1、5.2等差数列及其前n项和1等差数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母_d_表示2等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是ana1(n1)d.3等差中项如果A,那么A叫做a与b的等差中项4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:anam(nm)d(n,mN*)(2)若an为等差数列,且klmn(k,l,m,nN*),则akalaman.(3)若an是等差数列,公差为d,则a2n也是等差数列,公差为2d.(4)若an,bn是等差数列,则panqbn也是等
2、差数列(5)若an是等差数列,公差为d,则ak,akm,ak2m,(k,mN*)是公差为md的等差数列5等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d,其前n项和Sn或Snna1d.6等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A、B为常数)7等差数列的前n项和的最值在等差数列an中,a10,d0,则Sn存在最_大_值;若a10,则Sn存在最_小_值【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*,都有2an1anan2
3、.()(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()(5)数列an满足an1ann,则数列an是等差数列()(6)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p,q为常数),则数列an一定是等差数列()1(2014福建)等差数列an的前n项和为Sn,若a12,S312,则a6等于()A8 B10 C12 D14答案C解析由题意知a12,由S33a1d12,解得d2,所以a6a15d25212,故选C.2设an为等差数列,公差d2,Sn为其前n项和,若S10S11,则a1等于()A18 B20 C22 D24答案B解析因为S10S11,
4、所以a110.又因为a11a110d,所以a120.3在等差数列an中,已知a4a816,则该数列前11项和S11等于()A58 B88 C143 D176答案B解析S1188.4设等差数列an的前n项和为Sn,若S410,S515,则a4的最大值为_答案4解析设等差数列an的首项为a1,公差为d,依题意有4a1d10,即2a13d5,5a1d15,即a12d3,注意到a4a13d(2a13d)3(a12d)5334,因此a4的最大值为4.题型一等差数列基本量的运算例1(1)在数列an中,若a12,且对任意的nN*有2an112an,则数列an前10项的和为()A2 B10 C. D.(2)(
5、2013课标全国)设等差数列an的前n项和为Sn,Sm12,Sm0,Sm13,则m等于()A3 B4 C5 D6答案(1)C(2)C解析(1)由2an112an得an1an,所以数列an是首项为2,公差为的等差数列,所以S1010(2).(2)由题意得amSmSm12,am1Sm1Sm3,故d1,因为Sm0,故ma1d0,故a1,因为amam1Sm1Sm15,故amam12a1(2m1)d(m1)2m15,即m5.思维升华(1)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中
6、起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法(1)若等差数列an的前5项和S525,且a23,则a7等于()A12 B13 C14 D15(2)记等差数列an的前n项和为Sn,若a1,S420,则S6等于()A16 B24 C36 D48(3)已知等差数列an的前n项和为Sn,且满足1,则数列an的公差是()A. B1 C2 D3答案(1)B(2)D(3)C解析(1)由题意得S55a325,故a35,公差da3a22,a7a25d35213.(2)S426d20,d3,故S6315d48.(3)Sn,又1,得1,即a3a22,数列an的公差为2.题型二等差
7、数列的性质及应用例2(1)设等差数列an的前n项和为Sn,若S39,S636,则a7a8a9等于()A63 B45 C36 D27(2)若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列的项数为()A13 B12 C11 D10(3)已知Sn是等差数列an的前n项和,若a12 014,6,则S2 016_.答案(1)B(2)A(3)2 016解析(1)由an是等差数列,得S3,S6S3,S9S6为等差数列即2(S6S3)S3(S9S6),得到S9S62S63S345,故选B.(2)因为a1a2a334,an2an1an146,a1a2a3an2an1an34
8、146180,又因为a1ana2an1a3an2,所以3(a1an)180,从而a1an60,所以Sn390,即n13.(3)由等差数列的性质可得也为等差数列,设其公差为d.则6d6,d1.故2 015d2 0142 0151,S2 01612 0162 016.思维升华在等差数列an中,数列Sm,S2mSm,S3mS2m也成等差数列;也是等差数列等差数列的性质是解题的重要工具(1)设数列an是等差数列,若a3a4a512,则a1a2a7等于()A14 B21 C28 D35(2)已知等差数列an的前n项和为Sn,且S1010,S2030,则S30_.答案(1)C(2)60解析(1)a3a4a
