1、第十章 计数原理、概率、随机变量及分布列 第八节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；3.了解正态分布的定义，正态曲线的特征，会求服从正态分布的随机变量的概率；4.记住正态总体在区间(，)，(2，2)和(3，3)上取值的概率，并能在一些简单的实际问题中应用该原则.知 识梳 理 诊 断 1离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量 X 的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值称 E(X)为随机变量 X 的均值或，它反映了离散型随机变量取值的(2)方差称为随机变
2、量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 对其均值 E(X)的，其算术平方根为随机变量 X 的标准差x1p1x2p2xipixnpn数学期望平均水平平均偏离程度平均偏离程度DX2均值与方差的性质(1)E(aXb).(2)D(aXb)(a，b 为常数)(3)若 X 服从两点分布，则 E(X)，D(X)(4)若 XB(n，p)，则 E(X)，D(X)aE(X)ba2D(X)pp(1p)npnp(1p)3正态分布(1)正态曲线的性质曲线位于 x 轴，与 x 轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线对称；曲线在处达到峰值1 2；曲线与 x 轴之间的面积为；上方xx1 当 一定时，曲线随着的变化而沿 x 轴平移，
3、如图甲所示；当 一定时，曲线的形状由 确定，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示越小越大(2)正态分布的三个常用数据P(X)；P(2X2)；P(30)，若 在(80,120)内的概率为 0.8，则落在(0,80)内的概率为()A0.05B0.1C0.15D0.2解析 由题意知 服从正态分布(100，2)，P(80120)0.8，则由正态分布图象的对称性可知，P(080)0.512P(80120)0.1，故选 B.答案 B5已知随机变量 X 的取值为 0,1,2，若 P(X0)15，E(X)1，则 D(X)()A.25B.45C.23D.43解
4、析 设 P(X1)p，则 P(X2)1p1545p.由 E(X)1，得 0151p245p 1，得 p35，则D(X)(01)215(11)235(21)21525.答案 A6(2015广东卷)已知随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)若E(X)30，D(X)20，则 p_.解析 由np30，np1p20，得 p13.答案 13考 点题 型 突 破 考点一 离散型随机变量的均值与方差 共研型 角度 1：与古典概型有关的均值与方差(2017石家庄调研)某校课改实行选修走班制，现有甲，乙，丙，丁四位学生准备选修物理，化学，生物三个科目每位学生只选修一个科目，且选修其中任何一个科目是等可能的(1)
5、求恰有 2 人选修物理的概率；(2)求学生选修科目个数 的分布列及数学期望解析(1)所有可能的选修方式有 34 种，恰有 2 人选修物理的方式有 C2422 种，从而恰有 2 人选修物理的概率为C242234 827.(2)的所有可能值为 1,2,3，P(1)334 127，P(2)C23C12C34C24C22341427(或 P(2)C23242341427)，P(3)C13C24C123449(或 P(3)C24A3334 49)故 的分布列为123P127142749所以 E()1 127214273496527.角度 2：与相互独立事件有关的均值与方差(2015湖南卷)某商场举行有奖
6、促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖(1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率；(2)若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X，求 X 的分布列和数学期望及方差解(1)记事件 A1从甲箱中摸出的 1 个球是红球，A2从乙箱中摸出的 1 个球是红球，B1顾客抽奖 1 次获一等奖，B2顾客抽奖 1 次获二等奖，C顾客抽奖 1 次能获奖由题意知 A1 与 A2
7、相互独立，A1 A 2 与 A 1A2 互斥，B1 与B2 互斥，且 B1A1A2，B2A1 A 2 A 1A2，CB1B2.因为 P(A1)41025，P(A2)51012，所以 P(B1)P(A1A2)P(A1)P(A2)251215，P(B2)P(A1 A 2 A 1A2)P(A1 A 2)P(A 1A2)P(A1)P(A 2)P(A 1)P(A2)P(A1)(1P(A2)(1P(A1)P(A2)25112 125 1212.故所求概率为 P(C)P(B1B2)P(B1)P(B2)1512710.(2)顾客抽奖 3 次可视为 3 次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖 1 次获一等奖的概率
8、为15，所以 XB3，15.故 X 的分布列为X0123P6412548125121251125X 的数学期望为 E(X)31535.X 的方差为 D(X)315(115)1225.(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算(2)若 XB(n，p)，则用公式 E(X)np，D(X)np(1p)求解，可大大减少计算量(3)若随机变量 X 的均值为 E(X)，则对应随机变量 aXb的均值是 aE(X)b，方差为 a2D(X)1角度 1(2016四川遂宁期末)一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是
