3)互相平行或重合 (4)存在实数，使 ab(5)平行 (6)存在实数 t，使OPOAta OP()1t OAtOB (7)平行于同一个平面(8)存在惟一的有序实数对(x，y)，使 pxayb OPxOAyOBzOC xyz1 3(1)|a|b cosa，b ab0(2)0(3)|a2 (4)()ab ba abac 在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，BABCDD1()A.D1B1
144、 B.D1B C.DB1 D.BD1 解：BABCDD1CDBCDD1BDDD1BD1，故选 D.平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 AC 和BD 的交点，若ABa，ADb，AA1c，则下列式子中与B1M相等的是()A12a12bc B.12a12bc C12a12bc D12a12bc 解：B1MB1BBMc12BDc 12(ba)12a12bc，故选 C.如图所示，已知空间四边形 OABC，OBOC，且AOBAOC3，则 cosOA，BC的值为()A0 B.12 C.32 D.22 解：设OAa，OBb，OCc，由已知条件a，ba，c3，且|b|c|，OABCa(cb)acab
145、12|a|c|12|a|b|0，所以 cosOA，BC0.故选 A.已知空间四边形 OABC，点 M，N 分别是OA，BC 的中点，且OAa，OBb，OCc，用 a，b，c 表示向量MN_.解：如图所示，MN12(MBMC)1212(OBOC2OM)12(OBOC OA)12(bca)故填12(bca)有下列命题：若 pxayb，则 p 与 a，b 共面；若 p 与 a，b 共面，则 pxayb；若MPxMAyMB，则 P，M，A，B 共面；若 P，M，A，B 共面，则MPxMAyMB.其中命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)解：正确；中若 a，b 共线，p 与 a 不共线，则 pxayb
146、 不成立，错误；正确；中若 M，A，B 共线，点 P 不在此直线上，则 MPxMAyMB不成立，错误故填.类型一 空间向量的运算 如图，平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，ABa，ADb，AA1c，E 为 A1D1的中点，F 为 BC1与 B1C 的交点 (1)用基底a，b，c表示下列向量：DB1，BE，AF；(2)在图中画出DD1DBCD化简后的向量 解：(1)DB1DCCB1DCBB1BC abc，BEBAAA1A1Ea12bc，AFABBFa12(bc)a12b12c.(2)DD1DBCDDD1(CDDB)DD1CBDD1D1A1 DA1.连接 DA1，则DA1即为所求 点拨：把平面
147、向量的运算推广到空间后，许多基本的运算规则没有变，在解题过程中，要明确目标，把所求向量向三个基底向量转化，并注意向量拆分和重组的技巧若表示的向量涉及线段的中点，可利用平行四边形法则来表示此向量，也可利用包含要表示的向量的封闭图形，根据封闭图形各边依次构成的向量之和为零向量得到相关式子；求空间若干向量之和时，可通过平移，将它们转化为首尾相接的向量 如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设AA1a，ABb，ADc，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：(1)AP；(2)A1N；(3)MPNC1.解：(1)因为 P 是 C1D1的中点，所以A
148、PAA1A1D1 D1PaAD12D1C1 ac12ABa12bc.(2)因为 N 是 BC 的中点，所以A1NA1AABBNab12BC ab12ADab12c.(3)因为 M 是 AA1的中点，所以MPMAAP12A1AAP 12aa12bc 12a12bc.又NC1NCCC112BCAA1 12ADAA1a12c，所以MPNC112a12bc a12c 32a12b32c.类型二 空间向量共线与共面问题 (1)如图，在棱长为 a 的正方体ABCDA1B1C1D1中，G 为BC1D 的重心 试证 A1，G，C 三点共线；试证 A1C平面 BC1D；求点 C 到平面 BC1D 的距离 解：证
149、明：由于正方体 ABCDA1B1C1D1是平行六面体，所以CA1CAAA1CBCDCC1.又因为点 G 为BC1D 的重心，所以CG13()CBCDCC113CA1.故CGCA1，即 A1，G，C 三点共线 证明：设CBb，CD c，CC1d，则|b|c|d，且 bcbdcd0.因为CA1CBCDCC1bcd，BC1BCCC1db，所以CA1BC1(bcd)(db)a2a20.所以CA1BC1，即 CA1BC1.同理可证 CA1BD.又 BC1BDB，所以 CA1面 BC1D.由上面的证明知点 C 到平面 BC1D 的距离为CG.因为CA1bcd，所以|CA1 3a.所以|CG13|CA1 3
