1、高考资源网（） 您身边的高考专家高三数学二轮专题复习 平面向量在解析几何中的应用一、教材的地位和作用解析几何是高中数学的又一重要内容。平面向量在解析几何中的应用，又是高考的热点问题。由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系。向量的引入为实现在知识网络的交汇处设计试题提供了良好的素材。二、学生学习情况分析高三教学中发现，学生对解析几何与平面向量的整合问题普遍感到“不适应”。由于这类问题综合性较强，许多学生不能抓住问题的本质，“知识”和“方法”盲目运用，经常陷入“进退两难”的境地。三、设计思想结合全国卷的考试大纲、考试说明，在深入研究的基础上
2、设计了“平面向量在解析几何问题中的应用”这一专题，使一些分散的问题有机地联系在一起，从而提高学生的学习效果。教育家加涅认为：“设计教学的最佳途径，是根据所期望的教学目标来安排教学工作，其原因是教学是为了特定的教学目标。”“教学生什么？为什么要教学生什么？”这都是在确定“教学目标”时要弄清楚的问题。想学生所“难”，研学生所“疑”，解学生所“困”，这就是我们教师所要深入研究的问题。四、教学目标知识与技能目标：经历分析、研究的过程，使学生能正确运用平面向量最基本的知识，将涉及平面向量的解析几何问题化归为较熟悉的解析几何问题。在审题中引导学生正确理解，深刻理会向量的几何意义和代数意义。过程与方法：培养
3、学生在较为复杂的问题情境中能冷静观察，积极思考；注意培养学生正确运用数学思想方法的习惯，提高分析问题和解决问题的能力。情感与态度价值观：培养学生在问题的变化中积极创新，在问题的发展中敢于创新的精神。五、教学重点：正确运用平面向量最基本的知识，利用 “坐标化”这一基本思想方法，以坐标为桥梁，将涉及的解析几何问题化归为较熟悉的代数运算问题，适时运用平面向量的几何意义把解析几何的知识“几何化”也能很好解题。六、教学难点：利用平面向量的相关知识把解析几何问题翻译向量等式，转化为代数运算，也可以利用平面向量的几何意义把解析几何问题“几何化”，巧妙运用数形结合的思想。七、教学过程环节一：引入同学们，距离高
4、考还有84天，每天忙碌的上课、听课、复习、作业充实了我们的高三生活，静静沉思：“对于我们的理科数学高考考什么？高考的高频考点我们掌握了多少？高考的150分值如何分布？”现在请大家一起来看看我收集的有关“新课标全国1卷理科数学中解析几何”的有关数据分析。年份题号题型分值考点分布201012、20选择题、解答题5+5+12离心率、双曲线方程、椭圆方程20117、14、20选择题、填空题、解答题5+5+12双曲线离心率、椭圆方程、抛物线方程(平面向量)20124、8、20选择题、填空题、解答题5+5+12椭圆离心率、双曲线方程、直线与抛物线(平面向量)20134、10、20选择题、解答题5+5+12
5、双曲线渐近线、椭圆方程、直线与椭圆20144、10、20选择题、解答题5+5+12双曲线渐近线、抛物线方程(平面向量)、直线与椭圆20155、20选择题、解答题5+12双曲线的方程(平面向量)、直线与圆锥曲线的位置关系 解析几何的核心是代数的方法研究几何问题，而平面向量恰好具有代数与几何形式的双重身份,平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命题改革的发展方向和必然趋势。为了更好地迎接我们的高考，今天将共同学习“平面向量在解析几何中的应用”这一专题复习课。环节二：典例探究例题1 过抛物线的焦点做直线交抛物线于、两点，若，求直线的方程。师：（展示幻灯片，提出问题）预设生1：（法一）请他说明解题思路，
6、并投影他的解答过程。 或直线方程是或师：（总结）*同学解题的关键是根据“向量等式来设点坐标求点坐标”，这是一种“可设可求法”，那有没有“设而不求”法呢？预设：有师：对了，那就让我们一起来看看*同学的解题过程预设：（法二）利用斜率作为桥梁，求斜率是关键，设点坐标而不求点坐标。设直线的斜率为当斜率不存在或=0时，均不合题意。设直线的方程：（） 设、，即（对于这两组等式的选择，为了让计算更加简洁，我们会选择横坐标等式，也有同学选择纵坐标等式的，结果会发现计算相当繁琐）则，联立方程组所以直线的方程是：或师：大家请看这张作业投影，是有个同学选择纵坐标等式的整个过程。总结下处理本题的方法有两种即“可设可求
