1、柳州市二中2016级高二下学期段考试题数学（理科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）A B C D2若复数（是虚数单位，），在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）A B C D3已知向量满足，则（ ）A B C D4已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的表面积为（ ）A B C D5执行如图所示程序框图，若输入的，则输出的的取值范围为（ ）A B C D6我国古代数学著作九章算术由如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤斩末一尺，重
2、二斤问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为，现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则（ ）A6 B5 C4 D77函数的图象可以由函数的图象经过（ ）A向右平移个单位长度得到 B向右平移个单位长度得到C向左平移个单位长度得到 D向左平移个单位长度得到8已知抛物线的焦点为，点，射线与交于点，与抛物线的准线交于点，若，则（为坐标原点）的面积是（ ）A B C D9的展开式中的系数为（ ）A-80 B-40 C40 D8010已知在中
3、，一只小蚂蚁从的内切圆的同心处开始随机爬行，当蚂蚁（在三角形内部）与各边距离不低于1个单位时其行动是安全的，则这只小蚂蚁在内任意行动时安全的概率是（ ）A B C D11已知为双曲线右支上一点，分别为双曲线左顶点和右焦点，若，则双曲线的离心率为（ ）A2 B3 C4 D612若对任意，总存在唯一使得成立，则实数的取值范围是（ ）A B C D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知，则 14已知实数满足约束条件则的最大值为 15已知等差数列的前项和，若，（且），则 16已知正三棱锥的体积为，每个顶点都在半径为的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为线段的中点
4、，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是 三、解答题 （本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 如图，在中，为边上的点，为上的点，且，（l）求的长；（2）若，求的值18 “节约用水”自古以来就是中华民族的优良传统某市统计局调查了该市众多家庭的用水量情况，绘制了月用水量的频率分布直方图，如下图所示将月用水量落入各组的频率视为概率，并假设每天的用水量相互独立（l）求在未来连续3个月里，有连续2个月的月用水量都不低于12吨且另1个月的月用水量低于4吨的概率；（2）用表示在未来3个月里月用水量不低于12吨的月数，求随杌变量的分布列及数学期望19 已知在三棱锥中，底面
5、,，是的中点，是线段上的一点，且，连接.（l）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值20 如图，椭圆经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为（l）求椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且直线与交于点为坐标原点，求证：三点共线21 已知函数在点处的切线为.（l）求函数的解析式；（2）若，且存在，使得成立，求的最小值请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）以原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点的极坐标是（l）求直线的普通方程，（2）求直
6、线上的点到点距离最小时的点的直角坐标23选修4-5：不等式选讲已知函数.（l）若，解不等式；（2）若，求函数在区间上的最大值和最小值柳州市二中2016级高二下学期段考试题数学（理科）参考答案、提示及评分细则一、选择题1-5:ACDAC 6-10:ABCDA 11、12：CB二、填空题13 14 155 16三、解答题17解：（1）由题意可得，在中，由余弦定理得，所以，整理得，解得，（舍去）.故的长为.（2）在中，由正弦定理得，即.所以.所以.因为点在边上，所以.而，所以只能为钝角，所以.所以.18解：（1）设表示事件“月用水量不低于12吨”，表示事件“月用水量低于4吨”，表示事件“在未来连续3
7、个月里，有连续2个月的月用水量都不低于12吨且另1个月的月用水量低于4吨”.因此，.因为每天的用水量相互独立，所以.（2）可能取的值为0,1,2,3，相应的概率分别为,.故的分布列为故的数学期望为.19（1）证明：因为，所以.又，所以在中，由勾股定理，得.因为，所以是的斜边上的中线.所以是的中点.又因为是的中点,所以直线是的中位线，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）解：以为原点，直线分别为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系：因为，且分别是的中点，所以，.所以点，.所以，.设平面的法向量为，则由得得所以令，得平面的一个法向量为；设直线与平面所成角的大小为，则.又，所以根据同角三角函数的基本
8、关系，得.所以.故直线与平面所成角的正切值为.20解：（1）因为点到椭圆的两焦点的距离之和为，所以，解得.又椭圆经过点，所以.所以.所以椭圆的标准方程为.证明：（2）因为线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为-2.所以可设直线的方程为.据得.设点，.所以，.所以，.因为，所以.所以点在直线上.又点，也在直线上，所以三点共线.21解：（1）的定义域为，.函数在点处的切线为，解得.（2）由，得，令，使得，则.，.令，则，在上为增函数.又，故存在唯一的使得，即.当时，在上为减函数；当时，在上为增函数.，.，.，的最小值为5.22解：（1）直线的普通方程为.（2）点的直角坐标是.过点作直线的垂线，垂足为，则点即为所要求的直线上到点距离最小的点.直线的方程是，即.据解得所以直线上到点距离最小的点的直角坐标是.23解：（1）若，则为.所以，所以或，所以或.故不等式的解集是.（2）当时，讨论：当即时，；当时，；当且时，.
