1、广东省2022届高三开学四校联考数 学本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1. 答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内.2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4. 考生必须保持答题卡的整洁.一、选择题：本题共8小题，每
2、小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知，则（ ）A. B. C. D. 3. 函数具有性质（ ）A. 最大值为2，图象关于对称B. 最大值为，图象关于对称C. 最大值为2，图象关于直线对称D. 最大值为，图象关于直线对称4. 一个圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，则这个圆柱的体积为（ ）A. B. C. D. 5. 已知，则（ ）A. B. C. D. 6. 已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在椭圆上，则的最小值为（ ）A. 12B. 10C. 9D. 87. 2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万
3、万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”（“三药”是指金花清感颗粒、连花清瘟颗粒（胶囊）和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤、化湿败毒方和宜肺败毒方）发挥了重要的作用.甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲、乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是（ ）A. B. C. D. 8. 已知点在圆：上，椭圆：的右焦点为，点在椭圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，过点作圆的切线，则切线斜率为（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5
4、分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 如图是2021年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中、均为数字09中的一个），在去掉一个最高分和一个最低分后，则有（ ）A. 甲选手得分的平均数一定大于乙选手得分的平均数B. 甲选手得分的中位数一定大于乙选手得分的中位数C. 甲选手得分的众数与的值无关D. 甲选手得分的方差与的值无关10. 已知向量，则下列命题正确的是（ ）A. 存在，使得B. 当时，与垂直C. 对任意，都有D. 当时，在方向上的投影为11. 如图，点是正方体中的侧面内（包括边界）的一
5、个动点，则下列结论正确的是（ ）A. 满足的点的轨迹是一条线段B. 在线段上存在点，使异面直线与所成的角是C. 若正方体的棱长为1，三棱锥的体积最大值为D. 点存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等12. 已知函数，则（ ）A. 对任意的，函数都有零点.B. 当时，对，都有成立.C. 当时，方程有4个不同的实数根.D. 当时，方程有2个不同的实数根.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知双曲线：的一条渐近线为，则双曲线的实轴长为_.14. 已知二项式的展开式的二项式系数和为64，则展开式中的有理项系数和为_.15. 函数的图象在点处的切线与直线垂直，则非零实数的值为_.
6、16. 设正整数，其中，记.若且，则这样的正整数有_个，所有的这样的正整数的和为_.（用数字作答）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知等比数列是递增数列，满足，.（1）求的通项公式；（2）设，若为数列的前项积，证明.18. 党中央，国务院高度重视新冠病毒核酸检测工作，中央应对新型冠状病毒感染肺炎疫情工作领导小组会议作出部署，要求尽力扩大核酸检测范围，着力提升检测能力.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为.现有6例疑似病例，分别对其取样、检测，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则化验结果呈阳性.若混
7、合样本呈阳性，则需将该组中备用的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再化验.现有以下三种方案：方案一：6个样本逐个化验；方案二：6个样本混合在一起化验；方案三：6个样本均分为两组，分别混合在一起化验.在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.（1）若，按方案一，求6例疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；（2）若，现将该6例疑似病例样本进行化验，当方案三比方案二更“优”时，求的取值范围.19. 如图所示，在四边形中，且，.（1）若，求的长；（2）求四边形面积的最大值.20. 在四棱锥中，平面，点，在线段上，满足，.（1）求证：；（2）
8、若为线段上的一点，且平面，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.21. 已知抛物线：的焦点为，为抛物线上的一点，且.（1）求抛物线的标准方程；（2）过点的直线与抛物线交于，两点，点在抛物线上，记直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否存在点，使得？若存在，求出点的个数；若不存在，请说明理由.22. 已知函数.（1）若函数为增函数，求实数的取值范围；（2）设有两个不同零点，.（i）证明：；（ii）若，证明：.数学参考答案一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分. 其中第1题第10题为单项选择题，在给出的四个选项中，只有一项符合要求；第11题和第12题为多项选择题，在给出的四个选项中，有多项符合
9、要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）题号123456789101112答案BDCDACABABDBDACDAC二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）13 14 15 16 ， 三、解答题（本大题6小题，共70分）17（1）可设等比数列的公比为， 2分解得：或（舍去）. 4分所以. 5分(2) 6分当时，7分/得，8分当时，也成立.9分10分18(1)用表示例疑似病例中化验呈阳性的人数，则随机变量1分由题意可知：.3分答：例疑似病例中至少有1例呈阳性的概率为.4分(2)方案二：混合一起检验，记检验次数为，则.5分7分方案三：每组的三个样本混合在一起化验，记检验次数
10、为，则.8分10分12分的取值范围.19（）， ， 2分在中， ， ， ，由余弦定理可得， ，4分在中， ， ， ，由余弦定理可得，即， 5分化简得，解得故的长为 6分（2） 设四边形面积为，则， 7分所以， 8分在中， ， ，由余弦定理可得：，9分即， 10分,当且仅当时，11分所以，12分20（1）证明：，1分,四边形为矩形2分3分4分（第一问直接用向量法，也相应给分）(2) 连接交于点，连接.6分如图建立空间指角坐标系，则8分由（1）知，则为平面的一个法向量.9分设平面的一个法向量为，则，取11分设平面与平面所成锐二面角为12分平面与平面所成锐二面角的余弦值为.21（1）根据题意抛物线C的方程为，则，2分，解得，3分，所以抛物线C的标准方程为4分（2）由题意知，直线的斜率不为，可设直线的方程为，5分联立方程得，消去并化简得，6分设，则.7分因为两点在抛物线C上，所以，所以，同理可得，8分，则，9分所以，即10分因为，所以方程有两个不同的解，11分故满足的点的个数为.12分22（1）的定义域为，.1分函数是上的增函数，3分实数的取值范围是（2）（i）的两个根为. 4分不妨设5分要证：，只需证.6分令在恒成立，在为增函数，.8分（ii），9分令，10分令在为增函数，在为增函数，11分.12分13
