1、第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系考纲解读1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理，并运用它们证明一些空间图形的位置关系的简单命题(重点)2主要考查平面的基本性质，空间两直线的位置关系及线面、面面的位置关系，能正确求出异面直线所成的角(重点、难点)考向预测从近三年高考情况来看，尽管空间点、线、面的位置关系是立体几何的理论基础，但却很少独立命题预测2021年高考会有以下两种命题方式：以命题形式考查空间点、线、面的位置关系；以几何体为载体考查线、面的位置关系或求异面直线所成的角题型为客观题，难度一般不大，属中档题型1.空间两条直线的位置关系(1)位置关系分类位置
2、关系(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：(0，90(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补2.空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交aA1个平行a0个在平面内a无数个平面与平面平行0个相交l无数个3.必记结论(1)唯一性定理过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行过一点有且只有一个平面与已知直线垂直过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行过一点有且只有一条直线与已知平面垂直(2)异面直线的判定定理平面外一
3、点A与平面内一点B的连线与平面内不经过B点的直线互为异面直线1.概念辨析(1)两两相交的三条直线最少可以确定三个平面()(2)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合()(3)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线()(4)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线()答案(1)(2)(3)(4)2.小题热身(1)对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l()A.平行 B相交C.垂直 D互为异面直线答案C解析不论l，l还是l与相交，内都存在直线m使得ml.(2)以下四个命题中，正确命题的个数是()不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点
4、A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面A.0 B1 C2 D3答案B解析显然是正确的，可用反证法证明；中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；构造长方体或正方体，如图显然b，c异面，故不正确；中空间四边形中四条线段不共面故正确的个数为1.(3)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为()A30 B45 C60 D90答案C解析连接B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C即为所求的角又B1D
5、1B1CD1C，B1D1C为等边三角形，D1B1C60.题型 一平面的基本性质如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFBA1.又BA1D1C，EFD1C，E，C，D1，F四点共面(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA，CE，D1F，DA三线共点.1.证明点共面或线共
6、面的常用方法(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内如举例说明(2)(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合.2.证明空间点共线问题的方法(1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.3.证明线共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，求证
7、：A，M，O三点共线证明如图，连接A1C1，AC，则A1C1AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C平面ACC1A1，因为MA1C，所以M平面ACC1A1，又M平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线.题型 二空间两直线的位置关系1.如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)答案解析在图中，直线GHMN；在图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，NGH，因此直线GH与MN异面；在图中，连接GM，GMHN，因
8、此GH与MN共面；在图中，G，M，N共面，但H平面GMN，GMN，因此GH与MN异面所以在图中GH与MN异面.2.在三棱锥SABC中，G1，G2分别是SAB和SAC的重心求证：G1G2BC.证明如图所示，连接SG1并延长交AB于点M，连接SG2并延长交AC于点N，连接MN.由题意知SM为SAB的中线，且SG1SM，SN为SAC的中线，且SG2SN，在SMN中，G1G2MN，易知MN是ABC的中位线，MNBC，因此可得G1G2BC.1.异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面此法在异面直
9、线的判定中经常用到(2)定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线如举例说明1.2.判定平行直线的常用方法(1)三角形中位线的性质(2)平行四边形的对边平行(3)平行线分线段成比例定理(4)公理4.如举例说明2.1.(1)已知a，b，c为三条不重合的直线，有以下结论：若ab，ac，则bc；若ab，ac，则bc；若ab，bc，则ac.其中正确的个数为()A.0 B1 C2 D3答案B解析解法一：在空间中，若ab，ac，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以错误，显然成立解法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，错误，正确.2如图，在正方体ABCDA1B1C
10、1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是()A.MN与CC1垂直B.MN与AC垂直C.MN与BD平行D.MN与A1B平行答案D解析如图，连接C1D，CC1平面ABCD，CC1BD，MN与CC1垂直，故A正确；ACBD，MNBD，MN与AC垂直，B正确；在三角形C1DB中，MNBD，故C正确A1B与BD相交，MNBD，MN与A1B不可能平行，D错误.题型 三异面直线所成的角(2017全国卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. B. C. D.答案C解析解法一：如图所示，分别延长CB，C1B1
