1、素养培优课(四)动能定理和机械能守恒定律的应用培优目标：1.会利用动能定理分析多过程问题，能够建立求解“多过程运动问题”的模型，提高逻辑推理和综合分析问题的能力。2.能在问题情境中根据机械能守恒的条件，判断机械能守恒，获得结论。3.能正确选择机械能守恒定律或动能定理解决实际问题。利用动能定理分析多过程问题一个物体的运动如果包含多个运动阶段，可以选择分段或全程应用动能定理。1分段应用动能定理时，将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，然后联立求解。2全程应用动能定理时，分析整个过程中出现过的各力的做功情况，分析每个力做的功，
2、确定整个过程中合外力做的总功，然后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解。当题目不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单，更方便。【例1】 如图所示，MNP为竖直面内一固定轨道，其圆弧段MN与水平段NP相切于N，P端固定一竖直挡板。M相对于N的高度为h，NP长度为s。一物块从M端由静止开始沿轨道下滑，与挡板发生一次完全弹性碰撞(碰撞后物块速度大小不变，方向相反)后停止在水平轨道上某处。若在MN段的摩擦可忽略不计，物块与NP段轨道间的动摩擦因数为，求物块停止的地方距N点的距离的可能值。思路点拨：物块始状态、末状态动能都为零，整个运动过程中外力做功的代数和为零，物块运动过程中
3、仅重力和摩擦力做功。摩擦力做功与路径有关，由此确定物块停止的位置。解析物块的质量记为m，在水平轨道上滑行的总路程记为s，则物块从开始下滑到停止在水平轨道上的过程中，由动能定理得mghmgs0，解得s第一种可能：物块与挡板碰撞后，在回到N前停止，则物块停止的位置距N点的距离为d2ss2s第二种可能：物块与挡板碰撞后，可再一次滑上圆弧轨道，然后滑下，在水平轨道上停止运动，则物块停止的位置距N点的距离为ds2s2s所以物块停止的位置距N点的距离可能为2s或2s。答案物块停止的位置距N点的距离可能为2s或2s求解多过程运动问题的基本思路对于物体运动过程中有往复运动的情况，物体所受的滑动摩擦力、空气阻力
4、等大小不变，方向发生变化，但在每一段上这类力均做负功，而且这类力所做的功等于力和路程的乘积，与位移无关。若题目中涉及求解物体运动的路程或位置的变化，可利用动能定理求出这类力做的功，然后进一步确定物体运动的路程或位置的变化。跟进训练1如图所示，斜面足够长，其倾角为，质量为m的滑块，距挡板P的距离为s0，以初速度v0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为，滑块所受的摩擦力小于滑块的重力沿斜面方向的分力。若滑块每次与挡板相碰均无动能损失，重力加速度为g，求滑块在斜面上通过的总路程。解析滑块在滑动过程中，要克服摩擦力做功，其机械能不断减少。又因为滑块所受的摩擦力小于滑块的重力沿斜面方向的分力，所以滑块
5、最终会停在斜面底端。在整个过程中，滑块受重力、摩擦力和斜面支持力作用，其中支持力不做功。滑块通过的总路程记为L，对全过程，由动能定理得mgs0sin mgLcos 0mv解得L。答案链条类物体的机械能守恒问题链条类物体机械能守恒问题的分析关键是分析重心位置，进而确定物体重力势能的变化，解题要注意两个问题：一是零势能面的选取；二是链条的每一段重心的位置变化和重力势能变化。【例2】如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其一端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？解析方法一(取整个铁链为研究对象)：设整个铁链的质量为m，初始位置的重
6、心在A点上方L处，末位置的重心在A点，则重力势能的减少量为EpmgL由机械能守恒得mv2mgL，解得v。方法二(将铁链看成两段)：铁链由初始状态到刚离开滑轮时，等效于左侧铁链BB部分移到AA位置。 重力势能减少量为Epmg由机械能守恒得mv2mg则v 。答案跟进训练2如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动，AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连，一条长为L的均匀柔软链条开始是静止地放在ABC面上，其一端D至B的距离为La，其中a未知，现自由释放链条，当链条的D端滑到B点时链条的速率为v，求a。解析设链条质量为m，可以认为始末状态的重力势能变化是由La段下降引
7、起的下降高度hsin sin 该部分的质量为m(La)由机械能守恒定律可得(La)ghmv2解得a。答案a动能定理与机械能守恒定律的比较1.机械能守恒定律和动能定理的比较规律内容机械能守恒定律动能定理表达式E1E2EkEpEAEB WEk应用范围只有重力或弹力做功时无条件限制研究对象系统单个物体关注角度守恒的条件和初、末状态机械能的形式及大小动能的变化及合力做功情况2.规律的适用范围(1)动能定理：恒力做功、变力做功、分段做功、全程做功等均可适用。(2)机械能守恒定律：只有系统内的弹力或重力做功。【例3】如图甲所示为2022年北京冬奥会跳台滑雪场馆“雪如意”的效果图。如图乙所示为由助滑区、空中
