1、数学 第2节 用样本估计总体 数学 最新考纲 1.了解分布的意义和作用,能根据列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,体会它们各自的特点.2.理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差.3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并做出合 理的解释.4.会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想.5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.数学 知识链条完善 考点专项突破 解题规范夯实 数学 知识链条完善 把散落的知识连起来【教材导读】1.频率分布直方图提供了样本数据的哪些信
2、息?提示:各组数据的频率.2.茎叶图提供了样本数据的哪些信息?提示:全部的原始数据.数学 知识梳理 1.作频率分布直方图的步骤 数学 2.频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的 ,就得频率分布折线图.(2)总体密度曲线:随着 的增加,作图时所分的组数增加,.减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,即总体密度曲线.中点 样本容量 组距 数学 3.茎叶图 定义是统计中用来表示数据的一种图,茎是指中间的一列数,叶就是从茎的旁边生长出来的数画法对于样本数据较少,且分布较为集中的一组数据:若数据是两位整数,则将十位数字作茎,个位数字作叶;若数据是
3、三位整数,则将百位、十位数字作茎,个位数字作叶.样本数据为小数时做类似处理.对于样本数据较少,且分布较为集中的两组数据,关键是找到两组数据共有的茎优缺点用茎叶图表示数据的优点是(1)所有的信息都可以从茎叶图中得到;(2)便于记录和读取,能够展示数据的分布情况.缺点是当样本数据较多或数据位数较多时,茎叶图就显得不太方便数学 4.样本的数字特征 数字 特征 定义 特点 众数 在一组数据中出现次数最多的数据 体现了样本数据的最大集中点,不受极端值的影响,而且可能不唯一 中位数 将一组数据按大小顺序依次排列,处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)中位数不受极端值的影响,仅利用了排在中间数
4、据的信息 平均数 样本数据的算术平均数 如果有 n 个数 x1,x2,xn,那么 x=1n(x1+x2+xn)叫做这 n 个数的平均数.在频率分布直方图中,平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 数学 标准差 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,即 s=222121()().()nxxxxxxn 反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度.标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数的两边越分散 方差 标准差的平方,即s2=1n(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2 同标准差一样用来衡量样本数据的离散程度,
5、但是平方后夸大了偏差程度 数学【重要结论】1.频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1,纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果.2.在频率分布直方图中,各组的中点值乘以各组的频率之和即为样本数组平均值的估计值.3.在频率分布直方图中,垂直于横轴的直线如果把各个小矩形的面积等分,则其对应的数据即为中位数的估计值.数学 夯基自测 1.在样本频率分布直方图中,共有 11 个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其他 10 个小长方形面积和的 14,且样本容量为 160,则中间一组的频数为()(A)32(B)0.2(C)40(D)0.25 解析:由频率分布直方图的性质,可设中间一组的频率为x,则x+4
6、x=1,所以x=0.2,故中间一组的频数为1600.2=32.A 数学 2.(2016吉林省实验中学二模)下列说法中,正确的是()(A)数据5,4,4,3,5,2的众数是4(B)一组数据的标准差是这组数据的方差的平方(C)数据2,3,4,5的标准差是数据4,6,8,10的标准差的一半(D)频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数 解析:数据 5,4,4,3,5,2 的众数是 4 和 5,A 错;一组数据的标准差是这组数据的方差的算术平方根,B 错;由标准差公式 s=21()ixxn知 C 正确,频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频率,D 错.故选 C.C 数学 3.随机抽
7、取某中学甲、乙两班各6名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图,则甲班样本数据的众数、中位数和乙班样本数据的平均数、方差分别是 .解析:甲班样本数据的众数、中位数分别是 171,1701712=170.5,乙班样本数据的平均数是 181 172 171 170 164 1626=170,方差是 s2=16(181-170)2+(172-170)2+(171-170)2+(170-170)2+(164-170)2+(162-170)2=1133.答案:171,170.5,170,1133 数学 4.农场种植的甲乙两种水稻,在面积相等的两块稻田中连续6年的年平均产量如下(单位