11、至D，D1，使BDBC，B1D1B1C1，连接DD1，B1D.由题意知，C1B綊B1D，则AB1D即为异面直线AB1与BC1所成的角连接AD，在ABD中，由AD2AB2BD22ABBDcosABD，得AD.又B1DBC1，AB1，cosAB1D.解法二：将直三棱柱ABCA1B1C1补形为直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD.由题意知ABC120，AB2，BCCC11，所以AD1BC1，AB1，DAB60.在ABD中，由余弦定理知BD22212221cos603，所以BD，所以B1D1.又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角，所以cos.求异面直线所
12、成角的方法几何法(1)作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条，平移一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上(2)证：证明作出的角为所求角(3)求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角.(2019上饶重点中学联考)在空间四边形ABCD中，若ABBCCDDAACBD，E，F分别是AB，CD的中点，则异面直线AC与EF所成角为()A.30 B45 C60 D90答案B解析在图1中，连接DE，EC，因为ABBCCDDAACBD，得DEC为等腰三角形，设空间四边形ABCD的边长为2，即ABBCCDDAACBD2，在DEC中，DEEC，CF1，得EF.在
13、图2取AD的中点M，连接MF，EM，因为E，F分别是AB，CD的中点，MF1，EM1，EFM是异面直线AC与EF所成的角在EMF中可由余弦定理得cosEFM，EFM45，即异面直线AC与EF所成的角为45.组基础关1如图，l，A，B，C，且Cl，直线ABlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必通过()A.点A B点BC.点C但不过点M D点C和点M答案D解析因为MAB平面ABC，C平面ABC.Ml，C，所以直线CM.2.已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A.充分不必要条件 B必要不充分条件C.充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解
14、析若直线a，b相交，设交点为P，则Pa，Pb.又a，b，所以P，P，故，相交反之，若，相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行故“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件.3.(2019华南师大附中模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是线段BC上的动点，F是线段CD1上的动点，且E，F不重合，则直线AB1与直线EF的位置关系是()A.相交且垂直 B共面C.平行 D异面且垂直答案D解析如图所示，AB1平面BCD1，EF平面BCD1，故AB1EF且AB1与EF异面.4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF
15、，CD都相交的直线()A.不存在 B有且只有两条C.有且只有三条 D有无数条答案D解析在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点，如图所示，所以D正确.5.下列各图是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是()答案D解析在A中易证PSQR，P，Q，R，S四点共面在C中易证PQSR，P，Q，R，S四点共面在D中，QR平面ABC，PS平面ABCP且PQR，直线PS与QR为异面直线P，Q，R，S四点不共面在B中P，Q，R，S四点共
16、面，证明如下：取BC中点N，可证PS，NR交于直线B1C1上一点，P，N，R，S四点共面，设为，可证PSQN，P，Q，N，S四点共面，设为.，都经过P，N，S三点，与重合，P，Q，R，S四点共面故选D.6如图所示，在矩形ABCD中，AB4，AD2，P为边AB的中点，现将DAP绕直线DP翻转至DAP处，若M为线段AC的中点，则异面直线BM与PA所成角的正切值为()A. B2 C. D4答案A解析取AD的中点N，连接PN，MN(如图)，由于M是AC的中点，故MNCDPB，且MNPB，故四边形PBMN为平行四边形，故MBPN，在RtADP中，tanAPN，即异面直线BM与PA所成角的正切值为.7如图
17、，在正方体ABCDABCD中，AB的中点为M，DD的中点为N，则异面直线BM与CN所成的角是_答案90解析取AA的中点Q，连接QN，BQ，设BQ与BM相交于点H，则QN綊AD綊BC，从而有四边形NQBC为平行四边形，所以NCQB，则有BHB或其补角为异面直线BM与CN所成的角又因为BBBA，BBMBAQ90，BMAQ，所以BBMBAQ，所以MBBQBM.而BMBMBB90，从而BMBQBM90，所以MHB90，所以BHB90，即异面直线BM与CN所成的角是90.8.(2020广州模拟)如图，圆柱O1O2的底面圆半径为1，AB是一条母线，BD是O1的直径，C是上底面圆周上一点，CBD30，若A，
18、C两点间的距离为，则圆柱O1O2的高为_，异面直线AC与BD所成角的余弦值为_答案2解析连接CD，则BCD90，因为圆柱O1O2的底面圆半径为1，所以BD2.因为CBD30，所以CD1，BC，易知ABBC，所以AC，所以AB2，故圆柱O1O2的高为2.连接AO2并延长，设AO2的延长线与下底面圆周交于点E，连接CE，则AE2，CAE即异面直线AC与BD所成的角又CE，所以cosCAE.组能力关1.(2019湖北重点中学联考)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，O为底面矩形ABCD两条对角线的交点，若异面直线A1O与BC所成的角为60，则长方体ABCDA1B1C1D1的体积为()A.
19、4 B4 C8 D8答案A解析如图，取AB的中点E，连接OE，则有OEBC，且OEBC1，所以A1OE即为异面直线A1O与BC所成的角，所以A1OE60.在直角三角形A1OE中，A1EOEtan60，故在直角三角形A1AE中，A1A，所以长方体的体积为VS正方形ABCDAA1224.2(2019蓉城名校联考)如图，在底面边长为R的正六棱锥ACDEFGH中，以其高AB为直径的球面分别与AC，AD交于M，N两点，若球的半径也为R，那么BM，BN夹角的余弦值为()A. B. C. D.答案B解析如图所示，在RtABD中，BDR，AB2R，ABDBNDANB，所以，所以，同理，可证，在ACD中，所以MNCD，所以，所以MNR，在BMN中，BMBN，MNR，由余弦定理得cosMBN.3(2019西安模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_答案解析还原成正四面体ADEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合易知GH与EF异面，BD与MN异面又GMH为等边三角形，GH与MN成60角，易证DEAF，MNAF，MNDE.因此正确的序号是.
