1、8三角函数的简单应用 (15分钟30分)1.已知某人的血压满足函数解析式f(t)=24sin 160t+115,其中f(t)为血压,t为时间,则此人每分钟心跳的次数为()A.60 B.70 C.80 D.90【解析】选C.由题意得函数的周期为T=,所以频率f=80,所以此人每分钟心跳的次数为80.2.智能主动降噪耳机工作的原理:通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音,然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪声(如图).已知噪声的声波曲线y=Asin的振幅为1,周期为2,初相为0,则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线的解析式为()A.y=sin x B.y=cos xC.y=-sin
2、 x D.y=-cos x【解析】选C.由某噪声的声波曲线y=Asin(x+)(A0,0,00,0),则8时的温度大约为_(精确到1).【解析】由图象可得b=20,A=10,T=14-6=8,所以T=16=,y=10sin+20,因为最低点坐标为(6,10),所以10sin+20=10,得sin=-1,于是+=+2k(kZ),所以=+2k(kZ),取=,所以y=10sin+20.当x=8时y=10sin+20=20-513.答案:136.(2020牡丹江高一检测)如图,游乐场的摩天轮匀速旋转,每转一周需要12 min,其中心O离地面45米,半径40米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距
3、离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时,请问:当你第六次距离地面65米时,用了_分钟.【解析】设时间为t,t0,根据题意:40sin+45=65,故sin=.故t-=+2k或t-=+2k,故t=12k+4或t=12k+8,kZ.故t1=4,t2=8,t3=16,t4=20,t5=28,t6=32.答案:32 (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1=5sin,s2=10cos 2t确定,则当t= s时,s1与s2的大小关系是()
4、A.s1s2 B.s1s2C.s1=s2 D.不能确定【解析】选C.当t=时,s1=5sin=5sin=-5,当t=时,s2=10cos=10=-5,故s1=s2.2.(2020济宁高一检测)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y=3sin(x+)+k,据此可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5 B.6 C.8 D.10【解析】选C.由题意可得当sin(x+)取得最小值-1时,函数取最小值ymin=-3+k=2,所以k=5,所以y=3sin(x+)+5,因此当sin(x+)取得最大值1时,函数取最大值ymax=3+5=8.3.(2020青岛高一检测)据市场调
5、查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f=Asin+b的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可以确定f的解析式为()A.f=2sin+7B.f=9sinC.f=2sinx+7D.f=2sin【解析】选A.因为3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,所以=4,故周期T=8,所以=,又所以所以f=2sin+7,当x=3时,sin=1,因为0,0,0,2),由题意可知A=60,B=135-60=75,T=30,所以=,即f(t)=60sin+75.又因为f(0)=135-120=15,解得sin =-1,故=,所以f(t)=60
6、sin+75=-60cost+75,所以f(10)=-60cos+75=105.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.如图是某市夏季某一天的温度变化曲线,若该曲线近似地满足函数y=Asin(x+)+B(0),则下列说法正确的是()A.该函数的周期是16B.该函数图象的一条对称轴是直线x=14C.该函数的解析式是y=10sin+20(6x14)D.这一天的函数关系式也适用于第二天【解析】选AB.由题意以及函数的图象可知,A+B=30,-A+B=10,所以A=10,B=20.因为=14-6=8,所以T=16,A正确;因为T=,所以=,所以y=10
7、sin+20,因为图象经过点(14,30),所以30=10sin+20,所以sin=1,所以可以取,所以y=10sin+20(0x24),B正确,C错误;这一天的函效关系式只适用于当天,第二天这个关系式不一定适用,所以D错误.6.(2020广州高一检测)如图,一个水轮的半径为6 m,水轮轴心O距离水面的高度为3 m,已知水轮按逆时针匀速转动,每分钟转动5圈,当水轮上点P从水中浮现时的起始(图中点P0)开始计时,记f为点P距离水面的高度关于时间t的函数,则下列结论正确的是()A.f=9B.f=fC.若f6,则t(kN)D.不论t为何值,f+f+f是定值【解析】选BD.如图,以水轮所在面为坐标平面
8、,以水轮的轴心O为坐标原点,x轴和y轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系,依题意得OP在t(s)内所转过的角度为t,则POx=t-.则点P的纵坐标为y=6sin,点P距离水面的高度关于时间t(s)的函数f=6sin+3;f=6sin+3=3+3,选项A错误;f=6sin+3=3,f=6sin+3=3,f=f,选项B正确;由f6得sin,解得t,选项C错误;由f+f+f=6sin+3+6sin+3+6sin+3,展开整理得f+f+f=9为定值,选项D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.(2020福州高一检测)我们听到的美妙弦乐不是一个音在响,而是许多个纯音的合成,称为复合音.复合音的
9、响度是各个纯音响度之和.琴弦在全段振动,产生频率为f的纯音的同时,其二分之一部分也在振动,振幅为全段的,频率为全段的2倍;其三分之一部分也在振动,振幅为全段的,频率为全段的3倍;其四分之一部分也在振动,振幅为全段的,频率为全段的4倍;之后部分均忽略不计.已知全段纯音响度的数学模型是函数y1=sin t(t为时间,y1为响度),则复合音响度数学模型的最小正周期是_.【解析】因为产生频率为f的纯音的同时,其二分之一部分也在振动,振幅为全段的,频率为全段的2倍;其三分之一部分也在振动,振幅为全段的,频率为全段的3倍;其四分之一部分也在振动,振幅为全段的,频率为全段的4倍;由全段纯音响度的数学模型是函
10、数y1=sin t(t为时间,y1为响度),可得复合音响度数学模型为y=sin 2t+sin 3t+sin 4t,因为y=sin 2t的周期为=,y=sin 3t的周期为,y=sin 4t的周期为=且,的最小公倍数为2,所以y=sin 2t+sin 3t+sin 4t的周期为2.答案:28.(2020南昌高一检测)某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,将A,B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d=_,其中t.【解析】因为AOB=2=,所以根据直角三角形的边长求法得到d=25sinAOB=10sin.答案:10
11、sin四、解答题(每小题10分,共20分)9.某实验室一天的温度(单位)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系式:f(t)=12-2cos,t0,24).(1)求该实验室一天当中上午10时的温度;(2)若某实验需要在不低于13 的条件下才可以做,那么该实验应该在一天当中的哪个时间段进行?【解析】(1)因为f(t)=12-2cos,t0,24),所以f(10)=12-2cos=12-2cos=13(),所以该实验室一天当中上午10时的温度为13 .(2)令f(t)=12-2cos13,即cos-,所以2k+t-2k+,kZ,所以24k+10t24k+18,kZ.因为0t24,所以10t18,
12、故该实验应该在一天中t这个时间段进行.即10时至18时进行.10.建设生态文明,是关系人民福祉,关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场,为响应节能减排的号召,在气温超过28 时才开放中央空调降温,否则关闭中央空调.如图是该市夏季一天的气温(单位:)随时间(0t24,单位:小时)的大致变化曲线,若该曲线近似的满足函数y=Asin+b关系.(1)求函数y=f的表达式;(2)请根据(1)的结论,判断该商场的中央空调应在本天内何时开启?何时关闭?【解析】(1)由题图知,T=2=24,所以=24,得=.由题图知b=24,A=8,所以f=8sin+24.将点代入函数解析式得24+8sin=16,得+=2k-,即=2k-,又因为28,可得sin,所以2k+t-2k+,解得24k+10t24k+18,令k=0得10t18,故中央空调应在上午10时开启,下午18时关闭.关闭Word文档返回原板块
