1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业 十三变化率与导数、导数的计算(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=x2cosx在x=1处的导数是()A.0B.2cos1-sin1C.cos1-sin1D.1【解析】选B.因为y=(x2cosx)=(x2)cosx+x2(cosx)=2xcosx-x2sinx,所以y|x=1=2cos1-sin1.2.(2016济宁模拟)已知f(x)=x(2014+lnx),f(x0)=2015,则x0=()A.e2B.1C.ln2D.e【解析】选
2、B.由题意可知f(x)=2014+lnx+x=2015+lnx.由f(x0)=2015,得lnx0=0,解得x0=1.3.已知函数f(x)=ex,则当x1B.D.4.(2016聊城模拟)直线f(x)=x+b是曲线g(x)=lnx(x0)的一条切线,则b=()A.2B.ln2+1C.ln2-1D.ln2【解析】选C.因为g(x)=,所以=,解得x=2,所以切点为(2,ln2),将其代入直线f(x)=x+b,得b=ln2-1.5.(2016潍坊模拟)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,则a的值是()A.1B.C.1或D.1或-【解析】选C.易知点O
3、(0,0)在曲线f(x)=x3-3x2+2x上,(1)当O(0,0)是切点时,则k=f(x)=3x2-6x+2=2,故切线方程为y=2x,由得x2-2x+a=0,依题意知=4-4a=0,即a=1.(2)当O(0,0)不是切点时,设直线l与曲线f(x)的切点为P(x0,y0),则y0=-3+2x0,且k=f(x0)=3-6x0+2.又k=-3x0+2,由,联立,得x0=(x0=0舍),所以k=-,所以所求切线l的方程为y=-x.由得x2+x+a=0.依题意,=-4a=0,所以a=.综上,a=1或a=.【误区警示】(1)片面理解“过点O(0,0)的直线与曲线f(x)=x3-3x2+2x相切”.这里
4、有两种可能:一是点O是切点;二是点O不是切点,但曲线经过点O,解析中忽视后面情况.(2)本题还易出现以下错误:一是当点O(0,0)不是切点时,无法与导数的几何意义沟通起来;二是盲目设直线l的方程,导致解题复杂化,求解受阻.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若函数f(x)=lnx-f(-1)x2+3x-4,则f(1)=.【解析】因为f(x)=-2f(-1)x+3,所以f(-1)=-1+2f(-1)+3,解得f(-1)=-2,所以f(1)=1+4+3=8.答案:8【加固训练】已知f(x)=x2+2xf(2014)+2014lnx,则f(2014)=.【解析】由题意得f(x)=x+2f(2014
5、)+,所以f(2014)=2014+2f(2014)+,即f(2014)=-(2014+1)=-2015.答案:-20157.曲线y=log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于.【解析】因为y=,所以k=,所以切线方程为y=(x-1),所以三角形面积为1=log2e.答案:log2e8.(2016日照模拟)已知函数f(x)=ex-mx+1的图象为曲线C,若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,则实数m的取值范围是.【解析】由题意可得f(x)=ex-m,由于曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,则ex-m=-有解,即m=ex+,而ex0,故m.答案:【加固训练】设曲线y=在点处的切
6、线与直线x-ay+1=0平行,则实数a等于.【解析】因为y=,所以y=-1,由条件知=-1,所以a=-1.答案:-1三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知点M是曲线y=x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:(1)斜率最小的切线方程.(2)切线l的倾斜角的取值范围.【解析】(1)y=x2-4x+3=(x-2)2-1-1,所以当x=2时,y=-1,y=,所以斜率最小的切线过点,斜率k=-1,所以切线方程为x+y-=0.(2)由(1)得k-1,所以tan-1,所以.10.已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,bR).(1)若函数f(x)的图象过原
7、点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值.(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.【解析】f(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).(1)由题意得解得b=0,a=-3或a=1.(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,所以关于x的方程f(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,所以=4(1-a)2+12a(a+2)0,即4a2+4a+10,所以a-.所以a的取值范围为.(20分钟40分)1.(5分)下面四个图象中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(aR)的导函数y=f(x)的图象,则f(-1)=()
8、A.B.-C.D.-或【解析】选D.因为f(x)=x2+2ax+a2-1,所以f(x)的图象开口向上,则排除.若f(x)的图象为,此时a=0,f(-1)=;若f(x)的图象为,此时a2-1=0,又对称轴x=-a0.所以a=-1,所以f(-1)=-.2.(5分)(2016济南模拟)函数y=-x2+1(0x2)的图象上任意点处切线的倾斜角记为,则的最小值是()A.B.C.D.【解析】选D.由于y=x2-2x,当0x2时,-1y0,据导数的几何意义得-1tan0)的图象在点(ak,)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,其中kN*,若a1=16,则a1+a3+a5的值是.【解析】因为y=2x,所以函
9、数y=x2(x0)在点(ak,)处的切线方程为y-=2ak(x-ak),令y=0,得ak+1=ak,又因为a1=16,所以a3=a2=a1=4,a5=a3=1,所以a1+a3+a5=16+4+1=21.答案:214.(12分)已知函数f(x)=x-,g(x)=a(2-lnx)(a0).若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率相同,求a的值.并判断两条切线是否为同一条直线.【解析】根据题意有:曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为f(1)=3,曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率为g(1)=-a.所以f(1)=g(1),即a=-3.曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-f(1
10、)=3(x-1),得y+1=3(x-1),即切线方程为3x-y-4=0.曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为y-g(1)=3(x-1),得y+6=3(x-1),即切线方程为3x-y-9=0,所以两条切线不是同一条直线.5.(13分)(2016青岛模拟)设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式.(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.【解析】(1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3.当x=2时,y=.又f(x)=a+,于是解得故f(x)=x-.(2)设P(x0,y0)为曲线y=f(x)上任一点,由y=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-=(x-x0).令x=0得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.关闭Word文档返回原板块