8、:500 g)年份 产量 品种第1年第2年第3年第4年第5年第6年甲900920900850910920乙890960950850860890则甲乙两种水稻平均产量的标准差分别是 .解析:平均值都是900,甲的标准差约等于23.8,乙的标准差约等于41.6.答案:23.8,41.6 数学 考点专项突破 在讲练中理解知识 考点一 频率分布直方图【例1】(2015高考湖北卷)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间0.3,0.9内,其频率分布直方图如图所示.数学(1)直方图中的a=;(2)在这些购物者中,消费金额在区间0.5,0.9
9、内的购物者的人数为 .解析:(1)0.11.5+0.12.5+0.1a+0.12.0+0.10.8+0.10.2=1,解得a=3.(2)区间0.5,0.9内的频率为1-0.11.5-0.12.5=0.6,则该区间内购物者的人数为10 0000.6=6 000.答案:(1)3(2)6 000 数学 反思归纳 (1)纵轴上的数据是频率除以组距;(2)各组的频率之和等于1;(3)各组的频率等于各组的频数除以样本容量.数学【即时训练】某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是96,106,样本数据分组为96,98),98,1
10、00),100,102),102,104),104,106,已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是()(A)90(B)75(C)60(D)45 数学 解析:净重小于100克的频率是(0.05+0.10)2=0.30,故这批产品的个数x满足 36x=0.30,即 x=120,净重大于或等于 98 克而小于 104 克的频率是(0.100+0.125+0.150)2=0.75,故其产品数量是 1200.75=90.故选 A.数学 考点二 茎叶图 【例2】(1)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况,随机选取该月中的5天,将这5天中14时
11、的气温数据(单位:)制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论:甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温;甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温;甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差;甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为()(A)(B)(C)(D)数学 解析:(1)由题中茎叶图,知 x甲=26282931 315=29,s 甲=222221(2629)(2829)(2929)(3129)(3129)5=3 105;x乙=28+29+30+31+325=30,s 乙=222221(2830)
12、(2930)(3030)(3130)(3230)5=2.所以 x甲 s 乙,故选 B.答案:(1)B 数学(2)某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示,则这组数据的中位数是 ;众数是 .解析：(2)由于中位数是把样本数据按照由小到大的顺序排列起来,处在中间位置的一个(或是最中间两个数的平均数),故从茎叶图可以看出中位数是23;而众数是样本数据中出现次数最多的数,故众数也是23.答案:(2)23 23 数学 反思归纳 (1)茎叶图保留了全部的样本数据;(2)从茎叶图上可以发现样本数据的分散与集中程度,从而对样本数据的平均值和方差作出定性判断.数学【即时训练】(1)(2016合
13、肥一中月考)某中学从甲、乙两个艺术班中各选出7名学生参加市级才艺比赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示,其中甲班学生成绩的众数是85,乙班学生成绩的中位数是83,则x+y的值为()(A)6(B)8(C)9(D)11 解析:(1)由茎叶图可知,茎为8时,甲班学生成绩对应数据只能是80,80+x,85,因为甲班学生成绩众数是85,所以85出现的次数最多,可知x=5.由茎叶图可知,乙班学生成绩为76,81,81,80+y,91,91,96,由乙班学生成绩的中位数是83,可知y=3.所以x+y=8.故选B.数学(2)为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛,老师将二人最近 6 次数学测试的分
14、数进行统计,甲、乙两人的平均成绩分别是 x甲、x乙,则下列说法正确的是()(A)x甲 x乙,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛(B)x甲 x乙,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛(C)x甲 x乙,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛(D)x甲 x乙,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛 数学 解析：(2)由茎叶图知 x甲=7278798586926=82.x乙=7886888891 93687.33.所以 x甲 x乙,又由乙的茎集中在 8,而甲较分散,即乙比甲成绩稳定.故选 D.数学 用样本估计总体 考点三 【例3】(1)某企业有3个分厂生产同一种电子产品,第一、二、三分厂的产量之比为121,用分层抽样方法从3个
15、分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试,由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h,1 020 h,1 032 h,则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为 h.解析:(1)由于是按照分层抽样,故抽取的 100 件产品的数量比例和产量的比例是相同的,即在第一、二、三分厂抽取的产品数量之比是 121,也即在第一、二、三分厂抽取的产品数量分别为 25,50,25 件,故这 100 件产品的使用寿命的平均值 x=98025 1020 50103225100=980 1 102021032 14 =1 013(h).答案:(1)1 013 数学(2)(