8、飞行区、着陆缓冲区等组成的依山势而建的赛道示意图。运动员保持蹲踞姿势从A点由静止出发沿直线向下加速运动，经过距离A点s20 m处的P点时，运动员的速度为v150.4 km/h。运动员滑到B点时快速后蹬，以v290 km/h的速度飞出，经过一段时间的空中飞行，以v3126 km/h的速度在C点着地。已知BC两点间的高度差h80 m，运动员的质量m60 kg，重力加速度g取9.8 m/s2，计算结果均保留两位有效数字。求：甲乙(1)A到P过程中运动员的平均加速度大小；(2)以B点为零势能参考点，求到C点时运动员的机械能；(3)从B点起跳后到C点落地前的飞行过程中，运动员克服阻力做的功。解析(1)v
9、150.4 km/h14 m/s由速度位移的关系式得v2as代入数据解得a4.9 m/s2。(2)v290 km/h25 m/sv3126 km/h35 m/s以B点为零势能参考点，到C点时运动员的机械能为Emghmv代入数据解得E1.0104 J。(3)从B点起跳后到C点落地前的飞行过程中，由动能定理得mghWmvmv代入数据解得W2.9104 J。答案(1)4.9 m/s2(2)1.0104 J(3)2.9104 J如果物体只受重力，或系统内只有重力或弹力做功时，则W外是重力做的功或重力和弹力做功的总和，动能定理就转化成机械能守恒定律。如果重力和弹力中有一个力是变力时，要求这个变力做的功，
10、则可用机械能守恒定律来求解。 跟进训练3为了研究过山车的原理，某兴趣小组提出了下列设想：取一个与水平方向夹角为37、长为L2.0 m的粗糙倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与半径为R0.2 m的竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的。其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图所示。一个质量m1 kg的小物块以初速度v05.0 m/s从A点沿倾斜轨道滑下，小物块到达C点时速度vC4.0 m/s。g取10 m/s2，sin 370.6，cos 370.8。(1)求小物块到达C点时对圆轨道压力的大小；(2)求小物块从A到B运动过程中摩擦力所做的功；(3)为了使小物块不离开轨道，并
11、从轨道DE滑出，求竖直圆轨道的半径应满足什么条件？解析(1)设小物块到达C点时受到圆轨道的支持力大小为FN，根据牛顿第二定律有FNmgm解得FN90 N根据牛顿第三定律，小物块对圆轨道压力的大小为90 N。(2)由于水平轨道BC光滑，无摩擦力做功，所以可将研究小物块从A到B的运动过程转化为研究从A到C的过程。物块从A到C的过程中，根据动能定理有mgLsin 37Wfmvmv解得Wf16.5 J。(3)设小物块进入圆轨道到达最高点时速度大小为v，根据牛顿第二定律有FNmgm，则v小物块从圆轨道最低点到最高点的过程中，根据机械能守恒定律有mvmv22mgR联立得R解得R0.32 m。答案(1)90
12、N (2)16.5J (3)R0.32 m1如图所示，AB为圆弧轨道，BC为水平直轨道，在B点两轨道相切，圆弧的半径为R，BC的长度也是R。一质量为m的物体，与两个轨道间的动摩擦因数都为 ，当它由轨道顶端A从静止开始下滑时，恰好运动到C处停止，那么物体在AB段克服摩擦力所做的功为()A BCmgRD(1)mgRD设物体在AB段克服摩擦力所做的功为WAB，BC段摩擦力做功为mgR。故物体从A运动到C的全过程，由动能定理得mgRWABmgR0，解得WABmgRmgR(1)mgR，故D正确。2如图所示，在高1.5 m的光滑平台上有一个质量为2 kg的小球被一细线拴在墙上，小球与墙之间有一根被压缩的轻
13、质弹簧。当烧断细线时，小球被弹出，小球落地时的速度方向与水平方向成60角，则弹簧被压缩时具有的弹性势能为(g取10 m/s2)()A10 JB15 J C20 JD25 JA由2ghv0得vy，即vy m/s，落地时，tan 60可得v0 m/s，由机械能守恒定律得Epmv，可求得Ep10 J，故A正确。3轻弹簧下端固定，处于自然状态，一质量为m的小球从距离弹簧上端H的高度自由落下，弹簧的最大压缩量为L，换用质量为2m的小球从同一位置落下，当弹簧的压缩量为L时，小球的速度等于(已知重力加速度为g，空气阻力不计，弹簧形变没有超出其弹性限度)()A. B.C. D.C设弹簧压缩量为L时，弹簧的弹性势能为Ep，质量为m的小球下落时，根据机械能守恒Epmg(HL)，质量为2m小球下落时，根据机械能守恒定律2mg(HL)Ep2mv2，解得v，故C正确。4如图所示，滑块从高h的光滑斜面上由静止滚下，经有摩擦的水平地面再滑上另一光滑斜面，当它到达h高度时，速度变为0，求滑块最终停在何处。解析设滑块在A、B两点的速度为vA、vB，由机械能守恒有mghmvmghmv在水平面上，摩擦力Ff做的功等于滑块动能的变化，即由动能定理有FfxABmvmv联立式解得xAB滑块最后停下，由动能定理得Ffx0mv联立式得x联立式得xxAB。故滑块最终停在AB的中点处。答案见解析