7、法”、“设而不求法”，但是其本质都是“向量等式坐标化”。【设计意图】方法1抓住了求“点”的坐标,方法2求是主要目标。题设中的“向量条件”为我们提供了、的坐标关系式，体现了“设而不求”的思想。这两个方法都抓住了“向量等式坐标化”这一最基本的思想。典例1是一个较简单的几何问题，虽然简单但反映了平面向量在解析几何问题中应用的本质思想，即“向量等式坐标化”是解决这类问题的常用方法。师：我们所碰到的平面向量与解析几何的问题中，有些向量等式是显而易见（如例题1），而有些向量等式却是隐藏在题目中，需要同学们去挖掘，把隐性条件转化为显性条件，请看例题2。（约10分钟）例题2 已知抛物线:的焦点也是椭圆：的一个
8、焦点，与的公共弦EG的长为。过点F的直线与相交于两点，与相交于两点，且与同向。（1） 求的方程；（2） 若=，求直线的斜率。师：根据题目的第一个条件配合几何画板的动画图像，发现抛物线与椭圆公共弦关于y轴对称，从而可以写出G(),依题设出椭圆方程，用待定系数法求出系数。（教师板书）师：继续读题，在几何画板上动画演示完图像的形成过程。四个交点的顺序是A,C,B,D,由相等向量的概念“大小相等，方向相同”可得到向量等式“”，按照例题1的做法“向量等式坐标化”。 这又体现了处理解析几何问题的一重要思想“几何问题代数化”。师：现在请大家一起看看*同学的解答过程。（幻灯片投影）预设：(1)由C1：知其焦点
9、F的坐标为(0,1)，因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以，又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x24y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为，所以，联立得a29，b28，故C2的方程为1.(特别提醒椭圆是y型曲线)（2） 如图，设，因为同向，且，所以，从而，即，于是可由得。，（整体代换的思想）设直线的斜率为，则的方程为。由例题1可知由得，而是这个方程的两根，所以，将代入，得，所以，解得，经验证此时成立，即直线的斜率为。师：总结这题用到了“待定系数法，设而不求法，数形结合思想，整体代换思想”，并在左边板书思想方法。（约13分钟）探究1在本例条件下，是否存在直线，使
10、以CD为直径的圆过坐标原点O，若存在，求出的方程；若不存在，说明理由师：回顾例题2，我们发现“向量共线的充要条件”可以实现向量等式坐标化，找到处理解析几何问题的这一入口，接下来大家需要的就是耐心、细心的运算能力。平面向量中还有一个重要的知识点就是“垂直向量的充要条件”，在解析几何问题中也经常出现垂直关系，如何实现二者的有效整合，还是离不开一个重要思想“向量等式坐标化”。请看“几何画板”显示，当直线旋转时，弦CD也跟着旋转，观察以CD为直径的圆是否会过原点？预设：不会。师：表扬大家观察细微，既然不过原点，那我们就要说明理由，对于“存在性的问题”，我们可以先做假设存在，再证明得到显然不成立的关系式
11、，从而推翻假设，得出结论。请看我们班*同学的解答过程。预设：解：假设存在直线的方程为，解：假设存在直线的方程,由例题2可知又以为直径的圆恰好过原点,即，即，即，.故不存在，假设不成立，即不存在直线使以CD为直径的圆过坐标原点O.师：垂直向量的应用是向量数量积的一种特殊情况，“探究1”把向量等式坐标化，解决了圆锥曲线中的垂直问题。对于任意角的大小的判断，大家会用什么办法呢？预设：正弦定理、余弦定理，向量的数量积的几何意义可以判断夹角的大小。师：很好，大家集思广益，正弦定理、余弦定理处理圆锥曲线的计算过程与用向量数量积坐标化处理圆锥曲线的计算过程，那种会跟好呢？请看“探究2”探究2设在点处的切线与
12、轴的交点为.证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形.师：读完题目，我们先用几何画板先演示图像动画过程，观察每次动画中不变的量，从形的角度来判断数的结果，做到数形结合。预设：在整个动画过程中，发现始终是钝角师：从“形”上我们找到了结论，那如何从“数”上来证明呢？刚刚大家有提到的正、余弦定理就要算线段长和弦长，这样的计算量可能会很大，如果能用向量数量积的正负来判断角的形状，不就简化了计算吗？一起复习下向量数量积与夹角的关系“非零向量设，若，若，若”本题选择计算会产生多个变量，如果转化为其补角AFM为锐角，可以减少变量即证。预设：证明：由得，所以在点处的切线方程为，即。令得，即，所以。而，于是=，因为
