1、核心素养测评 三十四数 列 求 和(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.数列an的通项公式是an=,若前n项和为10,则项数n为()A.120B.99C.11D.121【解析】选A.an=-,所以a1+a2+an=(-1)+(-)+(-)=-1=10.即=11,所以n+1=121,n=120.2.已知数列an的通项公式是an=2n-3,则其前20项和为()A.380-B.400-C.420-D.440-【解析】选C.令数列an的前n项和为Sn,则S20=a1+a2+a20=2(1+2+20)-3=2-3=420-.3.在数列an中,an=,若an的前n项和Sn=,则n=()A
2、.3B.4C.5 D.6【解析】选D.由an=1-得:Sn=n-=n-,则Sn=n-,将各选项中的值代入验证得n=6.4.(多选)已知数列an:,+,+,+,若bn=,设数列bn的前n项和为Sn,则()A.an=B.an=nC.Sn=D.Sn=【解析】选AC.由题意得an=+=,所以bn=4,所以数列bn的前n项和Sn=b1+b2+b3+bn=4=4=.5.已知数列an满足a1=1,an+1an=2n(nN*),Sn是数列an的前n项和,则S2 020=()A.22 020-1B.321 010-3C.321 010-1D.322 020-2【解析】选B.依题意得anan+1=2n,an+1a
3、n+2=2n+1,于是有=2,即=2,数列a1,a3,a5,a2n-1,是以a1=1为首项,2为公比的等比数列;数列a2,a4,a6,a2n,是以a2=2为首项,2为公比的等比数列,于是有S2 020=(a1+a3+a5+a2 019)+(a2+a4+a6+a2 020)=+=321 010-3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.在数列an中,若an+1+(-1)nan=2n-1,则数列an的前12项和等于_.【解析】由已知an+1+(-1)nan=2n-1,得an+2+(-1)n+1an+1=2n+1,得an+2+an=(-1)n(2n-1)+(2n+1),取n=1,5,9及n=2,6,
4、10,结果相加可得S12=a1+a2+a3+a4+a11+a12=78.答案:787.已知数列an,bn,若b1=0,an=,当n2时,有bn=bn-1+an-1,则b10=_.世纪金榜导学号【解析】由bn=bn-1+an-1得bn-bn-1=an-1,所以b2-b1=a1,b3-b2=a2,bn-bn-1=an-1,所以b2-b1+b3-b2+bn-bn-1=a1+a2+an-1=+,即bn-b1=a1+a2+an-1=+=-+-+-=1-=,又因为b1=0,所以bn=,所以b10=.答案:8.设数列an的通项公式为an=,令bn=nan,则数列bn的前n项和Sn为_.世纪金榜导学号【解析】
5、由bn=nan=n知,Sn=12+223+325+n,从而22Sn=123+225+327+n,-得(1-22)Sn=2+23+25+-n,即Sn=(3n-1)+2.答案: (3n-1)+2三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020兰州模拟)已知数列的前n项和Sn满足2Sn=,且an0.世纪金榜导学号(1)求数列的通项公式.(2)若bn=,记数列的前n项和为Tn,证明:Tn.【解析】(1)当n=1时,2S1=2a1,因为a10,所以a1=2,当n2时,2an=2=-,所以=0,因为an0,所以an-an-1-1=0,所以an-an-1=1,所以是以a1=2为首项,d=1为公差的等差数列
6、,所以an=n+1.(2)由(1)得an=n+1,所以bn=-,所以Tn=b1+b2+bn-1+bn=+=-3,因为Tn+1-Tn=-=0,所以是递增数列,所以TnT1=-3=.10.已知数列an的各项均为正数,且-2nan-(2n+1)=0,nN*.世纪金榜导学号(1)求数列an的通项公式.(2)若bn=2nan,求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)由-2nan-(2n+1)=0得an-(2n+1)(an+1)=0,所以an=2n+1或an=-1,又数列an的各项均为正数,负值应舍去,所以an=2n+1,nN*.(2)因为bn=2nan=2n(2n+1),所以Tn=23+225+237+
7、2n(2n+1),2Tn=223+235+2n(2n-1)+2n+1(2n+1),由-得-Tn=6+2(22+23+2n)-2n+1(2n+1)=6+2-2n+1(2n+1)=-2+2n+1(1-2n).所以Tn=(2n-1)2n+1+2.(15分钟35分)1.(5分)若数列an的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+a3+a10=()A.15B.12C.-12D.-15【解析】选A.因为an=(-1)n(3n-2),所以a1+a2+a10=-1+4-7+10-13+16-19+22-25+28=(-1+4)+(-7+10)+(-13+16)+(-19+22)+(-25+28)
8、=35=15.【变式备选】已知数列an的前n项和为Sn,通项公式an=n(-1)n+1,则S17=()A.10B.9C.8D.7【解析】选B.S17=1-2+3-4+5-6+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+1=9.【一题多解】解决本题还可以采用以下方法:选B.S17=1-2+3-4+5-6+15-16+17=(1+3+17)-(2+4+16)=81-72=9.2.(5分)已知等比数列an的首项为,公比为-,其前n项和为Sn,则Sn的最大值为()A.B.C.D.【解析】选D.因为等比数列an的首项为,公比为-,所以Sn=1-,当n
9、取偶数时,Sn=1-0,解得q=2,所以bn=2n.设等差数列an的公差为d,由b3=a4-2a1可得3d-a1=8,由S11=11b4可得a1+5d=16,联立解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以an的通项公式为an=3n-2,bn的通项公式为bn=2n.(2)设数列a2nbn的前n项和为Tn,由a2n=6n-2得Tn=42+1022+1623+(6n-2)2n,2Tn=422+1023+1624+(6n-8)2n+(6n-2)2n+1,上述两式相减得:-Tn=42+622+623+62n-(6n-2)2n+1=-4-(6n-2)2n+1=-(3n-4)2n+2-16.所以Tn
10、=(3n-4)2n+2+16.所以数列a2nbn的前n项和为(3n-4)2n+2+16.1.已知数列的前n项积为Tn,若对n2,nN*,都有Tn+1Tn-1=2T 成立,且a1=1,a2=2,则数列的前10项和为_.【解析】因为Tn+1Tn-1=2T ,故=2,即=2(n2),而=2,所以是首项为1,公比为2的等比数列,故an=2n-1,所以S10=1 023.答案:1 0232.已知正项数列an中,a1=1,a2=2,2=+(n2),bn=,数列bn的前n项和为Sn,则S33的值是_.世纪金榜导学号【解析】因为2=+(n2),所以数列是首项为1,公差为22-1=3的等差数列,所以=1+3(n-1)=3n-2.所以an=,所以bn=(-),所以数列bn的前n项和Sn=(-1)+(-)+(-)=(-1).则S33=(10-1)=3.答案:3- 12 -
