1、5.2等差数列及其前n项和1等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母_d_表示2等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d.3等差中项如果A，那么A叫做a与b的等差中项4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等
2、差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列5等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn或Snna1d.6等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A、B为常数)7等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最_大_值；若a10，则Sn存在最_小_值【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2
3、.()(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()(5)数列an满足an1ann，则数列an是等差数列()(6)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()1(2014福建)等差数列an的前n项和为Sn，若a12，S312，则a6等于()A8 B10 C12 D14答案C解析由题意知a12，由S33a1d12，解得d2，所以a6a15d25212，故选C.2设an为等差数列，公差d2，Sn为其前n项和，若S10S11，则a1等于()A18 B20 C22 D24答案B解析因为S10S11，
4、所以a110.又因为a11a110d，所以a120.3在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11等于()A58 B88 C143 D176答案B解析S1188.4设等差数列an的前n项和为Sn，若S410，S515，则a4的最大值为_答案4解析设等差数列an的首项为a1，公差为d，依题意有4a1d10，即2a13d5,5a1d15，即a12d3，注意到a4a13d(2a13d)3(a12d)5334，因此a4的最大值为4.题型一等差数列基本量的运算例1(1)在数列an中，若a12，且对任意的nN*有2an112an，则数列an前10项的和为()A2 B10 C. D.(2)(
5、2013课标全国)设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m等于()A3 B4 C5 D6答案(1)C(2)C解析(1)由2an112an得an1an，所以数列an是首项为2，公差为的等差数列，所以S1010(2).(2)由题意得amSmSm12，am1Sm1Sm3，故d1，因为Sm0，故ma1d0，故a1，因为amam1Sm1Sm15，故amam12a1(2m1)d(m1)2m15，即m5.思维升华(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中
6、起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法(1)若等差数列an的前5项和S525，且a23，则a7等于()A12 B13 C14 D15(2)记等差数列an的前n项和为Sn，若a1，S420，则S6等于()A16 B24 C36 D48(3)已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足1，则数列an的公差是()A. B1 C2 D3答案(1)B(2)D(3)C解析(1)由题意得S55a325，故a35，公差da3a22，a7a25d35213.(2)S426d20，d3，故S6315d48.(3)Sn，又1，得1，即a3a22，数列an的公差为2.题型二等差
7、数列的性质及应用例2(1)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于()A63 B45 C36 D27(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A13 B12 C11 D10(3)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 014，6，则S2 016_.答案(1)B(2)A(3)2 016解析(1)由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345，故选B.(2)因为a1a2a334，an2an1an146，a1a2a3an2an1an34
8、146180，又因为a1ana2an1a3an2，所以3(a1an)180，从而a1an60，所以Sn390，即n13.(3)由等差数列的性质可得也为等差数列，设其公差为d.则6d6，d1.故2 015d2 0142 0151，S2 01612 0162 016.思维升华在等差数列an中，数列Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列；也是等差数列等差数列的性质是解题的重要工具(1)设数列an是等差数列，若a3a4a512，则a1a2a7等于()A14 B21 C28 D35(2)已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1010，S2030，则S30_.答案(1)C(2)60解析(1)a3a4a