150、3 a.(2)正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为 BB1和 A1D1的中点求证：向量A1B，B1C，EF是共面向量 证明：因为EFEBBA1A1F 12B1BA1B12A1D1 12(B1BBC)A1B12B1CA1B，所以向量A1B，B1C，EF是共面向量 点拨：(1)利用平行向量的充要条件可解决三点共线和线线平行等问题，要注意空间向量基底的选取，同时要重视空间向量基本定理的使用，用基底表示已知条件和所需解决问题的过程就是将几何问题转化为向量问题的过程通过向量的数量积运算，可证明垂直问题，亦可计算直线与平面所成角、异面直线所成角以及距离等问题(2)要证向量A1B，B1C，EF
151、是共面向量，只需证得EFA1B B1C，解题的关键是寻找有序实数对(，)满足上述关系式 如图，空间两个平行四边形共边AD，点 M，N 分别在对角线 BD，AE 上，且 BM13BD，AN13AE.求证：MN平面 CDE.证明：因为 M 在 BD 上，且 BM13BD，所以MB13DB13DA13AB.同理AN13AD13DE.所以MNMBBAAN13DA13AB BA13AD13DE 23BA13DE23CD13DE.又CD与DE不共线，根据向量共面的充要条件可知MN，CD，DE共面由于 MN平面 CDE 内，所以 MN平面 CDE.类型三 利用数量积求长度问题 如图所示，已知在一个 60的二
152、面角的棱上，有两个点 A，B，AC，BD 分别是在这个二面角的两个面内垂直于 AB 的线段，且 AB4cm，AC6cm，BD8cm，求 CD 的长 解：因为CDCAABBDABACBD，所以CD2(ABACBD)2(ABAC)2BD22(ABAC)BD AB2AC22ABACBD22ABBD2ACBD 163664268cos6068.所以|CD2 17cm.点拨：要求一个向量的模，就需要把向量分解成几个已知向量的和，利用向量的平方等于向量的模的平方可求出模的平方，进一步求出模这里要注意向量和向量的夹角对数量积的影响 如图所示，已知空间四边形 ABCD的每条边和对角线长都等于 1，点 E，F，
153、G 分别是 AB，AD，CD 的中点，计算：(1)EFBA；(2)EG 的长 解：设ABa，ACb，ADc，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，EF12BD12c12a，BAa，DCbc.(1)EFBA12c12a(a)12ac 12a2141214.(2)EGEBBCCG 12AB(ACAB)12(ADAC)12AB12AC12AD12a12b12c，所以EG214(abc)2 14(a2b2c22ab2ac2bc)12，所以|EG|22，即 EG 的长为 22.类型四 异面直线所成角问题 已知空间四边形 OABC 各边及对角线长 AC，OB 都相等，E，F 分别为 AB，OC 的中
154、点，求异面直线 OE 与 BF 所成角的余弦值 解：如图所示，设OAa，OBb，OCc，且设各棱长及对角线长均为 1，故|a|b|c 1，ab ac bc 12，且|OE|BF|32.所以OEBF12(OAOB)(OFOB)12a12b 12cb 14ac14bc12ab12|b212，所以 cosOE，BFOEBF|OE|BF23.因为异面直线所成角的范围为0，2，所以异面直线 OE 与 BF 所成角的余弦值为23.点拨：要求异面直线 OE 与 BF 所成角的余弦值，可利用向量的数量积，求出OEBF及|OE和|BF的值，再套用公式 cosOE，BFOEBF|OE|BF求得OE与BF所成角的余
155、弦值，但上述结果并不一定是异面直线所成的角，由于异面直线所成角的取值范围为0，2，所以，若求得的余弦值为负值，则结果应为这两个向量的夹角的补角的余弦值 如图，在空间四边形 OABC 中，若OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求 OA 与 BC 所成角的余弦值 解：因为BCACAB，所以OABCOA(ACAB)OAACOAAB|OA|AC|cos OA，AC|OA|AB|cos OA，AB 84cos13586cos12024162.所以 cosOA，BCOABC|OA|BC|2416 28532 25，故OA与BC夹角的余弦值为32 25，即直线 OA 与 BC 所成角的余
156、弦值为32 25.1空间向量的线性运算 用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，可从以下角度入手：(1)要有基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来(2)把被表示向量用其他向量线性表示，进而寻找这些向量与基向量的关系(3)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘(4)注意应用以下结论 A 为 BC 的中点，O 为空间任一点，则OAOBOC2；A，B，C 三点共线，O 为空间任一点，则OA()1t OBtOC(tR)2共线向量定理、共面向量定理的应用 应用共线向量定理、共面向量定理，可以证明点共线、