16、2015云南昆明二模)在一次区统考中,为了解各学科的成绩情况,从所有考生中随机抽出20位考生的成绩进行统计分析,其中数学学科的频率分布直方图如图所示,据此估计,在本次考试中数学成绩的方差为 .(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)数学 解析：(2)考试成绩的平均值为550.1+650.2+750.35+850.3+950.05=75,考试成绩的方差为(55-75)20.1+(65-75)20.2+(75-75)20.35+(85-75)20.3+(95-75)20.05=110.答案:(2)110 数学 反思归纳 (1)计算平均值和方差,只要按照公式计算即可;(2)如果数据x1,x2,xn
17、在样本中各自出现的频率分别为p1,p2,pn,则这个样本数据的平均数是=x1p1+x2p2+xnpn,在频率分布直方图中,xi通常取其所在组的中间值.数学【即时训练】(1)(2015 高考广东卷)已知样本数据 x1,x2,xn的均值 x=5,则样本数据 2x1+1,2x2+1,2xn+1 的均值为 .解析:(1)样本数据 2x1+1,2x2+1,2xn+1 的均值为 2 x+1=11.答案:(1)11 数学(2)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习,每人投10次,投中的次数如表:学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个
18、为s2=.数学 解析:(2)两个班的平均数都是 7,甲班的方差为 2s甲=22222(67)(77)(77)(87)(77)5=25,乙班的方差为 2s乙=22222(67)(77)(67)(77)(97)5=65.故方差较小的一个为 25.答案:(2)25数学 备选例题 【例1】某纺织厂订购一批棉花,其各种长度的纤维所占的比例如表 所示:纤维长度356所占的比例(%)254035(1)请估计这批棉花纤维的平均长度与方差;解:(1)由题知,这批棉花纤维长度的样本平均值为30.25+50.4+60.35=4.85,棉花纤维长度的方差为(3-4.85)20.25+(5-4.85)2 0.4+(6-
19、4.85)20.35=1.327 5.由此估计这批棉花纤维的平均长度为4.85,方差为1.327 5.数学(2)如果规定这批棉花纤维的平均长度为4.90,方差不超过1.200,两者允许误差均不超过0.10视为合格产品.请你估计这批棉花的质量是否、合格?解：(2)棉花纤维长度的平均值达到标准,而方差超过标准,可以认为这批产品为不合格.数学【例2】某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中,上学所需时间的范围是0,100,样本数据分组为0,20),20,40),40,60),60,80),80,100.数学(1)求直方图中x的值;(2)如
20、果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿,若该学校有600名新生,请估计新生中有多少名学生可以申请住宿;(3)由频率分布直方图估计该校新生上学所需时间的平均值.解:(1)由直方图可得20 x+0.02520+0.006 520+0.003220=1,所以x=0.012 5.(2)新生上学所需时间不少于1小时的频率为0.003220=0.12,因为6000.12=72(名),所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.(3)由题可知 0.012 52010+0.0252030+0.006 52050+0.0032070+0.0032090=20(0.012 510+0.02530+0.0
21、06 550+0.00370+0.00390)=33.6(分钟).故该校新生上学所需时间的平均值为33.6分钟.数学 解题规范夯实 把典型问题的解决程序化 统计图表的综合问题【典例】(2014高考新课标全国卷)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:质量指标 值分组75,85)85,95)95,105)105,115)115,125)频数62638228数学(1)作出这些数据的频率分布直方图;数学 审题点拨 关键点 所获信息(1)频数分布表;(2)绘制的频率分布直方图(1)可求出各组频率;求出各组的率距频组;(2)可找到各组的组中值 解题
22、突破:(1)由所获信息可绘制频率分布直方图;(2)由所绘制的频率分布直方图可计算平均值、方差;(3)计算出质量指标值不低于 95 的产品的比例数 数学 满分展示:(1)如图所示 3 分数学(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定?满分展示:(2)质量指标值的样本平均数为 x=800.06+900.26+1000.38+1100.22+1200.08=100.5 分 质量指标值的样本方差为 s2=(-20)20.06+(-10)20.
23、26+00.38+1020.22+2020.08=104.7 分 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为 100,方差的估计值为 104.8 分(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68.10分 由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.12分 数学 答题模板:第一步:根据统计表中的数据求出各组数据的频率,并求出对应小长方形的高率距频组.最后在给出的图中画出各个小长方形,从而得到频率分布直方图.第二步:根据频率分布直方图求出各组区间的中点值,确定相应的频率,代入相应的公式求解平均数.第三步:把相应数值代入公式求方差.第四步:由频率分布直方图求出质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值,与目标值比较作出相关结论.数学 点击进入课时训练数学
