1、核心素养测评三十六直接证明与间接证明、数学归纳法(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2019太原模拟)下列说法不正确的是()A.综合法是由因导果顺推证法B.分析法是执果索因逆推证法C.综合法和分析法都是直接证法D.综合法和分析法在同一题的证明中不可能同时使用【解析】选D.综合法是由因导果的顺推证法、分析法是执果索因的逆推证法、分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的充分条件,即A,B,C正确;综合法与分析法在同一题的证明中可能同时采用,故D不正确.2.(2020长春模拟)用反证法证明命题“若a2+b2=0(a,bR),则a,b全为0”,其反设正确的是()A.a,b全为0B
2、.a,b中只有一个为0C.a,b至少有一个为0D.a,b至少有一个不为0【解析】选D.“a,b全为0(a,bR)”的否定为:“a,b至少有一个不为0”.3.(2019三明模拟)用数学归纳法证明不等式2n(n+1)2(nN*)时,初始值n应等于()A.1B.4C.5D.6【解析】选D.n=1时,左边=2,右边=4;n=2时,左边=4,右边=9;n=3时,左边=8,右边=16;n=4时,左边=16,右边=25;n=5时,左边=32,右边=36;n=6时,左边=64,右边=49,所以初始值n应等于6.4.设nN,则-与-的大小关系是()A.-B.-C.-=-D.不能确定【解析】选B.由题意知,(-)
3、-(-)=(+)-(+),因为(+)2-(+)2=2-=2(-)0,所以-0,则a,b,c中至少有一个大于1”时,要做的假设是“假设a,b,c_”.答案:都不大于18.(2019绍兴模拟)用数学归纳法证明“1-+-+-=+(nN*)”,第一步应验证的等式是_,从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的代数式是_.世纪金榜导学号【解析】用数学归纳法证明“1-+-+-=+(nN*)”,第一步应验证的等式为:1-=;从n=k到n=k+1时左边需增加的代数式是:-=-.答案:1-=-三、解答题(每小题10分,共20分)9.在数列an中,a1=2,an+1=an+n+1+(2-)2n(nN*,0).(1)
4、求a2,a3,a4.(2)猜想an的通项公式,并加以证明.【解析】(1)a2=2+2+2(2-)=2+22,a3=(2+22)+3+(2-)22=23+23,a4=(23+23)+4+(2-)23=34+24.(2)由(1)可猜想数列通项公式为:an=(n-1)n+2n.下面用数学归纳法证明:当n=1,2,3,4时,等式显然成立,假设当n=k(k4,kN*)时等式成立,即ak=(k-1)k+2k,那么当n=k+1时,ak+1=ak+k+1+(2-)2k=(k-1)k+2k+k+1+2k+1-2k=(k-1)k+1+k+1+2k+1=(k+1)-1k+1+2k+1,所以当n=k+1时,ak+1=
5、(k+1)-1k+1+2k+1,猜想成立,由知数列的通项公式为an=(n-1)n+2n(nN*,0).10.设f(n)=1+,是否存在关于正整数n的函数g(n),使等式f(1)+f(2)+f(n-1)=g(n)f(n)-1对于n2的一切正整数都成立?并证明你的结论.世纪金榜导学号【解析】当n=2时,由f(1)=g(2)f(2)-1,得g(2)=2,当n=3时,由f(1)+f(2)=g(3)f(3)-1,得g(3)=3,猜想g(n)=n(n2).下面用数学归纳法证明:当n2时,等式f(1)+f(2)+f(n-1)=nf(n)-1恒成立.当n=2时,由上面计算知,等式成立.假设n=k(k2)时,f
6、(1)+f(2)+f(k-1)=kf(k)-1成立,那么当n=k+1时,f(1)+f(2)+f(k-1)+f(k)=kf(k)-1+f(k)=(k+1)f(k)-k=(k+1)-k=(k+1)f(k+1)-1,所以当n=k+1时,等式也成立.由知,对一切n2的正整数n,等式都成立.故存在函数g(n)=n,使等式成立.(15分钟30分)1.(5分)分析法又称执果索因法,已知x0,用分析法证明2B.x24C.x20D.x21【解析】选C.因为x0,所以要证1+,只需证()2,即证00,因为x0,所以x20成立,故原不等式成立.2.(5分)若a,b,c是不全相等的正数,给出下列判断:(a-b)2+(
7、b-c)2+(c-a)20;ab与a(n2)的过程中,设f(k)=+,从n=k递推到n=k+1时,不等式左边为()A.f(k)+B.f(k)+C.f(k)+-D.f(k)+-【解析】选C.当n=k时,左端=+,那么当n=k+1时,左端=+,故第二步由k到k+1时,不等式左边为f(k)+-.【变式备选】已知nN*,用数学归纳法证明f(n)=1+4+7+(3n-2)=时.假设当n=k(kN*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立,需要用到的f(k+1)与f(k)之间的关系式是()A.f(k+1)=f(k)+3k-5 B.f(k+1)=f(k)+3k-2C.f(k+1)=f(k)+3k+1 D.
8、f(k+1)=f(k)+3k+4【解析】选C.因为用数学归纳法证明等式f(n)=1+4+7+(3n-2)=时,假设n=k时,命题成立,f(k)=1+4+7+(3k-2)=,则当n=k+1时,左端为f(k+1)=1+4+7+(3k-2)+3(k+1)-2需要用到的f(k+1)与f(k)之间的关系式是f(k+1)=f(k)+3k+1.4.(5分)(2019太原模拟)用反证法证明“若x2-1=0,则x=-1或x=1”时,应假设_.【解析】“x=-1或x=1”的否定是“x-1且x1”.答案:x-1且x15.(10分)已知数列an满足:a1=2,nan+1=(n+1)an+n(n+1),nN*.世纪金榜导学号(1)求证:数列为等差数列,并求出数列an的通项公式.(2)记bn=(nN*),用数学归纳法证明:b1+b2+bn1-,nN*.【证明】(1)a1=2,nan+1=(n+1)an+n(n+1),可得=+1,则数列为首项为2,公差为1的等差数列,则=2+n-1=n+1,即an=n(n+1).(2)bn=,当n=1时,b1=,1-=,即;假设n=k时,不等式b1+b2+bk1-成立,kN*.当n=k+1时,b1+b2+bk+bk+11-+,要证1-+1-,即证-,即证2(k+1)2k+3,显然成立,即n=k+1时,不等式成立.则证得b1+b2+bn1-,nN*.
