1、单元质检卷六 数列(B)(时间:60 分钟 满分:76 分)一、选择题:本题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知等比数列an的前 n 项和为 Sn,若 =2,a2=2,则 S3=()A.8B.7C.6D.42.等差数列an中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列an的前 9 项的和 S9 等于()A.66B.99C.144D.2973.(2020 河北衡水中学三模,理 5)有这样一道题目:“戴氏善屠,日益功倍.初日屠五两,今三十日屠讫,向共屠几何?”其意思为:“有一个姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一天的
2、 2 倍,第一天屠了 5 两肉,共屠了 30 天,问一共屠了多少两肉?”在这个问题中,该屠夫前 5 天所屠肉的总两数为()A.35B.75C.155D.3154.(2020 福建福州模拟,理 6)已知数列an为等差数列,若 a1,a6 为函数 f(x)=x2-9x+14 的两个零点,则 a3a4=()A.-14B.9C.14D.205.已知在等比数列an中,an0,=900-2a1a5,a5=9a3,则 a2 019 的个位数字是()A.6B.7C.8D.96.(2020 河北武邑中学三模,5)若数列an的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,a2=2,(Sn+1)(Sn+2+1)=,则 Sn=
3、()A.B.2n-1C.2n-1D.2n-1+1二、填空题:本题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分.7.(2020 北京海淀期中,13)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 a1=9,公差 d=-2.则 Sn 的最大值为 .8.(2020 广东广州一模,文 16)记 Sn 为数列an的前 n 项和,若 2Sn-an=-,则 a3+a4=,数列an+2-an的前 n 项和 Tn=.三、解答题:本题共 3 小题,共 36 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(12 分)(2020 湖南永州二模,理 17)已知 Sn 是公差不为零的等差数列an的前 n 项和,S3=6,a3
4、 是a1 与 a9 的等比中项.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列 bn=(-1)n -(nN+),数列bn的前 2n 项和为 P2n,若|,求正整数 n 的最小值.10.(12 分)(2020 山东淄博 4 月模拟,18)已知数列an满足 a1=1,an+1=4an+3n-1,bn=an+n.(1)证明:数列bn为等比数列;(2)求数列an的前 n 项和.11.(12 分)(2020 江西名校大联考,理 18)已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n2+n,数列bn满足an=+.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)若 cn=-n,求数列 的前 n 项和 Tn.参考答案 单元
5、质检卷六 数列(B)1.A 因为等比数列an的前 n 项和为 Sn,且 =2,a2=2,则 =2,则 S3=8.故选 A.2.B 由等差数列的性质得 a1+a7=2a4,a3+a9=2a6,a1+a4+a7=3a4=39,a3+a6+a9=3a6=27,a4=13,a6=9,a4+a6=22,数列an前 9 项的和 S9=99.3.C 由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列,记首项为 a1,公比为 q,前 n 项和为 Sn,所以a1=5,q=2,因此前 5 天所屠肉的总两数为 -=155.故选 C.4.D 因为方程 x2-9x+14=0 的两个实数根为 2,7.所以 a1=2,a6=7 或 a1
6、=7,a6=2,当 a1=2,a6=7时,d=-=1,则 a3=4,a4=5,所以 a3a4=20.当 a1=7,a6=2 时,d=-=-1,则 a3=5,a4=4,所以 a3a4=20.故选 D.5.D 设等比数列an的公比 q,首项为 a1,由 =900-2a1a5,得 +2a2a4=900,解得a2+a4=30,即 a1q+a1q3=30,由 a5=9a3,得 q=3,所以 a1=1,所以 an=3n-1,所以a1=30=1,a2=31=3,a3=32=9,a4=33=27,a5=34=81,a6=35=243,所以 an 的个位数是以 4 为周期重复出现的.所以 a2019 的个位数字
7、是 a3 的个位数字 9,故选 D.6.C(Sn+1)(Sn+2+1)=(Sn+1+1)2,令 bn=Sn+1,bnbn+2=,bn为等比数列,设其公比为 q,b1=S1+1=a1+1=2,b2=S2+1=a1+a2+1=4,q=2,bn=b1qn-1=22n-1=2n,Sn=bn-1=2n-1.故选 C.7.25 等差数列an的前 n 项和为 Sn,a1=9,公差 d=-2,Sn=9n+-(-2)=-n2+10n=-(n-5)2+25,n=5 时,Sn 取最大值且最大值为 25.8.-2Sn-an=-,2Sn+1-an+1=,两式相减,得 an+1+an=-,a3+a4=-=-;an+1+a
8、n=-,an+2+an+1=-,两式相减,得 an+2-an=-,an+2-an是以 为首项,为公比的等比数列,Tn=-9.解(1)设等差数列an的公差为 d,由 a3是 a1与 a9的等比中项,可得 a1a9=,即 a1(a1+8d)=,解得 a1=d.又因为 S3=3a1+3d=6,所以 a1=d=1,所以数列an是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,所以 an=n.(2)由(1)可得 bn=(-1)n -=(-1)n -,所以 P2n=-1-+-=-1+因为|P2n+1|=,所以 n ,所以正整数 n 的最小值为 505.10.(1)证明bn=an+n,bn+1=an+1+n+1.又
9、an+1=4an+3n-1,-=4.又 b1=a1+1=1+1=2,数列bn是首项为 2,公比为 4 的等比数列.(2)解由(1)知,bn=24n-1,an=bn-n=24n-1-n,Sn=a1+a2+an=2(1+4+42+4n-1)-(1+2+3+n)=-(4n-1)-n2-n.11.解(1)因为 Sn=n2+n,所以当 n=1 时,a1=S1=2,当 n2 时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,又 a1=2也满足上式,所以 an=2n(nN*).因为 +=an=2n,所以 +-=2n-2(n2,nN*),两式作差,得 =2,所以 bn=2n+1+2(n2,nN*),当 n=1 时,=2,所以 b1=6.又 b1=6 满足上式,所以 bn=2n+1+2(nN*).(2)因为 cn=-n=n2n,所以 Tn=12+222+323+n2n,2Tn=122+223+(n-1)2n+n2n+1,两式相减,得-Tn=2+22+23+2n-n2n+1,即-Tn=2n+1-2-n2n+1,所以 Tn=(n-1)2n+1+2.
