1、2.7 函数的图象1描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象2图象变换(1)平移变换(2)对称变换yf(x)关于x轴对称yf(x)；yf(x)关于y轴对称yf(x)；yf(x)关于原点对称yf(x)；yax(a0 且 a1)关于yx对称ylogax(a0 且 a1)yf(x)保留x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去y|f(x)|.yf(x)保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称的图象yf(|x|)(3)伸缩变换yf(x)yf(ax)yf(x)a1，纵坐标伸长为原来的a倍，横
2、坐标不变0a0 且 a1)的图象相同()(3)函数 yf(x)与 yf(x)的图象关于原点对称()(4)若函数 yf(x)满足 f(1x)f(1x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称()(5)将函数 yf(x)的图象向右平移 1 个单位得到函数 yf(x1)的图象()(6)不论 a(a0 且 a1)取何值，函数 yloga2|x1|的图象恒过定点(2,0)()1(2014浙江)在同一直角坐标系中，函数 f(x)xa(x0)，g(x)logax 的图象可能是()答案 D解析 方法一 当 a1 时，yxa 与 ylogax 均为增函数，但 yxa 递增较快，排除 C；当 0a1 时，yx
3、a 为增函数，ylogax 为减函数，排除 A.由于 yxa 递增较慢，所以选 D.方法二 幂函数 f(x)xa 的图象不过(0,1)点，排除 A；B 项中由对数函数 f(x)logax 的图象知0a1，而此时幂函数 f(x)xa 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故 C 错2(2013北京)函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线 yex 关于 y 轴对称，则 f(x)的解析式为()Af(x)ex1Bf(x)ex1Cf(x)ex1Df(x)ex1答案 D解析 与 yex 图象关于 y 轴对称的函数为 yex.依题意，f(x)图象向右平移一个单位，得 yex 的图象f(x)
4、的图象由 yex 的图象向左平移一个单位得到f(x)e(x1)ex1.3已知图中的图象对应的函数为 yf(x)，则图中的图象对应的函数为()Ayf(|x|)By|f(x)|Cyf(|x|)Dyf(|x|)答案 C解析 yf(|x|)fx，x0，fx，xm，x24x2，xm 的图象与直线 yx 恰有三个公共点，则实数 m 的取值范围是()A(，1 B1,2)C1,2D2，)答案 B解析 方法一 特值法，令 m2，排除 C、D，令 m0，排除 A，故选 B.方法二 令 x24x2x，解得 x1 或 x2，所以三个解必须为1，2 和 2，所以有1m2.故选 B.题型一 作函数的图象例 1 分别画出下
5、列函数的图象：(1)y|lg x|；(2)y2x2；(3)yx22|x|1;(4)yx2x1.解(1)ylg x x1，lg x0 x1图象如图.(2)将 y2x 的图象向左平移 2 个单位图象如图.(3)yx22x1 x0，x22x1x0)的函数是图象变换的基础；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换等常用方法技巧，可以帮助我们简化作图过程 作出下列函数的图象(1)y|x2|(x1)；(2)yx2x3.解(1)当 x2，即 x20 时，y(x2)(x1)x2x2(x12)294；当 x2，即 x20 时，y(x2)(x1)x2x2(x12)294.yx12294，x2，x12294，x2.这
6、是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)(2)yx2x31 1x3，该函数图象可由函数 y1x向左平移 3 个单位，再向上平移 1 个单位得到，如下图所示题型二 识图与辨图例 2(1)(2013四川)函数 y x33x1的图象大致是()(2)已知 f(x)2x1x0，x00，可排除选项 B；当 x2 时，y1，当 x4 时，y6480，但从选项 D 的函数图象可以看出函数在(0，)上单调递增，两者矛盾，可排除选项 D.故选 C.(2)先在坐标平面内画出函数 yf(x)的图象，再将函数 yf(x)的图象向右平移 1 个单位长度即可得到 yf(x1)的图象，因此 A 正确；作函数
7、yf(x)的图象关于 y 轴的对称图形，即可得到 yf(x)的图象，因此 B 正确；yf(x)的值域是0,2，因此 y|f(x)|的图象与 yf(x)的图象重合，C 正确；yf(|x|)的定义域是1,1，且是一个偶函数，当 0 x1 时，yf(|x|)x，相应这部分图象不是一条线段，因此选项 D 不正确综上所述，选 D.思维升华 函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的
