1、第九篇平面解析几何(必修2、选修21)第1节直线与方程 【选题明细表】知识点、方法题号直线的倾斜角和斜率1,4,12直线的方程8,10,14直线的位置关系2,3,13直线的交点和距离问题9直线方程的综合应用5,6,7,11,15,16基础对点练(时间:30分钟)1.直线l:xsin 30+ycos 150+1=0的斜率是(A)(A)(B)(C)-(D)-解析:设直线l的斜率为k,则k=-=.2.直线x+a2y+6=0和(a-2)x+3ay+2a=0无公共点,则a的值为(C)(A)3或-1(B)0或3(C)0或-1(D)-1或0或3解析:两直线无公共点,即两直线平行,所以解得a=0或a=-1.故
2、选C.3.(2015新泰模拟)已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0.若l1l2,则实数a的值是(C)(A)0 (B)2或-1 (C)0或-3 (D)-3解析:因为l1l2,所以a+a(a+2)=0,则a=0或a=-3,故选C.4.(2016枣庄模拟)将直线l沿y轴的负方向平移a(a0)个单位,再沿x轴正方向平移a+1个单位得直线l,此时直线l与l重合,则直线l的斜率为(B)(A)(B)-(C)(D)-解析:设直线l:y=kx+b,l沿y轴负方向平移a个单位得l1:y=kx+b-a,再沿x轴正方向平移a+1个单位得l:y=k(x-a-1)+b-a,即y=kx+b-ka
3、-k-a,由l与l重合得-a-ka-k=0,k=-.5.若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2经过定点(B)(A)(0,4) (B)(0,2) (C)(-2,4)(D)(4,-2)解析:直线l1:y=k(x-4)经过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又直线l1与直线l2关于点(2,1)对称,故直线l2经过定点(0,2).故选B.6.不论m为何值时,直线l:(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过定点(D)(A) (1,- )(B)(-2,0)(C)(2,3)(D)(9,-4)解析:直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5,化为(mx+2my
4、-m)+(-x-y+5)=0,即直线l过x+2y-1=0与-x-y+5=0的交点,解方程组得7.(2015合肥一模)已知直线l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线l2与l1关于l对称,则l2的方程是(B)(A)x-2y+1=0(B)x-2y-1=0(C)x+y-1=0(D)x+2y-1=0解析:因为l1与l2关于l对称,所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上,故l与l1的交点(1,0)在l2上.又易知(0,-2)为l1上一点,设它关于l的对称点为(x,y),则解得即(1,0),(-1,-1)为l2上两点,可得l2的方程为x-2y-1=0.8.经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的
5、截距都是正值,且截距之和最小,则直线的方程为(B)(A)x+2y-6=0(B)2x+y-6=0(C)x-2y+7=0(D)x-2y-7=0解析:直线过P(1,4),代入后舍去选项A,D;又在两坐标轴上的截距均为正值,舍去选项C.故选B.9.已知平面内两点A(1,2),B(3,1)到直线l的距离分别是,-,则满足条件的直线l的条数为(C)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:由题知满足题意的直线l在线段AB两侧各有1条;又因为|AB|=,所以还有1条为过线段AB上的一点且与AB垂直的直线,故共3条.故选C.10.(2016哈尔滨模拟)经过点(-2,2),且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l
6、的方程为.解析:设所求直线方程为+=1,由已知得解得或所以2x+y+2=0或x+2y-2=0为所求.答案:2x+y+2=0或x+2y-2=011.已知两直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.(1)l1l2,且直线l1过点(-3,-1);(2)l1l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.解:(1)因为l1l2,所以a(a-1)-b=0.又因为直线l1过点(-3,-1),所以-3a+b+4=0.故a=2,b=2.(2)因为直线l2的斜率存在,l1l2,所以直线l1的斜率存在,k1=k2,即=1-a.又因为坐标原点到这两条直线的距离相等,所以l1、
7、l2在y轴上的截距互为相反数,即=b.故a=2,b=-2或a=,b=2.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016哈尔滨模拟)函数y=asin x-bcos x的一条对称轴为x=,则直线l:ax-by+c=0的倾斜角为(D) (A)45(B)60(C)120(D)135解析:由函数y=f(x)=asin x-bcos x的一条对称轴为x=知,f(0)=f(),即-b=a,所以直线l的斜率为-1,所以倾斜角为135.13.若m0,n0,点(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点在直线x-y+2=0上,那么+的最小值等于.解析:设点(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点为(x0,y0),则
8、有解得x0=1-n,y0=1+m,又点(x0,y0)在直线x-y+2=0上,所以1-n-1-m+2=0,所以m+n=2,所以+=(+) (m+n)=+.答案:14.(2015淮安一调)已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为.解析:设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M(a,b),则反射光线所在直线过点M,解得a=1,b=0.又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为=,即6x-y-6=0.答案:6x-y-6=015.已知直线l过点M(1,1),且与x轴,y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O
9、为坐标原点,求:(1)当|OA|+|OB|取得最小值时,直线l的方程;(2)当|MA|2+|MB|2取得最小值时,直线l的方程.解:(1)设A(a,0),B(0,b)(a0,b0).则直线l的方程为+=1,则+=1,所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b) (+)=2+2+2=4,当且仅当“a=b=2”时取等号,此时直线l的方程为x+y-2=0.(2)设直线l的斜率为k,则k-1,直线l与x,y轴分别交于M,N两点,O为坐标原点,求OMN面积取最小值时,直线l的方程.解:(1)当直线l经过坐标原点时,设直线在两坐标轴上的截距都为0,此时a+2=0,解得a=-2,此时直线l的方程为-x+y=0
10、,即x-y=0;当直线l不经过坐标原点,即a-2且a-1时,由直线在两坐标轴上的截距相等可得=2+a,解得a=0,此时直线l的方程为x+y-2=0.所以直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0.(2)由直线方程可得M(,0),N(0,2+a),因为a-1,所以SOMN=(2+a)=(a+1)+22+2=2,当且仅当a+1=,即a=0时等号成立,此时直线l的方程为x+y-2=0.精彩5分钟1.(2014高考四川卷)设mR,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|PB|的最大值是.解题关键:两直线过定点,且两直线互相垂直.解析:易求定点A(0
11、,0),B(1,3).当P与A和B均不重合时,不难验证PAPB,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,所以|PA|PB|=5(当且仅当|PA|=|PB|=时,等号成立),当P与A或B重合时,|PA|PB|=0,故|PA|PB|的最大值是5.答案:52.(2015黄山一模)已知点A在直线x+2y-1=0上,点B在直线x+2y+3=0上,线段AB的中点为P(x0,y0),且满足y0x0+2,则的取值范围为.解题关键:利用点到直线的距离,确定x0,y0的关系,求的范围转化为关于x0的函数,求其范围.解析:因为直线x+2y-1=0与直线x+2y+3=0平行,所以=,可得x0+2y0+1=0,因为y0x0+2,所以-(1+x0)x0+2,解得x0-.设=k,所以k=-,因为x0-,所以0-,所以-.答案:(-,-)