157、点共面、线共面(1)证明空间任意三点共线的方法 对空间三点 P，A，B，可通过证明下列结论成立来证明三点共线：PAPB；对空间任一点 O，存在实数 t，使OP OAtAB；对空间任一点 O，OP()1t OAtOB或OPxOAyOB，这里 xy1.(2)证明空间四点共面的方法 对空间四点 P，M，A，B，可通过证明下列结论成立来证明四点共面：MPxMAyMB；对空间任一点 O，OPOMxMAyMB；对空间任一点 O，OPxOAyOBzOM，其中 xyz1；PMAB.注：在中，若 xyz13，则点 P 即为MAB的重心 设M()x1，y1，z1，A()x2，y2，z2，B()x3，y3，z3，P
158、()x，y，z，若 P 为MAB 的重心，则xx1x2x33，yy1y2y33，zz1z2z33，此即为三角形重心坐标公式 3利用向量解决立体几何问题的一般方法(1)利用向量解决立体几何问题的一般方法是：把线段或者角度转化为向量表示，用已知向量(基底或者是建立空间直角坐标系)表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决平行、垂直、夹角、距离等问题；(2)通常选取两两垂直的向量作为基底，其余的向量都利用这些基底向量来表示，为进一步利用向量进行计算做铺垫；(3)求两个向量的夹角一般是利用夹角公式cosa，b ab|a|b|；证明两个非零向量垂直可利用 ab0.1在空间四边形 ABCD 中，ABa，
159、BCb，ADc，则CD等于()Aabc Bcab Cabc Dbac 解：如图所示，CDCBBDCB(ADAB)bcacab.故选 B.2已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB，AC，M，N 分别是边 OA，CB 的中点，点 G 在线段MN 上，且使 MG2GN，则用向量OA，OB，OC表示向量OG正确的是()A.OGOA23OB23OC B.OG12OA23OB23OC C.OG16OA13OB13OC D.OG16OA13OB23OC 解：OGOMMG12OA23MN12OA 23(ONOM)12OA23OBOC2OA216OA13OB13OC.故选 C.3(2015济南月考)O 为空
160、间任意一点，若OP34OA18OB18OC，则 A，B，C，P 四点()A一定不共面 B一定共面 C不一定共面 D无法判断 解：因为OP34OA18OB18OC，且3418 181，所以 P，A，B，C 四点共面故选 B.4(2015西安质检)已知空间四边形 ABCD的每条边和对角线的长都等于 a，点 E，F 分别是BC，AD 的中点，则AEAF的值为()Aa2 B.12a2 C.14a2 D.34 a2 解：AEAF12(ABAC)12AD 14(ABADACAD)14(a2cos60a2cos60)14a2.故选 C.5(2015晋江一模)设 OABC 是四面体，G1是ABC 的重心，G
161、是 OG1上的一点，且 OG3GG1，若OGxOAyOBzOC，则(x，y，z)为()A.14，14，14 B.34，34，34 C.13，13，13 D.23，23，23 解：如图所示，取 BC 的中点 E，连接 AE.OG34OG134(OAAG1)34OA12AE 34OA14(ABAC)34OA14(OBOAOCOA)14(OAOBOC)故选 A.6正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，O 是底面 ABCD 的中心，E，F 分别是 CC1，AD 的中点，则异面直线 OE 与 FD1所成角的余弦值为()A.105 B.155 C.45 D.23 解：因为OE12AC112(ABA
162、DAA1)，FD112 AD AA1，所 以 OE FD1 12(AB AD AA1)12ADAA1 12(12ABADABAA1 12AD2ADAA1 12AA1 ADAA1 2)12(24)3.而|OE12 222222 3，|FD1 5，所以 cosOE，FD1 315 155.故选 B.7如图，在四面体 OABC 中，OAa，OBb，OCc，D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点，则OE_(用 a，b，c 表示)解：OE12OA12OD12OA14OB14OC 12a14b14c.故填12a14b14c.8已知 ABCDA1B1C1D1为正方体，(A1AA1D1 A1B1)23A1
163、B1 2；A1C(A1B1 A1A)0；向量AD1与向量A1B的夹角是 60；正方体 ABCDA1B1C1D1的体积为|ABAA1AD|.其中正确命题的序号是_ 解：中(A1AA1D1 A1B1)2A1A 2 A1D1 2A1B1 23A1B1 2，故正确；中A1B1 A1AAB1，因为 AB1A1C，故正确；中 A1B 与 AD1两异面直线所成角为 60，但AD1与A1B的夹角为 120，故不正确；中|ABAA1AD|0，故也不正确 故填.9三棱锥 OABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是ABC 的重心，用基向量OA，OB，OC表示MG，OG.解：MGMAAG12OA23AN
