1、第四章4.34.3.1考点对应题号基础训练能力提升1.直线与平面垂直的判定1,2,5,6102.直线与平面所成的角4,7,912,133.由垂直关系求相关距离3,811一、选择题1下列表述正确的个数为()若直线a平面，直线ab，则b；若直线a平面，b，且ab，则a；若直线a垂直于平面内的两条直线，则a.A0B1C2D3A解析中b与还可能平行、斜交或b在平面内；中a与还可能平行或斜交；中a还可能在平面内2若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面()A有且只有一个B可能有一个，也可能不存在C有无数多个D一定不存在B解析当a与b垂直时，过a且与b垂直的平面有且只有1个；当a与b不垂直时，过a且与b
2、垂直的平面不存在3在ABC中，ABAC5，BC6，PA平面ABC，PA8，则P到BC的距离是()AB2 C3D4D解析如图所示，作PDBC于点D，连接AD因为PA平面ABC，所以PACB所以CB平面PAD，所以ADBC在ACD中，AC5，CD3，则AD4，在RtPAD中，PA8，AD4，所以PD4.4直线a与平面所成的角为50，直线ba，则直线b与平面所成的角等于()A40B50 C90D130B解析根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与所成的角也是50.5如图，PA平面ABC，ACB90，EFPA，则图中直角三角形的个数是()A3B4C5D6D解析因为ACB90，所以ACB是直角三角
3、形由PA平面ABC，得PAAB，PAAC，所以PAB，PAC是直角三角形，PABC又BCAC，ACPAA，所以BC平面PAC，所以BCPC，所以PCB是直角三角形因为EFPA，PA平面ABC，所以EF平面ABC，所以EFBE，EFEC，所以BEF，FEC是直角三角形所以PAB，PAC，ACB，PCB，FEC，BEF均为直角三角形，共6个6如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC则下列结论不正确的是()ACD平面PAFBDF平面PAFCCF平面PABDCF平面PADD解析由题意可得CFAB，利用线面平行的判定定理可得CF平面PAB，则C项正确；同理可得CD平面PAF，则A项
4、正确；在正六边形ABCDEF中，易得DFAF，因为PA平面ABC，所以PADF，由线面垂直的判定定理可得DF平面PAF，则B项正确故选D项二、填空题7如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是_.解析如图，连接MD1，则MD1DN.又A1D1DN，易知DN平面A1MD1，所以A1M与DN所成角的大小是90.答案908已知三棱锥SABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，ACr，则球的体积与三棱锥体积的比值是_.解析如图，由球心O在AB上知ABC为直角三角形，且ACBC，又ACr，AB2r，所以BC
5、r.因为V球r3，V三棱锥SOSABCACBCSOr3，所以.答案9如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PAAB，则直线PB与平面ABC所成的角的大小为_.解析因为PA平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以PBA为直线PB与平面ABC所成的角在PAB中，BAP90，PAAB，所以PBA45，即直线PB与平面ABC所成的角的大小为45.答案45三、解答题10如图，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M，N分别是AB，PC的中点(1)求证：MNCD；(2)若PDA45，求证：MN平面PCD证明(1)如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE.因为N为PC的中点，E为P
6、D的中点，所以NECD且NECD，而AMCD且AMABCD，所以NEAM且NEAM，所以四边形AMNE为平行四边形，所以MNAE.又PA平面ABCD，所以PACD，又因为ABCD为矩形，所以ADCD，而ADPAA，所以CD平面PAD，所以CDAE，又AEMN，所以MNCD(2)由(1)可知CDAE，MNAE.又PDA45，所以PAD为等腰直角三角形又E为PD的中点，所以AEPD，所以AE平面PCD又AEMN，所以MN平面PCD11如图，三棱锥ABCD中，AB平面BCD，CDBD(1)求证：CD平面ABD；(2)若ABBDCD1，M为AD的中点，求三棱锥AMBC的体积解析(1)证明：因为AB平面
7、BCD，CD平面BCD，所以ABCD又因为CDBD，ABBDB，AB平面ABD，BD平面ABD，所以CD平面ABD(2)由AB平面BCD，得ABBD，因为ABBD1，所以SABD.因为M是AD的中点，所以SABMSABD.由(1)知，CD平面ABD，所以三棱锥CABM的高hCD1，因此三棱锥AMBC的体积VAMBCVCABMSABMh.12如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，A1A4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点(1)求证：A1D平面A1BC；(2)求直线A1B与平面BB1C1C所成的角的正弦值解析(1)证明：如图，设E为BC的中点，连接A1E
8、，AE.由题意得A1E平面ABC，所以A1EAE.因为ABAC，所以AEBC故AE平面A1BC连接DE，由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DEB1B且DEB1B，从而DEA1A且DEA1A，所以四边形AA1DE为平行四边形于是A1DAE.又AE平面A1BC，所以A1D平面A1BC(2)如图，作A1FDE，垂足为F，连接BF.因为A1E平面ABC，所以BCA1E.因为BCAE，所以BC平面AA1DE，所以BCA1F，又A1FDE，所以A1F平面BB1C1C，所以A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角由ABAC2，CAB90，得EAEB.由A1E平面ABC，得A1AA1B4，A1E.由DEBB14，DA1EA，DA1E90，得A1F.又A1B4，所以sinA1BF.四、选做题13已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为_.解析如图所示，过点A作ADBC于点D，连接SD，作AGSD于点G，连接GB因为SA底面ABC，ABC为等边三角形，所以BCSA，BCAD，而SAADA，所以BC平面SAD又AG平面SAD，所以BCAG.又AGSD，SDBCD，所以AG平面SBC所以ABG即为直线AB与平面SBC所成的角因为AB2，SA3，所以AD，SD2.在RtSAD中，AG. 所以sinABG.答案