9、53a412,a44,a1a2a77a428.(2)S10,S20S10,S30S20成等差数列,2(S20S10)S10S30S20,4010S3030,S3060.题型三等差数列的判定与证明例3已知数列an中,a1,an2(n2,nN*),数列bn满足bn(nN*)(1)求证:数列bn是等差数列;(2)求数列an中的最大项和最小项,并说明理由(1)证明因为an2(n2,nN*),bn(nN*),所以bn1bn1.又b1.所以数列bn是以为首项,1为公差的等差数列(2)解由(1)知bnn,则an11.设f(x)1,则f(x)在区间(,)和(,)上为减函数所以当n3时,an取得最小值1,当n4
10、时,an取得最大值3.思维升华等差数列的四个判定方法:(1)定义法:证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数(2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an1anan2后,可递推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1,根据定义得出数列an为等差数列(3)通项公式法:得出anpnq后,得an1anp对任意正整数n恒成立,根据定义判定数列an为等差数列(4)前n项和公式法:得出SnAn2Bn后,根据Sn,an的关系,得出an,再使用定义法证明数列an为等差数列(1)若an是公差为1的等差数列,则a2n12a2n是()A公差为3的等差数列 B公差为4的等差数列C公差为6的等差数
11、列 D公差为9的等差数列(2)在数列an中,若a11,a2,(nN*),则该数列的通项为()Aan BanCan Dan答案(1)C(2)A解析(1)a2n12a2n(a2n32a2n2)(a2n1a2n3)2(a2na2n2)2226,a2n12a2n是公差为6的等差数列(2)由已知式可得,知是首项为1,公差为211的等差数列,所以n,即an.等差数列的前n项和及其最值典例:(1)在等差数列an中,2(a1a3a5)3(a7a9)54,则此数列前10项的和S10等于()A45 B60 C75 D90(2)在等差数列an中,S10100,S10010,则S110_.(3)已知等差数列an的首项
12、a120,公差d2,则前n项和Sn的最大值为_(4)(2014北京)若等差数列an满足a7a8a90,a7a100,a80.a7a10a8a90,a9a80 Ba2a1000,a4a70,a10a110,a10a110可知d0,a110,a710;又数列an是等差数列,因此在该数列中,前6项均为正数,自第7项起以后各项均为负数,于是当Sn取最大值时,n6.8已知数列an中,a11且(nN*),则a10_.答案解析由已知(101)134,a10.9在等差数列an中,a11,a33.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列an的前k项和Sk35,求k的值解(1)设等差数列an的公差为d,则ana1
13、(n1)d.由a11,a33,可得12d3,解得d2.从而an1(n1)(2)32n.(2)由(1)可知an32n,所以Sn2nn2.由Sk35,可得2kk235,即k22k350,解得k7或k5.又kN*,故k7.10设等差数列an的前n项和为Sn,若a10,S2 0150.(1)求Sn的最小值及此时n的值;(2)求n的取值集合,使其满足anSn.解(1)设公差为d,则由S2 01502 015a1d0a11 007d0,da1,a1ana1,Sn(a1an)a1(2 015nn2)a10,nN*,当n1 007或1 008时,Sn取最小值504a1.(2)ana1,Snan(2 015nn
14、2)a1.a10,n22 017n2 0160,即(n1)(n2 016)0,解得1n2 016.故所求n的取值集合为n|1n2 016,nN*B组专项能力提升(时间:30分钟)11已知数列an为等差数列,若0的n的最大值为()A11 B19 C20 D21答案B解析0,a110,且a10a110,S2010(a10a11)0的n的最大值为19.12(2013辽宁)下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题:p1:数列an是递增数列;p2:数列nan是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列an3nd是递增数列其中,真命题为()Ap1,p2 Bp3,p4Cp2,p3 Dp1,p4答案D解析由
15、于p1:ana1(n1)d,d0,anan1d0,命题p1正确对于p2:nanna1n(n1)d,nan(n1)an1a12(n1)d与0的大小和a1的取值情况有关故数列nan不一定递增,命题p2不正确对于p3:d,当da10,即da1时,数列递增,但da1不一定成立,则p3不正确对于p4:设bnan3nd,则bn1bnan1an3d4d0.数列an3nd是递增数列,p4正确综上,正确的命题为p1,p4.13设等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意自然数n都有,则的值为_答案解析an,bn为等差数列,.,.14已知数列an的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Snan4(nN
16、*)(1)求证:数列an为等差数列;(2)求数列an的通项公式(1)证明当n1时,有2a1a14,即a2a130,解得a13(a11舍去)当n2时,有2Sn1an5,又2Snan4,两式相减得2anaa1,即a2an1a,也即(an1)2a,因此an1an1或an1an1.若an1an1,则anan11.而a13,所以a22,这与数列an的各项均为正数相矛盾,所以an1an1,即anan11,因此数列an为等差数列(2)由(1)知a13,d1,所以数列an的通项公式an3(n1)1n2,即ann2.15已知数列an中,a1,an1.(1)求an;(2)设数列bn的前n项和为Sn,且bn1,求证:Sn1.(1)解由已知得an0则由an1,得,即,而2,是以2为首项,以为公差的等差数列2(n1),an.(2)证明bn1,则由(1)得bn,Snb1b2bn(1)()()()1关于n单调递增,Sn1.