164、 12OA23(ONOA)12OA2312（OBOC）OA 16OA13OB13OC.OGOMMG12OA16OA13OB13OC 13OA13OB13OC.10在三棱锥 OABC 中，已知侧棱 OA，OB，OC 两两垂直，用空间向量知识证明：三角形 ABC是锐角三角形 证明：因为 OA，OB，OC 两两垂直.ABAC(OBOA)(OCOA)OA2|OA|20，所以AB与AC的夹角为锐角，即BAC 为锐角，同理ABC，BCA 均为锐角，所以ABC 为锐角三角形 11如图所示，四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点 A 为端点的三条棱长都为 1，且两两夹角为 60.(1)求
165、 AC1的长；(2)求 BD1与 AC 夹角的余弦值 解：(1)记ABa，ADb，AA1c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，所以 abbcca12.|AC1|2(abc)2a2b2c22(abbcca)1112121212 6，所以|AC1|6，即 AC1的长为 6.(2)BD1bca，ACab，所以|BD1|2，|AC|3，BD1AC(bca)(ab)b2a2acbc1.所以 cosBD1，AC BD1AC|BD1|AC|66.所以 BD1与 AC 夹角的余弦值为 66.如图，已知斜三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC2，BAA123，CAA13，AB AC1，AA12，点 O
166、是 B1C 与 BC1的交点 (1)用向量AB，AC，AA1表示向量AO；(2)求异面直线 AO 与 BC 所成的角的余弦值；(3)判定平面 ABC 与平面 B1BCC1的位置关系 解：(1)AOABBOAB12(BCBB1)AB12(ACABAA1)12(ABACAA1)(2)设ABa，ACb，AA1c.|AO212（abc）2 14(a2b2c22ab2bc2ac)141140212cos3 212cos23 32.所以|AO 62.又因为BCba，所以AOBC12(abc)(ba)1，|BC 2.所以 cosAO，BCAOBC|AO|BC 33.所以异面直线 AO 与 BC 所成的角的余
167、弦值为33.(3)取 BC 的中点 E，连接 AE，则AE12(ABAC)12(ab)因为 ABAC，E 为 BC 的中点，所以 AEBC.又AEBB112(ab)c 1212cos2312cos3 0，所以 AEBB1.因为 BCBB1B，所以 AE平面 B1BCC1.又 AE 平面 ABC，所以平面 ABC平面 B1BCC1.87 空间向量的坐标表示、运算及应用 1空间向量基本定理 如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组_，使得_其中，a，b，c叫做空间的一个_，a，b，c 都叫做_ 2空间直角坐标系(1)如 果 空 间 的 一 个 基 底 的 三 个 基
168、 向 量_，且长都为_，则这个基底叫做单位正交基底，常用i，j，k来表示(其中|i|j|k|1)(2)在空间选定一点 O 和一个单位正交基底i，j，k，以 O 为原点，分别以 i，j，k 的方向为正方向建立三条数轴：_，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系 Oxyz，点 O叫做原点，向量 i，j，k 都叫做坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面(3)建系时，一般使xOy135(或 45)，yOz90，建立_手直角坐标系(4)在空间直角坐标系中有一点 A，若OAxiyjzk，则有序实数组_叫做点 A在 此 空 间 直 角 坐
169、标 系 中 的 坐 标，记 作_其中 x 叫做点 A 的横坐标，y叫做点 A 的纵坐标，z 叫做点 A 的_ 3空间向量的直角坐标运算 设 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，a，b是非零向量，则(1)向量加法：ab_(2)向量减法：ab_(3)数乘：a_(4)数量积：ab_(5)平行：ab(b0)_x1x2，_，_(6)垂 直：ab _ _(7)向 量a的 模|a _ _(8)向量 a 与 b 夹角公式：cosa，b ab|a|b|_(9)点坐标和向量坐标：若点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB_，线段 AB 的长度 dAB|AB_ 4直线的方向向量(1)与
170、直线 l_的非零向量 a 叫做直线l 的方向向量(2)空间中任意一条直线 l，可以通过 l 上的一个定点 A 和 l 的一个方向向量 a 来确定设点P 是 l 上的任意一点，则 l 有向量表示形式_，其中 t 为实数，这种形式叫做直线的点向式注意同一条直线的点向式表示不唯一 5平面的法向量和法向量的求法(1)平面的法向量 已知平面，直线 l，取直线 l 的方向向量 a，则_叫做平面 的法向量(2)平面的法向量的求法 设出平面的法向量为 n(x，y，z)；找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)；根据法向量的定义建立关于 x，y，z 的方程组_；