9、 1,3 张卡片上的数字是 2,2 张卡片上的数字是 3，从盒中任取 3 张卡片(1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列与数学期望(注：若三个数字 a，b，c 满足 abc，则称 b 为这三个数的中位数)解(1)由古典概型的概率计算公式得 PC34C33C39 584.(2)由题意知 X 的所有可能取值为 1,2,3，且P(X1)C24C15C34C391742，P(X2)C13C14C12C23C16C33C394384，P(X3)C22C17C39 112.所以 X 的分布列为X123P17424384112所以 E(
10、X)11742243843 1124728.2角度 2(2016湖北宜昌一中月考)某个海边旅游景点有小型游艇出租供游客出海游玩，收费标准如下：租用时间不超过 2 小时收费 100 元，超过 2 小时的部分按每小时 100元收取(不足一小时按一小时计算)现甲、乙两人独立来该景点租用小型游艇，各租一次设甲、乙租用不超过两小时的概率分别为13，12；租用 2 小时以上且不超过 3 小时的概率分别为12，13，且两人租用的时间都不超过 4 小时(1)求甲、乙两人所付费用相等的概率；(2)设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量，求 的分布列与数学期望解(1)甲、乙所付费用可以为 100 元、200 元、3
11、00 元甲、乙两人所付费用都是 100 元的概率为 P1131216.甲、乙两人所付费用都是 200 元的概率为 P2121316.甲、乙两人所付费用都是 300 元的概率为 P31131211213 136.故甲、乙两人所付费用相等的概率为 PP1P2P31336.(2)随机变量 的取值可以为 200,300,400,500,600.P(200)121316；P(300)131312121336；P(400)121311213 1311312 121136；P(500)1211213 11213 13 536；P(600)11213 11213 136.故 的分布列为200300400500
12、600P1613361136536136 的数学期望是E()2001630013364001136500 536600 136350.考点二 均值与方差在决策中的应用 互动型 (2016全国卷)某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表
13、示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数(1)求 X 的分布列；(2)若要求 P(Xn)0.5，确定 n 的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n19 与 n20 之中选其一，应选用哪个？解(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内 需 更换的 易 损零件 数 为 8,9,10,11 的概 率 分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)
14、20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04.所以 X 的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知 P(X18)0.44，P(X19)0.68，故 n 的最小值为 19.(3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)当 n19 时，E(Y)192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044040.当 n20 时，E(Y)202000.88 (20200 500)0.08(202002500)
15、0.044080.可知当 n19 时所需费用的期望值小于当 n20 时所需费用的期望值，故应选 n19.随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定某投资公司在 2015 年年初准备将 1000 万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也可能亏损 15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能损
16、失 30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和 115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由解 若按“项目一”投资，设获利为 X1 万元则 X1 的分布列为X1300150P7929E(X1)30079(150)29200(万元)若按“项目二”投资，设获利 X2 万元，则 X2 的分布列为：X25003000P3513115E(X2)50035(300)130 115200(万元)D(X1)(300200)279(150200)22935000，D(X2)(500 200)2 35 (300 200)2 13 (0 200)2 1151400
