1、第一节 数列的概念与简单表示法 第一节 数列的概念与简单表示法 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1数列的定义 数列是按_排成的一列数，从函数观点看，数列是定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数f(n)，当自变量n从1开始依次取正整数时所对应的一列函数值f(1)，f(2)，f(n)，.通常用an代替f(n)于是数列的一般形式为a1，a2，an，简记为_ 一定次序an2数列的通项公式 一个数列an的第n项an与_之间的_，如 果 可 以 用 一 个 公 式_ 来 表 示，我 们 把 这 个 公 式_叫做这个数列的通项公式 项数函数关系anf(n)
2、anf(n)思考感悟数列都有通项公式吗？如果有是惟一的吗？提示：数列不一定都有通项公式，只要按一定次序排成的一列数就可以称之为一个数列因而排列成的这一列“数”，就不一定能写出一个an与n的函数关系，而数列的通项公式有时也不一定是惟一的3数列的表示方法 数列的表示方法有_、_、_ 4数列的分类 列举法公式法图象法按项分类有穷数列：项数有限无穷数列：项数无限按an的增减性分类递增数列：对于任何nN*，均有an1an递减数列：对于任何nN*，均有an11)，则 a4_.答案：143数列an的通项公式 an1n n1，则 103 是此数列的第_项答案：94已知数列an前n项和Snn22n2，nN*，则
3、a3_.答案：3 考点探究挑战高考 考点突破 由数列的前几项写出数列的通项公式 根据数列的前几项写出其通项公式，首先观察数列中的项与其序号之间的关系，给出的是分数数列时，要将分子、分母分别观察，同时要注意分子分母之间的联系；其次要注意项与项之间的关系，利用逐差法、累加法、累乘法等技巧进行探求关于数列的通项公式有时是不惟一的根据下列各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)1，13，935，1763，3399，；(2)37，25，513，38，719，411，；(3)7,77,777,7777，；(4)1,3,7,15,31，.例1【解】(1)将数列写成：313，535，957，1779
4、，33911，观察分子、分母与项数 n 之间的联系，易知：其通项公式为 an2n12n12n1.(2)这是一个与(1)n 有关的数列，可将数列写成37，410，513，616，719，822，可知分母组成以 3 为公差的等差数列，分子为以 3 为首项，1 为公差的等差数列，因此其通项公式为：an(1)n n23n4.(3)数列 9,99,999,9999，可分成101,1021,1031,1041，数列 7,77,777,7777，可分成799，7999，79999，799999，故通项公式为 an79(10n1)(4)观察数列发现，数列可改写成：21,41,81,161,321，所以数列的通
5、项公式为 an2n1.如图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1A1A2A2A3A7A81，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，OAn，的长度构成数列an，则此数列的通项公式为an_.例2【解析】OA1A1A21，则 OA2 2，同理 OA3 3，OAnan n.【答案】n【名师点评】由数列的前几项写出其通项公式应先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变；分析符号、数字、字母与项数n在变化过程中的联系，初步归纳出公式，再取n的特殊值进行检验，如果有误差再做调整利用an与Sn的关系求通项公
6、式 an 与 Sn 之间关系的应用贯穿于整个数列知识中，是学习的一个重点，也是常见的考点，其关键之处在于 an 与 Sn 之间既是递推关系，又是 n1 与 n2 间的讨论关系，常用的关系 anS1 n1SnSn1 n2.设数列an的前 n 项和为 Sn，点(n，Snn)(nN*)均在函数 y3x2 的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn3anan1，Tn 是数列bn的前 n 项和，求使得 Tnm20对所有 nN*都成立的最小正整数 m.例3【思路分析】(1)将点(n，Snn)代入，分 n1 和 n2 两种情况讨论；(2)用累加法求出 Tn，利用 Tnm20对所有 nN*都成立求解【
7、解】(1)把点(n，Snn)代入函数 y3x2，Snn 3n2，Sn3n22n，当 n1 时，a1S11，当 n2 时，anSnSn13n22n3(n1)22(n1)6n5.又 a11 符合该式，an6n5(nN*)(2)bn3anan136n56n11216n516n1，Tnb1b2b3bn12(117)(17 113)(113 119)(16n516n1)12(116n1)又Tnm20对 nN*都成立，12(116n1)m20，m10(116n1)，m10，m 的最小正整数为 10.【名师点评】已知an的前n项和Sn，求an时应注意以下三点：应重视分类讨论的应用，分n1和n2两种情况讨论；