171、解方程组，取其中的一个解，即得法向量由于一个平面的法向量有_个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量 6利用空间向量表示立体几何中的平行、垂直和夹角 设直线 l，m 的方向向量为 a，b，平面，的法向量分别为 u，v，则(1)线 线 平 行：lm _ _(2)线 线 垂 直：lm _ _(3)线 面 平 行：l _ _(4)线面垂直，方法一：l_；方法二：若 e1，e2为平面 的一组基底，则 lae1，ae2ae1ae20.(5)面 面 平 行：_ _(6)面 面 垂 直：_ _(7)线线夹角：l，m 的夹角为 02，cos_(8)线 面 夹 角：l，的 夹 角 为02，sin_(
172、9)面 面 夹 角：，的 夹 角 为02，cos_ 注意：(1)这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合；(2)这里的线线夹角、线面夹角、面面夹角都是按照相关定义给出的，即 02，而二面角的大小是指两个半平面的张开程度，这可以用其平面 角 的 大 小 来 定 义，它 的 取 值 范 围 为_，若设 u，v 的夹角为，当 u，v均指向二面角内部或外部时(如图 1)，二面角的大小为，coscos()cos uv|u|v；当 u，v 一个指向二面角内，另一个指向二面角外时(如图 2)，二面角的大小为，coscos uv|u|v.7距离(1)点到直线的距离 设过点 P 的
173、直线 l 的方向向量为单位向量 n，A 为直线 l 外一点，点 A 到直线 l 的距离 d_(如图 3)图 3 图 4 (2)点到平面的距离 设 P 为平面 内的一点，n 为平面 的法向量，A 为平面 外一点，点 A 到平面 的距离 d_(如图 4)(3)线 面 距 离、面 面 距 离 都 可 以 转 化 为_ 自查自纠：1.x，y，z pxaybzc 基底 基向量 2(1)两两垂直 1(2)x 轴，y 轴，z 轴(3)右(4)(x，y，z)A(x，y，z)竖坐标 3(1)(x1x2，y1y2，z1z2)(2)(x1x2，y1y2，z1z2)(3)(x1，y1，z1)(4)x1x2y1y2z1
174、z2(5)ab y1y2 z1z2(6)ab0 x1x2y1y2z1z20(7)aa x21y21z21(8)x1x2y1y2z1z2x21y21z21 x22y22z22(9)(x2x1，y2y1，z2z1)（x2x1）2（y2y1）2（z2z1）2 4(1)平行且非零(2)APta 5(1)向量 a (2)naa1xb1yc1z0，nba2xb2yc2z0 无数 6(1)ab akb，kR(2)ab ab0(3)au au0(4)au aku，kR(5)uv ukv，kR(6)uv uv0(7)|ab|a|b(8)|au|a|u(9)|uv|u|v 0 7(1)|PA2_|PAn2(2)|
175、PAn|n(3)点到面的距离 在空间直角坐标系中，已知点 P(x，y，z)，给出下列 4 条叙述：点 P 关于 x 轴的对称点的坐标是(x，y，z)；点 P 关于 yOz 平面的对称点的坐标是(x，y，z)；点 P 关于 y 轴的对称点的坐标是(x，y，z)；点 P 关于原点的对称点的坐标是(x，y，z)其中正确的个数是()A3 B2 C1 D0 解：易知错误，仅正确，故选 C.若向量 a(1，1，x)，b(1，2，1)，c(1，1，1)，且(ca)2b2，则 x()A4 B2 C4 D2 解：因为 a(1，1，x)，b(1，2，1)，c(1，1，1)，所以 ca(0，0，1x)，2b(2，4
176、，2)所以(ca)2b2(1x)2，解得 x2.故选 D.若直线 l 的方向向量为 a(1，0，2)，平面 的法向量为 n(2，0，4)，则 l 与 的位置关系为()Al Bl Cl Dl 与 斜交 解：因为 a(1，0，2)，n(2，0，4)，所以 n2a，即 an.所以 l.故选 B.(2015哈尔滨质检)已知空间中三点A(1，0，0)，B(2，1，1)，C(0，1，2)，则点 C 到直线 AB 的距离为_ 解：AB(1，1，1)，AC(1，1，2)，cosAB，ACABAC|AB|AC|43 62 23，所以 sinAB，AC13，所以点 C 到直线 AB 的距离 d|AC|sinAB，
177、AC 63.故填 63.已知 2ab(0，5，10)，c(1，2，2)，ac4，|b|12，则以 b，c 为方向向量的两直线的夹角为_ 解：由题意得，(2ab)c0102010，即 2acbc10.又因为 ac4，所以 bc18.所以 cosb，c bc|b|c|1812312，所以b，c120，所以两直线的夹角为 60.故填 60.类型一 空间向量坐标的基本运算 已知a(1，5，1)，b(2，3，5)(1)若(kab)(a3b)，求实数 k 的值；(2)若(kab)(a3b)，求实数 k 的值 解：kab(k2，5k3，k5)，a3b(7，4，16)(1)因为(kab)(a3b)，所以k27
