1、第7章核心考点精准研析考点一等差、等比数列简单的实际应用1.有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要()A.6秒钟B.7秒钟C.8秒钟D.9秒钟2.我国古代数学著作九章算术中有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤.斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根5尺长的金杖,一头粗,一头细.在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤.问依次每一尺各重多少斤?”根据上面的已知条件,若金杖由粗到细是均匀变化的,问中间3尺的重量为()A.6斤B.9斤C.9.5斤D.1
2、2斤3.一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为,公差为,则这个多边形的边数为_.4.为了观看2022年的冬奥会,小明打算从2018年起,每年的1月1日到银行存入a元的一年期定期储蓄,若年利率为p,且保持不变,并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.2019年1月1日小明去银行继续存款a元后,他的账户中一共有_元;到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出,则可取回_元.世纪金榜导学号【解析】1.选B.设需要n秒钟,则1+21+22+2n-1100,所以100,所以n7.2.选B.依题意,金杖由粗到细各尺的重量构成一个等差数列,记为an,则a1=4,a5=2,由等
3、差数列的性质得a2+a4=a1+a5=2a3=6,所以a3=3,所以中间3尺的重量为a2+a3+a4=3a3=9(斤).3.由于凸n边形的内角和为(n-2),故n+=(n-2).化简得n2-25n+144=0.解得n=9或n=16(舍去).答案:94.依题意,2019年1月1日存款a元后,账户中一共有a(1+p)+a=(ap+2a)(元).2022年1月1日可取出钱的总数为a(1+p)4+a(1+p)3+a(1+p)2+a(1+p)=a=(1+p)5-(1+p)=(1+p)5-1-p.答案:(ap+2a)(1+p)5-1-p1.解答数列应用题的步骤(1)审题仔细阅读材料,认真理解题意.(2)建
4、模将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题,弄清该数列的结构和特征.(3)求解求出该问题的数学解.(4)还原将所求结果还原到原实际问题中.2.具体解题步骤用框图表示如下考点二数列的实际应用【典例】某商店投入81万元经销某种纪念品,经销时间共60天,市场调研表明,该商店在经销这一产品期间第n天的利润an=(单位:万元,nN*).为了获得更多的利润,商店将每天获得的利润投入到次日的经营中,记第n天的利润率bn=.例如,b3=.(1)求b1,b2的值.(2)求第n天的利润率bn.【解题导思】序号题目拆解(1)an= an 以分段函数给出,注意变量范围bn=,求b1,b2的值结合例子
5、b3=,求b1,b2(2)求第n天的利润率bn结合an=,bn=求解,注意bn为分段函数形式【解析】(1)当n=1时,b1=;当n=2时,b2=.(2)当1n20时,a1=a2=a3=an-1=an=1,所以bn=.当21n60时,bn=.所以第n天的利润率bn=1.若典例中条件不变,求该商店在经销此纪念品期间,哪一天的利润率最大?并求该日的利润率.【解析】当1n20时,bn=递减,此时bn的最大值为b1=;当21n60时,bn=当且仅当n=,即n=40时,“=”成立.又因为,所以当n=40时,(bn)max=.所以该商店在经销此纪念品期间,第40天的利润率最大,且该日的利润率为.2.若典例中
6、条件不变,60天的利润总和是多少?【解析】当1n20时,a1=a2=a3=an-1=an=1,当21n60时,an=,所以an的前20项是常数列,后40项是以为首项,以为公差的等差数列,所以S60=20+40+=182(万元).所以60天的利润总和是182万元.解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型:理解题意,看是哪类数列模型,一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型.基本特征如表:数列模型基 本 特 征等差数列均匀增加或者减少等比数列指数增长或减少,常见的是增长率问题、存款复利问题简单递推数列指数增长的同时又均匀减少.如年收入增长率为20%,每年年底要拿出a(常数)作为下年度
7、的开销,即数列an满足an+1=1.2an-a(2)准确解决模型:解模就是根据数列的知识,求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等,在解模时要注意运算准确.(3)给出问题的回答:实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案,在解题中不要忽视了这点.为了加强新旧动能转化,某市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车,每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,替换车为电力型和混合动力型车.今年年初投入了电力型公交车128辆,混合动力型公交车400辆;计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%,混合动力型车每年比上一年多投入a辆.(1)求经过n年,该市被更换的公交车总数S(n).(2)
8、若该市计划7年内完成全部更换,求a的最小值.【解析】(1)设an,bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量.依题意,得an是首项为128,公比为1+50%=的等比数列,bn是首项为400,公差为a的等差数列.所以an的前n项和 Sn=256,bn的前n项和Tn=400n+a.所以经过n年,该市被更换的公交车总数为S(n)=Sn+Tn=256+400n+a.(2)若计划7年内完成全部更换,则S(7)10 000,所以256+4007+a10 000,即21a3 082,所以a146.又aN*,所以a的最小值为147.考点三数学文化与数列命题精解读考什么:考查数列的递推关系,等差
9、、等比数列的通项公式或前n 项和怎么考:以古今数学文化为载体的数列问题新趋势:从中国古代数学名著,如九章算术算法统宗律学新说等世界数学名著中挖掘素材,也可从古代诗歌、传说中进行提炼学霸好方法解决数列应用问题,要明确问题属于哪一种类型,即明确是等差数列问题还是等比数列问题,是求an还是Sn,特别是要弄清项数.等差数列模型【典例】九章算术是我国古代的数学名著,书中均输章有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何.”其意思为:已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?(“钱”是古代的一