17、00.所以 E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥综上所述，建议该投资公司选择项目一投资考点三 正态分布互动型 (1)(2015湖北卷)设 XN(1，21)，YN(2，22)，这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是()AP(Y2)P(Y1)BP(X2)P(X1)C对任意正数 t，P(Xt)P(Yt)D对任意正数 t，P(Xt)P(Yt)(2)(2015山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布 N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附：若随机变量 服从正态分布 N(，2)，则 P
18、()68.26%，P(22)95.44%.)A4.56%B13.59%C27.18%D31.74%解析(1)由正态分布密度曲线的性质可知，XN(1，21)，YN(2，22)的密度曲线分别关于直线 x1，x2 对称，因此结合题中所给图象可得，12，所以 P(Y2)P(Y1)，故 A 错误又 XN(1，21)的密度曲线较 YN(2，22)的密度曲线“瘦高”，所以 1P(X1)，B 错误对任意正数 t，P(Xt)P(Yt)，P(Xt)P(Yt)，C正确，D 错误(2)由已知 0，3.所以 P(36)12P(66)P(32)0.023，则 P(22)()A0.954B0.977C0.488D0.477
19、解析 P(22)12P(2)10.02320.954.答案 A2已知某次数学考试的成绩服从正态分布 N(116,64)，则成绩在 140 分以上的考生所占的百分比为_(注：P(X)0.683，P(2X2)0.954，P(3X3)0.997)解析 依题意，得 116，8，所以 392，3140，而服从正态分布的随机变量在(3，3)内取值的概率约为 0.997，所以成绩在区间(92,140)内的考生所占的百分比约为 99.7%，从而成绩在 140 分以上的考生所占的百分比为199.7%20.15%.答案 0.15%课 堂归 纳 小 结 方法技巧易错点睛1.求离散型随机变量的均值与方差，可依题设条件
20、求出离散型随机变量的概率分布列，然后利用均值、方差公式直接求解2由已知条件，作出对两种方案的判断，可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断3若 X 服从正态分布，即 XN(，2)，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间的面积为 1 的性质.对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差.名 师微 课 导 学 课题 60：正态分布与概率的综合应用名师导学：正态分布与概率的知识交汇命题是近几年高考的一个方向，但由于学生对该“冷点”内容重视不够，复习不全面，导致试题不会做，错误率相当高，因此，
21、在今后的复习中要全面掌握每一个知识点(2016广东汕尾调研)为了解某市高三学生身高情况，对全市高三学生进行了测量，经分析，全市高三学生身高 X(单位：cm)服从正态分布 N(160，2)，已知 P(X150)0.2，P(X180)0.03.(1)现从该市高三学生中随机抽取一名学生，求该学生身高在区间170,180)的概率；(2)现从该市高三学生中随机抽取三名学生，记抽到的三名学生身高在区间150,170)的人数为，求随机变量 的分布列和数学期望 E()切 入 点 (1)利 用 正 态 分 布 公 式 求 解；(2)先 计 算P(150 x170)，再结合二项分布求解解(1)由全市高三学生身高
22、X 服从 N(160，2)，P(X150)0.2，得 P(160X170)P(150X160)0.50.20.3.因为 P(X180)0.03，所以 P(170X180)0.50.30.030.17.故从该市高三学生中随机抽取一名学生，该学生身高在区间170,180)的概率为 0.17.(2)因为P(150X170)P(150X160)P(160X170)0.30.30.6，服从二项分布 B(3，0.6)，所以 P(0)(10.6)30.064，P(1)30.6(10.6)20.288，P(2)30.62(10.6)0.432，P(3)0.630.216.所以 的分布列为0123P0.0640
23、.2880.4320.216所以 E()30.61.8.计算服从正态分布的随机变量在特殊区间上的概率时要充分利用正态密度曲线的对称性，将所求的概率转化到我们已知区间上的概率其步骤如下：(2016银川统考)从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N(，2)，其中 近似为样本平均数 x，2 近似为样本方差 s2.利用该正态分布，求 P(187.8 Z212.2
24、)；某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X 表示这100 件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用的结果，求 E(X)附：15012.2.若 ZN(，2)，则 P(Z)0.6826，P(2Z2)0.9544.解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2 分别为x 1700.02 1800.09 1900.22 2000.33 2100.242200.082300.02200，s2 (30)20.02 (20)20.09 (10)20.22 00.331020.242020.083020.02150.(2)由(1)知，ZN(200,150)，从而 P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.6826.由知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为 0.6826，依题意知 XB(100,0.6826)，所以 E(X)1000.682668.26.请做：课后跟踪训练（六十）