8、特别注意用anSnSn1时需n2.由SnSn1an推得的an，若当n1时，a1也适合“an式”，则需统一“合写”由SnSn1an推得的an，若当n1时，a1不适合“an式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即 anS1，n1，SnSn1，n2.变式训练 已知下面各数列an的前n项和Sn的公式，求an的通项公式(1)Sn2n23n；(2)Sn3n2；(3)Sn3an2.解：(1)a1S11，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5.由于a1也适合此式，因此an4n5(nN*)(2)a1S11，当n2时，anSnSn1(3n2)(3n12)23n1.an123n1
9、 n1，n2.(3)anSnSn1(3an2)(3an12)，an32an1(n2)又 a1S13a12，a11.an是以 1 为首项，32为公比的等比数列an1(32)n1(32)n1.数列的性质及应用 数列看作特殊的函数，一些函数的性质在数列中依然出现，如单调性、最值等问题，但数列有自己的特点，因此，在知识与方法上有独特的要求和处理方法已知数列an的通项 an(n1)(1011)n(nN*)，试问该数列an有没有最大项？若有，求出最大项的项数；若没有，说明理由例4【思路分析】本题可用作差法或作商法比较 an 与 an1 的大小，也可用anan1anan1 列出不等式组，求 n 值即可【解】
10、法一：令n11011nn1011n1n11011nn21011n110n1011n11n1110n20 n10n9，n9 或 n10 时，an 最大，即数列an有最大项，此时 n9 或 n10.法二：an1an(n2)(1011)n1(n1)(1011)n(1011)n9n11，当 n0，即 an1an；当 n9 时，an1an0，即 an1an；当 n9 时，an1an0，即 an1an.故 a1a2a3a11a12，数列an中有最大项，为第 9、10 项法三：an1an n21011n1n11011n 1011n2n1，令an1an 1，得1011n2n11，解得 n9，即 a10a9，易
11、知，当 n9 时，1011n2n11，即an1an 1，a1a2a3a8a9；当 n10 时，1011n2n11，即an1an 1，a10a11a12.数列an中有最大项，且最大项是 a9 和 a10.【名师点评】(1)数列是一类特殊的函数，解题时注意函数与方程思想的应用，以及转化思想也是解题的常用方法(2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用作差法，作商法，结合函数图象等方法(3)若求最大项 an，则 an满足anan1anan1；若求最小项 an，则 an 满足anan1anan1.方法感悟 方法技巧1根据数列的
12、通项公式判定数列的单调性(1)已知anf(n)，若f(n)的单调性可以确定，则an的单调性可以确定(2)比较法 作差比较法 nN*，an1an0(1，令bnan1(n1,2，)若数列bn有连续四项在集合53，23,19,37,82中，则6q_.【解析】数列bn中有连续四项在集合53，23,19,37,82中，数列an中有连续四项在集合54，24,18,36,81中由于数列an的连续四项中至少有一项为负，q0.又|q|1，数列an中的连续四项为24,36，54,81.q 362432.6q6(32)9.【答案】9【名师点评】本题主要考查了数列相关知识及综合分析问题、解决问题的能力，解题关键是an
13、的公比q1.名师预测 1在数列an中，a11，a25，an2an1an(nN*)，则a2011_.解析：a11，a25，a3a2a14，a4a3a2451，a5a4a3145，a6a5a45(1)4，a7a6a54(5)1，a8a7a65，可知数列an为周期数列，T6，a2011a11.答案：1 2若数列an满足：a11，且an1an n2n(nN*)，则当 n2 时，an_.解析：a11，且an1an n2n(nN*)a2a1a3a2a4a3a5a4 anan1314253n1n1，即 ann1n2.答案：nn123 已 知 数 列 an 满 足an1 2an 0an122an1 12an1.若 a167，则 a2012 的值等于_解析：a167，满足12a11，a2267157.同理 a3257137.a423767.故此数列为：67，57，37，67，57，37，每隔三项就循环一次，周期为 3，故 a2012a257.答案：574已知数列an满足a11，an1an2n，则a10等于_ 解析：an1an2n，a2a121，a3a222，a10a929，累加可得a10a1212229，a1021011023.答案：1023 本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