10、种重量单位)在这个问题中,丙所得为世纪金榜导学号()A.钱B.钱C.钱D.1钱【解析】选D.因甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列,设每人所得依次为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,则a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5,解得a=1,即丙所得为1钱.等比数列模型【典例】我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯世纪金榜导学号()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏【解析】选B.设塔的顶层共有灯x盏,则各层的灯数构成一个首项为
11、x,公比为2的等比数列,结合等比数列的求和公式有=381,解得x=3,即塔的顶层共有灯3盏.如何建立该题的数学模型?提示:建立等比数列模型,设顶层灯盏数x为数列首项,数列的公比q=2,7层塔的总灯数为等比数列的前7项和.【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题,关键是列出相关信息,合理建立数学模型数列模型,判断是等差数列还是等比数列模型;求解时要明确目标,即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题,所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题还是最值问题,然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中,进行检验,最终得出结论.递推关系模型【典例】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有
12、这样的数列:1,1,2,3,5,8,该数列的特点是:从第3个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列an称为“斐波那契数列”,则是斐波那契数列中的第_项.世纪金榜导学号【解析】(方法一:分析分子和式的通项,求和化简)依题意得a1=a2=1,an+2=an+1+an,an+1an+2=+anan+1,所以=an+1an+2-anan+1,则=a2 019a2 020-a2 018a2 019,=a2 018a2 019-a2 017a2 018,=a2 017a2 018-a2 016a2 017,=a2a3-a1a2,又=a1a2,因此+=a2 020a2 019,
13、即=a2 020,故是斐波那契数列中的第2 020项.(方法二:归纳法)=2=a3,=3=a4,=5=a5,猜测=an+1.由此可知,=a2 020.答案:2 0201.莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一,书中有一道这样的题目:把100个面包分给5个人,使每个人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,问最小的一份为()A.B.C.D.【解析】选A.由100个面包分给5个人,每个人所得成等差数列,可知中间一人得20块面包,设较大的两份为20+d,20+2d,较小的两份为20-d,20-2d,由已知条件可得(20+20+d+20+2d)=20-d+20-2d,解得d=,所以最小
14、的一份为20-2d=20-2=.2.中国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了()A.192里B.96里C.48里D.24里【思路分析】读懂题意,将古代实际问题转化为现代数学问题,本题相当于:已知等比数列an中,公比q=,前6项和S6=378,求a2.【解析】选B.依题意,每天走的路程构成等比数列an,且n=6,公比q=,S6=378,设等比数列an的首项为a1,依题意有=3
15、78,解得a1=192.所以a2=192=96.即第二天走了96里.宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著四元玉鉴卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束,欲令落一形埵(同垛)之.问底子(每层三角形茭草束数,等价于层数)几何?”中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上1束,下一层3束,再下一层6束,成三角锥的堆垛,故也称三角垛,如图,表示第二层开始的每层茭草束数),则本问题中三角垛底层茭草总束数为_.【思路分析】阅读理解,将其转化为数列问题.本题实质是一个数列求和问题,为此要分析通项的特点,根据通项特点选择求和方法.【解析】设自上而下每一层茭草束数构造的数列为an,则a1=1
16、,a2=1+2,a3=1+2+3,所以an=1+2+n=(n2+n),所以Sn=1+3+6+(n2+n)=(12+22+n2)+(1+2+n)=n(n+1)(2n+1)+n(n+1)=n(n+1)(n+2).由条件n(n+1)(n+2)=680,即有n(n+1)(n+2)=151617=6806,所以n=15,所以a15=120.即三角垛底层茭草总束数为120.答案:120【数学经典简介】1.九章算术:九章算术大约成书于公元1世纪,是中国古代第一部数学著作.九章算术共收有246个与生产实践有联系的应用题,包括问、答和术三部分,并配有插图,分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾
17、股九章.九章算术是世界上最早系统叙述了分数运算的著作,其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造,“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则.2.算法统宗:算法统宗是由明代数学家程大位(公元1533公元1606年)经过数十年的努力,于公元1592年60岁时写成的数学巨著.算法统宗是一部应用数学书,以珠算为主要的计算工具,共17卷,有595个应用题.3.四元玉鉴:四元玉鉴成书于1303年由我国元代数学家朱世杰所著.全书共3卷,24门,288问,主要论述高次方程组的解法、高阶等差级数求和以及高次内插法等内容.注:中华文明源远流长,发展进程波澜壮阔,中国古代为世界数学做出了杰出的贡献.为了弘扬中华优秀传统文化,特在数学经典简介这一栏目中,简单介绍一些数学名著或数学家.