178、 5k34 k516，解得 k13.(2)因为(kab)(a3b)，所以(k2)7(5k3)(4)(k5)(16)0，解得 k1063.点拨：利用向量平行的性质：ab(b0)abx1x2，y1y2，z1z2可求解第(1)问的k 值；利用向量垂直的性质：abab0 x1x2y1y2z1z20 建立方程可求第(2)问的 k 值 已知空间三点 A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设 aAB，bAC.(1)若|c|3 且 cBC，求 c；(2)求 a 和 b 的夹角的余弦值；(3)若 kab 与 ka2b 互相垂直，求 k 的值 解：(1)因为BC(2，1，2)，cBC，所以 cmB
179、Cm(2，1，2)(2m，m，2m)(mR)所以|c|（2m）2（m）2（2m）23|m|3，m1.所以 c(2，1，2)或 c(2，1，2)(2)因为 a(1，1，0)，b(1，0，2)，所以 ab(1，1，0)(1，0，2)1.又|a|121202 2，|b|（1）20222 5，所以 cosa，b ab|a|b|110 1010.故 a 和 b 的夹角的余弦值为 1010.(3)由(2)知|a|2，|b|5，ab1.所以(kab)(ka2b)k2a2kab 2b22k2k100，解得 k2 或 k52.类型二 空间两直线的平行与垂直 设 a，b 是不相交的两条直线 l1，l2的方向向量，
180、试判断下列各条件下两条直线 l1，l2的位置关系：(1)a()2，1，3，b1，12，32；(2)a()5，0，2，b1，3，52；(3)a()2，1，4，b()3，2，1.解：(1)由a()2，1，3 21，12，32 2b，得 ab，又两条直线l1，l2没有交点，所以 l1l2.(2)由于 ab51032520，所以ab，从而 l1l2.(3)由 a()2，1，4，b()3，2，1 可知，不存在任何实数，使 ab，且 ab0，则这两条直线 l1，l2不相交、不平行也不垂直，故两条直线 l1，l2是不垂直的异面直线 点拨：先考查两个方向向量是否平行或者垂直，将空间几何问题代数化，用直线的方向
181、向量之间的计算代替传统的空间几何推理，这是空间向量的最基本的作用，使用得当非常简便 如图所示，正方体 ABCDABCD的棱长为 1，E，F 分别是 BC，CD 上的点，且 BECFa(0a 63，又 sin21，则 sin 的取值范围是63，1.故选 B.11已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AB2，CC12 2，E 为 CC1的中点，则直线 AC1与平面 BDE 的距离为()A2 B.3 C.2 D1 解：如图，连接 AC，交 BD 于 O，连接 OE，在CC1A 中，易证 OEAC1.从而 AC1平面 BDE，所以直线 AC1到平面 BDE 的距离即为点 A 到平面 BDE 的距离
182、，设为 h.由等体积法，得 VABDE 13SBDEhVEABD13SABDEC131222 22 23.又因为在BDE 中，BD2 2，BEDE 6，所以 SBDE122 222 2.所以 h1.故选 D.12如图，已知球 O 是棱长为 1 的正方体ABCDA1B1C1D1的内切球，则平面 ACD1截球 O 的截面面积为()A.6 B.3 C.66 D.33 解：根据正方体的几何特征知，平面 ACD1是边长为 2的正三角形，且球与以点 D 为公共点的三个面的切点恰为三角形 ACD1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，由图得ACD1 内切圆的半径是 22 tan3066，故
183、所求的截面圆的面积是6626.故选A.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13在空间四边形 ABCD 中，ABCDACDBADBC_ 解：如图，设ABa，ACb，ADc，则ABCDACDBADBC a(cb)b(ac)c(ba)0.故填 0.14已知正三棱锥 PABC，点 P，A，B，C 都在半径为 3的球面上，若 PA，PB，PC 两两相互垂直，则球心到截面 ABC 的距离为_ 解：在正方体中作出正三棱锥 PABC 如图所示，设正方体的棱长为 a，则 3a2(2 3)212，得 a2，所以 ABBCAC2 2.由 VPABCVBAPC得13SABCh13SAPCBP
184、，即1312(2 2)2 32 h1312222，得 h2 33.所以球心到截面 ABC 的距离 d 32 33 33.故填 33.15(2015四川)在三棱柱 ABCA1B1C1 中，BAC90，其正视图和侧视图都是边长为 1的正方形，俯视图是直角边的长为 1 的等腰直角三角形设点 M，N，P 分别是棱 AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥 PA1MN 的体积是_ 解：因为 M，N，P 分别是棱 AB，BC，B1C1的中点，所以 MNAC，NPCC1，所以平面 MNP平面 CC1A1A，所以点 A1到平面 MNP 的距离等于点 A到平面 MNP 的距离根据题意有MAC90，AB1，可得点 A