9、53a412，a44，a1a2a77a428.(2)S10，S20S10，S30S20成等差数列，2(S20S10)S10S30S20，4010S3030，S3060.题型三等差数列的判定与证明例3已知数列an中，a1，an2(n2，nN*)，数列bn满足bn(nN*)(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由(1)证明因为an2(n2，nN*)，bn(nN*)，所以bn1bn1.又b1.所以数列bn是以为首项，1为公差的等差数列(2)解由(1)知bnn，则an11.设f(x)1，则f(x)在区间(，)和(，)上为减函数所以当n3时，an取得最小值1，当n4
10、时，an取得最大值3.思维升华等差数列的四个判定方法：(1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2后，可递推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1，根据定义得出数列an为等差数列(3)通项公式法：得出anpnq后，得an1anp对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列an为等差数列(4)前n项和公式法：得出SnAn2Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列an为等差数列(1)若an是公差为1的等差数列，则a2n12a2n是()A公差为3的等差数列 B公差为4的等差数列C公差为6的等差数
11、列 D公差为9的等差数列(2)在数列an中，若a11，a2，(nN*)，则该数列的通项为()Aan BanCan Dan答案(1)C(2)A解析(1)a2n12a2n(a2n32a2n2)(a2n1a2n3)2(a2na2n2)2226，a2n12a2n是公差为6的等差数列(2)由已知式可得，知是首项为1，公差为211的等差数列，所以n，即an.等差数列的前n项和及其最值典例：(1)在等差数列an中，2(a1a3a5)3(a7a9)54，则此数列前10项的和S10等于()A45 B60 C75 D90(2)在等差数列an中，S10100，S10010，则S110_.(3)已知等差数列an的首项
12、a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为_(4)(2014北京)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，a80.a7a10a8a90，a9a80 Ba2a1000，a4a70，a10a110，a10a110可知d0，a110，a710；又数列an是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当Sn取最大值时，n6.8已知数列an中，a11且(nN*)，则a10_.答案解析由已知(101)134，a10.9在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值解(1)设等差数列an的公差为d，则ana1
13、(n1)d.由a11，a33，可得12d3，解得d2.从而an1(n1)(2)32n.(2)由(1)可知an32n，所以Sn2nn2.由Sk35，可得2kk235，即k22k350，解得k7或k5.又kN*，故k7.10设等差数列an的前n项和为Sn，若a10，S2 0150.(1)求Sn的最小值及此时n的值；(2)求n的取值集合，使其满足anSn.解(1)设公差为d，则由S2 01502 015a1d0a11 007d0，da1，a1ana1，Sn(a1an)a1(2 015nn2)a10，nN*，当n1 007或1 008时，Sn取最小值504a1.(2)ana1，Snan(2 015nn
14、2)a1.a10，n22 017n2 0160，即(n1)(n2 016)0，解得1n2 016.故所求n的取值集合为n|1n2 016，nN*B组专项能力提升(时间：30分钟)11已知数列an为等差数列，若0的n的最大值为()A11 B19 C20 D21答案B解析0，a110，且a10a110，S2010(a10a11)0的n的最大值为19.12(2013辽宁)下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列其中，真命题为()Ap1，p2 Bp3，p4Cp2，p3 Dp1，p4答案D解析由
15、于p1：ana1(n1)d，d0，anan1d0，命题p1正确对于p2：nanna1n(n1)d，nan(n1)an1a12(n1)d与0的大小和a1的取值情况有关故数列nan不一定递增，命题p2不正确对于p3：d，当da10，即da1时，数列递增，但da1不一定成立，则p3不正确对于p4：设bnan3nd，则bn1bnan1an3d4d0.数列an3nd是递增数列，p4正确综上，正确的命题为p1，p4.13设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有，则的值为_答案解析an，bn为等差数列，.，.14已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Snan4(nN
16、*)(1)求证：数列an为等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明当n1时，有2a1a14，即a2a130，解得a13(a11舍去)当n2时，有2Sn1an5，又2Snan4，两式相减得2anaa1，即a2an1a，也即(an1)2a，因此an1an1或an1an1.若an1an1，则anan11.而a13，所以a22，这与数列an的各项均为正数相矛盾，所以an1an1，即anan11，因此数列an为等差数列(2)由(1)知a13，d1，所以数列an的通项公式an3(n1)1n2，即ann2.15已知数列an中，a1，an1.(1)求an；(2)设数列bn的前n项和为Sn，且bn1，求证：Sn1.(1)解由已知得an0则由an1，得，即，而2，是以2为首项，以为公差的等差数列2(n1)，an.(2)证明bn1，则由(1)得bn，Snb1b2bn(1)()()()1关于n单调递增，Sn1.