13、不可能等于0，所以是锐角，从而是钝角。故直线绕点F旋转时，MFD总是钝角三角形（约10分钟）师：解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想方法，数形结合的思想、化归与转化的思想把几何问题代数化。那么几何问题能否直接用几何的知识解决呢即向量等式能否几何化？请看例题3例题3 如图，已知椭圆为长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，且,（1）求椭圆的方程。（2）若，求点的坐标。师：对于平面向量的知识，我们最初学习课本是先介绍“向量运算的概念和几何意义”，然后再学习“向量的坐标运算”。在解析几何问题中，我们用得较多的思想方法是：“向量等式坐标化，几何问题代数化”。复习中如果能回归
14、课本，更好地理解概念及其性质，对我们的学习是一个很大的提升，对于有些解析几何问题利用“向量等式几何化”能更加有效的解决问题。预设生：（1）由向量的几何意义得，从而可得,即得到等腰直角三角形顶点的坐标为，将点坐标代入得故椭圆方程为预设：（2）由向量加法的平行四边形法则可知为的中点，又，,故师：例题3的条件中既有“共线向量”又有“向量的数量积”时，选用向量关系“坐标化“，或是“几何化”，要全面分析，正确选择。（约5分钟）环节三：高考链接1.（2014年全国一卷理科第10题）已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则=( C ). . .3 .22.（2015年全国一卷理科第
15、5题）已知是双曲线C： 上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是( A ) A. B. C. D.3.（2011年全国一卷理科20题）在平面直角坐标系中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足， ，M点的轨迹为曲线C。（）求C的方程；（）P为C上的动点，为C在P点处得切线，求O点到距离的最小值。解：（）设，由已知得，.所以,.由题意可知所以曲线的方程为()设为曲线：上一点，因为，所以的斜率为因此直线的方程为，即。则O点到的距离.又，所以当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.八、作业1. 设F1,F2分别是椭圆y21的左、右焦点,P是第一象限内该椭圆上的一点,且PF
16、1PF2,则点P的横坐标为(D)A1 B. C2 D.2.（2015年河南省高三适应性模拟卷第9题）已知双曲线C：，斜率为1且过双曲线的左焦点的直线交双曲线于、两点，与共线，则双曲线的离心率为（ B ） A. B. C. D.33.(2010年全国一卷理科第20题)设分别是椭圆E:（ab0）的左、右焦点，过斜率为1的直线与E 相较于A,B两点，且,成等差数列.（)求E的离心率；（）设点P（0,-1）满足,求E的方程.解：（）由椭圆定义知，又，得.的方程为，其中.设，则A，B两点坐标满足方程组 化简得，则因为直线AB斜率为1，所以.得，故，所以E的离心率.（II）设AB的中点为，由（I）知，.
17、由，得，即.得，从而 故椭圆E的方程为.4.已知椭圆的左顶点为,是椭圆上异于点的任意一点,点与点关于点对称若椭圆上存在点,使得以线段为直径的圆过原点,求的取值范围解：设则,且因为M是线段AP的中点，所以以线段为直径的圆过原点则,OPOM,即,所以=所以（或：导数法）九、课堂总结（请学生共同完成） 运用平面向量最基本知识将解析几何问题化归为熟悉的解析几何问题，掌握向量等式坐标化这一基本思想方法，深刻理解向量的代数意义和几何意义，并学会全面分析，正确选择。（约2分钟）十、教学反思 追求有效教学必须重视“研究研究再研究”的过程。只有教师的不断研究，不断反省，才能通过专题教学，帮助学生系统地完成这类问题的研究，减轻学生的负担，提高教学效率，走进学生的心灵，使课堂充满生命活力。十一、板书设计高三二轮专题复习平面向量在解析几何中的应用一、向量等式坐标化可设可求、设而不求、待定系数法（整体代换、数形结合、化归与转化）例题1例题2（设而不求法）板书过程（1）分析过程（待定系数法求方程）（2）向量等式坐标化后的处理过程二、向量数量积与夹角的关系探究1探究2二、向量等式几何化向量的几何意义例题3高考资源网版权所有，侵权必究！