185、 到平面 MNP 的距离为12.又 MN12，NP1，所以1P AMNV VAMNP13SMNP12131212112 124.故填 124.16已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1，AC1与平面 A1BD，CB1D1交于 E，F 两点给出以下命题：点 E，F 为线段 AC1的两个三等分点；ED113AB23AD23AA1；设 A1D1的中点为 M，CD 的中点为 N，则直线 MN 与面 A1DB 有一个交点；E 为A1BD 的内心 其中真命题有_(写出所有真命题的序号)解：在对角面 ACC1A1中易证点 E，F 为线段AC1的两个三等分点，故正确；ED1 EC1 C1D1 23(ABAD
186、AA1)AB13AB23AD23AA1，故正确；取 DD1的中点为 R，易证面 MNR面 A1BD，故错；A1E 为A1BD 的边 BD 的中线，故 E 不一定是A1BD 的内心(实际上是重心)，故错故填.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(10 分)已知一个几何体的三视图如图所示(1)求此几何体的表面积；(2)如果点 P，Q 在正视图中所示位置：P 为所在线段中点，Q 为顶点，求在几何体表面上，从 P 点到 Q 点的最短路径的长 解：(1)由三视图知，此几何体是由上部的圆锥和下部的圆柱构成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和 S 圆锥侧1
187、2(2a)(2a)2a2，S 圆柱侧(2a)(2a)4a2，S 圆柱底a2，所以 S表面2a24a2a2(25)a2.(2)沿 P 点与 Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图所示在矩形 ABCQ 中，PQ 为几何体表面上从 P点到 Q 点的最短路径，且 PQ AP2AQ2 a2（a）2a 12.所以在几何体表面上从 P 点到 Q 点的最短路径的长为 a 12.18(12 分)如图，在三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，ABC 为正三角形，D，E 分别是 BC，CA 的中点 (1)证明：平面 PBE平面 PAC.(2)在 BC 上是否存在一点 F，使 AD平面PEF？说明理由 解：(1)证明：因
188、为 PA底面 ABC，BE 平面ABC，所以 PABE.又ABC 是正三角形，E 是 AC 的中点，所以 BEAC，又 PAACA.所以 BE平面 PAC.又 BE 平面 PBE，所以平面 PBE平面 PAC.(2)存在满足条件的点 F，且 F 是 CD 的中点 理由：因为 E，F 分别是 AC，CD 的中点，所以 EFAD.而 EF 平面 PEF，AD平面 PEF，所以 AD平面 PEF.19(12 分)(2015内蒙古包头一模)如图，已知在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ADA1A12AB2，点 E 是棱 AB 上一点，且AEEB.(1)证明：D1EA1D；(2)若二面角 D1ECD
189、的余弦值为 63，求 CE与平面 D1ED 所成的角的大小 解：(1)证明：如图，以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则 D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，4，0)，C(0，4，0)，A1(2，0，2)，B1(2，4，2)，C1(0，4，2)，D1(0，0，2)因为AEEB，所以 E2，41，0，于是D1E2，41，2，A1D(2，0，2)，因为D1EA1D2，41，2(2，0，2)0，故 D1EA1D.(2)因为 D1D平面 ABCD，所以平面 DEC 的一个法向量为 n1DD1(0，0，2)设平面 D1CE 的法 向 量 为n2
190、 (x，y，z)，又 CE 2，414，0，CD1(0，4，2)，则n2CE2xy414 0，n2CD14y2z0，所以可取向量 n22 21，1，2，因为二面角 D1ECD 的余弦值为63，则|n1n2|n1|n2|63，解得 1，所以 E(2，2，0)，故DE(2，2，0)，CE(2，2，0)，因为CEDD10，CEDE0，故 CEDD1，CEDE，又 DD1DED，所以 CE平面 D1ED.即 CE 与平面 D1ED 所成角的大小为 90.20(12 分)(2016广西南宁二模)如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M 是 CD 的中点(1)求 BB1与平面 A1C1M 所成角的
191、余弦值；(2)在 BB1上找一点 N，使得 D1N平面 A1C1M.解：(1)以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 A1(1，0，1)，M0，12，0，C1(0，1，1)，所以A1C1(1，1，0)，A1M1，12，1，设平面 A1C1M 的法向量为 e(x，y，z)，由eA1C1 0，eA1M0，得xy0，x12yz0，令 y1，则 x1，z12，所以 e1，1，12，又BB1(0，0，1)，则 cosBB1，e121212122 1213，所以 sinBB1，e1132892 23，即 BB1