8、图象(1)函数 yxsin x 在，上的图象是()(2)已知定义在区间0,2上的函数 yf(x)的图象如图所示，则 yf(2x)的图象为()答案(1)A(2)B解析(1)容易判断函数 yxsin x 为偶函数，可排除 D.当 0 x0，当 x 时，y0，可排除 B、C，故选 A.(2)方法一 由 yf(x)的图象知，f(x)x0 x1，11x2.当 x0,2时，2x0,2，所以 f(2x)10 x1，2x1x2，故 yf(2x)10 x1，x21x2.图象应为 B.方法二 当 x0 时，f(2x)f(2)1；当 x1 时，f(2x)f(1)1.观察各选项，可知应选 B.题型三 函数图象的应用例
9、 3 已知函数 f(x)|x24x3|.(1)求函数 f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合 Mm|使方程 f(x)m 有四个不相等的实根思维点拨 可利用图象直观得到函数单调性；方程解的个数可转化为函数图象交点个数解 f(x)x221，x，13，x221，x1，3.作出函数图象如图(1)函数的增区间为1,2，3，)；函数的减区间为(，1，2,3(2)在同一坐标系中作出 yf(x)和 ym 的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)由图知 0m1，Mm|0m1思维升华(1)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解数形结合是常用的思想方法(2)利用图象
10、，可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质(1)方程 x2|x|a1 有四个不同的实数解，则 a 的取值范围是_(2)当 0 x12时，4xlogax，则 a 的取值范围是()A(0，22)B(22，1)C(1，2)D(2，2)答案(1)(1，54)(2)B解析(1)方程解的个数可转化为函数 yx2|x|的图象与直线 y1a 交点的个数，如图：易知141a0，1a54.(2)方法一 0 x12，14x1，0a1.令 f(x)4x，g(x)logax，当 x12时，f(12)2.(如图)令 g(12)loga122，即 a 22.又g(x)logax，x0(0,1)，a1，a2(0,
11、1)且 a1a2 时，2100loglogaaxx，要使当 0 x12时，4xlogax 成立，需 22 a1.故选 B.方法二 0 x12，14x1，0a1，排除答案 C，D；取 a12，x12，则有124 2，121log 21，显然 4x1或x1，x11x1.在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示根据图象可知，当 0k1 或 1k4 时有两个交点答案(0,1)(1,4)温馨提醒(1)本题求解利用了数形结合的思想，数形结合的思想包括“以形助数”或“以数辅形”两个方面，本题属于“以形助数”，是指把某些抽象的问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，解释数学问题的本质(2)利用函数
12、图象也可以确定不等式解的情况，解题时可对方程或不等式适当变形，选择合适的函数进行作图方法与技巧1列表描点法是作函数图象的辅助手段，要作函数图象首先要明确函数图象的位置和形状：(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等等；(2)可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等；(3)可通过方程的同解变形，如作函数 y 1x2的图象2合理处理识图题与用图题(1)识图对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系(2)用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系
13、问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况失误与防范1函数图象的每次变换都针对自变量“x”而言，如从 f(2x)的图象到 f(2x1)的图象是向右平移12个单位，其中是把 x 变成 x12.2当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.A 组 专项基础训练(时间：40 分钟)1函数 y5x 与函数 y 15x的图象关于()Ax 轴对称By 轴对称C原点对称D直线 yx 对称答案 C解析 y15x5x，可将函数 y5x 中的 x，y 分别换成x，y 得到，故两者图象关于原
14、点对称2若 loga20，且 a1)，则函数 f(x)loga(x1)的图象大致是()答案 B解析 loga20，0a1，由 f(x)loga(x1)单调性可知 A、D 错误，再由定义域知 B 选项正确3设定义在1,7上的函数 yf(x)的图象如图所示，则关于函数 y 1fx的单调区间表述正确的是()A在1,1上单调递增B在(0,1上单调递减，在1,3)上单调递增C在5,7上单调递增D在3,5上单调递增答案 B解析 由题图可知，f(0)f(3)f(6)0，所以函数 y 1fx在 x0，x3，x6 时无定义，故排除 A、C、D，选 B.4若当 xR 时，函数 f(x)a|x|始终满足 0|f(x
