1、第一节 两个基本计数原理 基础梳理1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，,在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法.2.分步计数原理(乘法原理)完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N=种不同的方法.12.nmmm12.nmmm典例分析题型一 分类计数原理和分步计数原理的简单应用【例1】甲同学有若干本课外参考书，其中有5本不同的数学书，4本不同的物理书，3本不同的化学书.现在乙同学向甲同学借
2、书,试问：（1）若借一本书，则有多少种不同的借法？（2）若每科各借一本，则有多少种不同的借法？（3）若借两本不同学科的书，则有多少种不同的借法？分析 仔细区分是“分类”还是“分步”.解（1）因为需完成的事情是“借一本书”，所以借给他数学、物理、化学书中的任何一本，都可以完成这件事情.故用分类计数原理，共有5+4+3=12（种）不同的借法.（2）需完成的事情是“每科各借一本书”，意味着要借给乙三本书，只有从数学、物理、化学三科中各借一本，才能完成这件事情.故用分步计数原理，共有543=60（种）不同的借法.（3）需完成的事情是“从三种学科的书中借两本不同学科的书”，要分三种情况：借一本数学书和一
3、本物理书，只有两本书都借，事情才能完成，由分步计数原理知，有54=20（种）借法；借一本数学书和一本化学书，同理，由分步计数原理知，有53=15（种）借法；借一本物理书和一本化学书，同理，由分步计数原理知，有43=12（种)借法.而上述的每一种借法都可以独立完成这件事情，由分类计数原理知，共有20+15+12=47（种）不同的借法.学后反思正确区分和使用两个原理是学好本单元的关键.区分“分类”与“分步”的依据在于能否“一次性”完成.若能“一次性”完成，则不需“分步”，只需分类；否则就分步处理.举一反三 1.（2009通州调研）若5名运动员争取3个项目冠军，则不同的获奖结果有种.答案：125 解
4、析：从得冠军角度考虑，分三步，每个项目得冠军的结果有5种，共 种.35题型二 两个计数原理的综合应用【例2】(14分)现有高一四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选两人作中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？分析 （1）是从四个班的34人中选一人，应分类求解;（2）是从各班中选一人，共选4人，应分步求解；（3）是先根据不同班级分类，再分步从两个班级中各选1人.解 （1）分四类，第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二
5、班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法，所以，共有不同的选法N=7+8+9+10=34(种).4(2)分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法 N=78910=5 040(种)8（3）分六类，每类又分两步，从一班、二班学生中各选1人，有78种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有79种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有710种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有89种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有810种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有910种不同的
6、选法.12 所以共有不同的选法N=78+79+710+89+810+910=431(种).14 学后反思 对于复杂问题，不能只用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决时，可以综合应用两个原理，可以先分类，在某一类中再分步，也可先分步，在某一步中再分类.举一反三 2.某通信公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000”到“9999”共10 000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为.答案：5904 解析：10 000个号码中不含4、7的有 =4096，故这组号码中“优惠卡”的个数为10 000-4 096=5 9
7、04.48【例3】（2009辽宁模拟改编）一生产过程有四道工序，每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有 .分析 首先根据第一道工序将问题分为两类，对两类分别求解，再由分类计数原理求解.解 依题意知,若第一道工序由甲来完成，则第四道工序必由丙来完成，故完成方案共有43=12(种)；若第一道工序由乙来完成，则第四道工序必由甲、丙二人之一来完成，故完成方案共有1243=24(种).所以不同的安排方案共有12+24=36(种).学后反思 有些较复杂的问题，既要“分
8、类”又要“分步”，应明确按什么标准“分类”、“分步”.不同的标准，可以有不同的解法，解题时应择优而行.举一反三 3.（2008重庆）某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种.（用数字作答）1A1B1C答案：216 解析：处4种，处3种，处2种，则底面共432=24（种）.根据A点和 点两处灯泡的颜色相同或不相同分为两类:(1)A,颜色相同，则B处有3种，C处有1种，则共有31=3种;(2)A,颜色不同，则A处有2种,B处和C处共有3种，则共有32=6（种）.由分类计
9、数原理得上底面共9种，再由分步计数原理得共有249=216（种）.1A1B1C1B1B1B易错警示【例1】一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第1种方法完成，另有4人会用第2种方法完成.从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是.错解 2 错解分析 由于每个人都是不同的个体，所以该题中不同的选法中实际是选人，而不是选方法来完成这项工作.正解 9【例2】在一次运动会上有4项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有种.错解分析 错解是没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式.错解 把4个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，故有 =24(种).34A正解 4项比赛的冠军依次在甲、乙、丙
10、三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有3333=81（种）.43说明：本题还有这样的错解，甲、乙、丙夺冠均有4种情况，由乘法原理得 .这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有4种夺冠可能.34考点演练10.一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡.（1）某人要从两个袋子中任取一张自己用的手机卡，共有多少种不同的取法？（2）某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡，供自己今后选择使用，共有多少种不同的取法？解析：（1）任取一张手机卡，可以从10张不同的中国移动卡中任取一张，或从12张不同的中国联通卡中任取一张，每一类办法
11、都能完成这件事,故应用分类计数原理，有10+12=22（种）取法.（2）从移动、联通卡中各取一张，则要分两步完成：从移动卡中任取一张，再从联通卡中任取一张，故应用分步计数原理,有1012=120(种)取法.11.用5种不同的颜色给图中的4个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？解析：第一类：1号区域与3号区域同色时，有541480(种)涂法；第二类：1号区域与3号区域异色时，有5433180(种)涂法.依据分类计数原理知不同的涂色方法有80180260(种)不同的涂色方法.132412.(2009辽宁模拟)给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有多少种？解析：如图，染五条边总体分五步，染每一边为一步.当染边1时有3种染法，则2有2种染法.（1）当3与1同色时有1种染法，则4有2种，5有1种，此时染法总数为32121=12(种)；（2）当3与1不同色时，3有1种，当4与1同色时，4有1种，5有2种；当4与1不同色时，4有1种，5有1种，则此时有321(12+11)=18（种）.综合(1)、(2)可得染法的种数为30种.