192、 与平面 A1C1M 所成角的余弦值为2 23.(2)D1(0，0，1)，设 N(1，1，t)(0t1)，则D1N(1，1，t1)，因为 D1N平面 A1C1M，所以D1Ne，所以 t112，得 t12.所以当 N 为 BB1的中点时，D1N平面 A1C1M.21(12 分)(2015浙江名校联考)如图，正方形 ABCD，ABEF 的边长都是 1，且平面 ABCD平面 ABEF，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CMBNa(0a 2)(1)当 a 为何值时，MN 的长度最小；(2)当 MN 长度最小时，求 AB 与平面 AMN 所成角 的正弦值 解：(1)以 B 为原点，
193、BA，BE，BC 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Bxyz(如图所示)，则 N22 a，22 a，0，M(22 a，0，1 22 a)所 以MN 22 a21 22 a2a 22212，当 a 22 时，MN 的长度最小(2)当 a 22 时，M12，0，12，N12，12，0，又 A(1，0，0)，所以AM12，0，12，AN12，12，0.设平面 AMN 的法向量 n(x，y，z)，则AMn0，ANn0，即12x12z0，12x12y0，取 x1，得 y1，z1，所以平面 AMN 的一个法向量为 n(1，1，1)又AB(1，0，0)，所以 AB 与平面 AMN 所成角 的正弦值为
194、 sin|nAB|n|AB|33.22(12 分)(2015湖北)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 如图，在阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且 PDCD，过棱 PC 的中点 E，作 EFPB 交 PB于点 F，连接 DE，DF，BD，BE.(1)证明：PB平面 DEF.试判断四面体 DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为3，求DCBC的值 解法一：(1)因为 PD底面 ABCD，所以PDBC，由底面 ABCD 为长方
195、形，有 BCCD，而 PDCDD，所以 BC平面 PCD.而 DE 平面 PCD，所以BCDE.又因为 PDCD，点 E 是 PC 的中点，所以DEPC.而 PCBCC，所以 DE平面 PBC.而 PB 平面 PBC，所以 PBDE.又 PBEF，DEEFE，所以 PB平面 DEF.由 DE平面 PBC，PB平面 DEF，可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体 BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB，DEF，EFB，DFB.(2)如图 1，在面 PBC 内，延长 BC 与 FE 交于点 G，连接 DG，则 DG 是平面 DEF 与平面 ABCD 的交线由(1)知，PB
196、平面 DEF，所以 PBDG.又因为 PD底面 ABCD，所以 PDDG.而 PDPBP，所以 DG平面 PBD.故BDF 是面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的平面角，设 PDCD1，BC，有 BD 12，在 RtPDB 中，由 DFPB，得DPFFDB3，则 tan3 tanDPFBDPD 12 3，解得 2.所以DCBC 1 22.故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为3时，DCBC 22.解法二：(1)如图 2，以 D 为原点，射线 DA，DC，DP 分别为 x，y，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 设 PDCD1，BC，则 D(0，0，0)，P(0，0，1)，B(，1，0)
197、，C(0，1，0)PB(，1，1)，点 E 是 PC 的中点，所以E0，12，12，DE0，12，12，于是PBDE0，即 PBDE.又已知 EFPB，而 DEEFE，所以 PB平面 DEF.因为PC(0，1，1)，DEPC0，则 DEPC，所以 DE平面 PBC.由 DE平面 PBC，PB平面 DEF，可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体 BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB，DEF，EFB，DFB.(2)因为 PD平面 ABCD，所以DP(0，0，1)是平面 ABCD 的一个法向量；由(1)知，PB平面 DEF，所以BP(，1，1)是平面 DEF 的一个法向量 若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为3，则 cos3 BPDP|BP|DP|122 12，解得 2，所以DCBC 1 22.故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为3时，DCBC 22.