15、)|1，则函数 yloga|1x|的图象大致为()答案 B解析 函数 f(x)a|x|，由 0|f(x)|1，得 0a0 时，yloga|1x|logax，此时的图象如图所示又 yloga|1x|为偶函数，其图象关于 y 轴对称，故选 B.5(2014山东)已知函数 f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程 f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是()A(0，12)B(12，1)C(1,2)D(2，)答案 B解析 先作出函数 f(x)|x2|1 的图象，如图所示，当直线 g(x)kx 与直线 AB 平行时斜率为 1，当直线 g(x)kx 过 A 点时斜率为12，故 f(x)
16、g(x)有两个不相等的实根时，k 的范围为(12，1)6已知 f(x)(13)x，若 f(x)的图象关于直线 x1 对称的图象对应的函数为 g(x)，则 g(x)的表达式为_答案 g(x)3x2解析 设 g(x)上的任意一点 A(x，y)，则该点关于直线 x1 的对称点 B 为 B(2x，y)，而该点在 f(x)的图象上y(13)2x3x2，即 g(x)3x2.7用 mina，b，c表示 a，b，c 三个数中的最小值设 f(x)min2x，x2,10 x(x0)，则f(x)的最大值为_答案 6解析 f(x)min2x，x2,10 x(x0)的图象如图令 x210 x，得x4.当 x4 时，f(
17、x)取最大值，f(4)6.8已知函数 f(x)2x，x2，x13，x2.若关于 x 的方程 f(x)k 有两个不同的实根，则实数 k的取值范围是_答案(0,1)解析 画出分段函数 f(x)的图象如图所示，结合图象可以看出，若 f(x)k 有两个不同的实根，也即函数 yf(x)的图象与 yk 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0,1)9已知函数 f(x)x1x.(1)画出 f(x)的草图；(2)指出 f(x)的单调区间解(1)f(x)x1x1 1x1，函数 f(x)的图象是由反比例函数 y1x的图象向左平移 1 个单位后，再向上平移 1 个单位得到，图象如图所示(2)由图象可以看出，函数 f(
18、x)有两个单调递增区间：(，1)，(1，)10已知函数 f(x)2x，当 m 取何值时方程|f(x)2|m 有一个解，两个解？解 令 F(x)|f(x)2|2x2|，G(x)m，画出 F(x)的图象如图所示由图象看出，当 m0 或 m2 时，函数 F(x)与 G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；当 0m2 时，函数 F(x)与 G(x)的图象有两个交点，原方程有两个解B 组 专项能力提升(时间：25 分钟)11函数 ye|ln x|x1|的图象大致是()答案 D解析 函数的定义域为(0，)当 0 x1 时，yeln x1x1x1x；当 x1 时，yeln x1xx1x1，故选项 D正确
19、12函数y 11x的图象与函数y2sin x(2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A2B4C6D8答案 D解析 令 1xt，则 x1t.由2x4，知21t4，所以3t3.又 y2sin x2sin(1t)2sin t.在同一坐标系下作出 y1t和 y2sin t 的图象由图可知两函数图象在3,3上共有 8 个交点，且这 8 个交点两两关于原点对称因此这 8 个交点的横坐标的和为 0，即 t1t2t80.也就是 1x11x21x80，因此 x1x2x88.13(2014天津)已知函数 f(x)|x23x|，xR.若方程 f(x)a|x1|0 恰有 4 个互异的实数根，则实数 a 的取值范围
20、为_答案(0,1)(9，)解析 设 y1f(x)|x23x|，y2a|x1|，在同一直角坐标系中作出 y1|x23x|，y2a|x1|的图象如图所示由图可知 f(x)a|x1|0 有 4 个互异的实数根等价于 y1|x23x|与 y2a|x1|的图象有 4 个不同的交点，所以，yx23x，ya1x(3x0，即 a210a90，又x1x2a30，0a1)有两组不同解消去 y 得 x2(3a)xa0 有两不等实根 x3、x4，a210a90，又x3x4a32，a9.综上可知，0a9.14设函数 yf(x1)是定义在(，0)(0，)上的偶函数，在区间(，0)是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(
21、x1)f(x)0 的解集为_答案(，0(1,2解析 yf(x1)向右平移 1 个单位得到 yf(x)的图象，由已知可得 f(x)的图象的对称轴为 x1，过定点(2,0)，且函数在(，1)上递减，在(1，)上递增，则 f(x)的大致图象如图所示不等式(x1)f(x)0 可化为x1，fx0 或x1，fx0.由图可知符合条件的解集为(，0(1,215已知函数 f(x)x|mx|(xR)，且 f(4)0.(1)求实数 m 的值；(2)作出函数 f(x)的图象；(3)根据图象指出 f(x)的单调递减区间；(4)若方程 f(x)a 只有一个实数根，求 a 的取值范围解(1)f(4)0，4|m4|0，即 m4.(2)f(x)x|x4|xx4x224，x4，xx4x224，x4 或 a0 时，f(x)的图象与直线 ya 只有一个交点，方程 f(x)a 只有一个实数根，即 a 的取值范围是(，0)(4，)
