1、第四节 二次函数与幂函数授课提示：对应学生用书第277页A组基础保分练1.已知幂函数f（x）（n22n2）xn23n（nZ）的图像关于y轴对称，且在（0，）上是减函数，则n的值为（）A.3B.1C.2 D.1或2解析：幂函数f（x）（n22n2）xn23n在（0，）上是减函数，n1，又n1时，f（x）x2的图像关于y轴对称，故n1.答案：B2.幂函数yxm24m（mZ）的图像如图所示，则m的值为（）A.0 B.1C.2 D.3解析：因为yxm24m（mZ）的图像与坐标轴没有交点，所以m24m0，即0m4.又因为函数的图像关于y轴对称，且mZ，所以m24m为偶数，因此m2.答案：C3.（2021
2、西安四校联考）已知a0.50.8，b0.80.5，c0.80.8，则（）A.cba B.cabC.abc D.acb解析：由题意，根据指数函数与幂函数的单调性，可得a0.50.80.50.5，b0.80.50.50.5，所以ba，又由c0.80.80.50.8，所以ca，又b0.80.5c0.80.8，所以acb.答案：D4.（2021惠州模拟）已知函数f（x）x2xc，若f（0）0，f（p）0，则必有（）A.f（p1）0B.f（p1）0C.f（p1）0D.f（p1）的符号不能确定解析：由题意知，f（0）c0，函数图像的对称轴为直线x，则f（1）f（0）0，设f（x）0的两根分别为x1，x2（
3、x1x2），则1x1x20，根据图像（图略）知，x1px2，故p10，f（p1）0.答案：A5.定义在R上的函数f（x）x3m与函数g（x）f（x）x3x2kx在1，1上具有相同的单调性，则k的取值范围是（）A.（，2B.2，）C.2，2D.（，22，）解析：易知定义在R上的函数f（x）x3m单调递减，所以函数g（x）x2kxm在1，1上单调递减，所以抛物线的对称轴x1，所以k2.答案：B6.（2021上海模拟）已知nN，则函数yxn（xR）与ynx（xR）图像的交点不可能（）A.只有（n，nn） B.在直线ynx上C.多于三个 D.在第二象限解析：结合函数yxn（xR）与ynx（xR）的图像
4、与单调性可知，在第一象限，最多有2个交点，在第二象限，最多有1个交点，在第三、第四象限没有交点，所以两函数图像最多只有三个交点.答案：C7.若f（x）x22ax与g（x）在区间1，2上都是减函数，则实数a的取值范围是_.解析：因为f（x）x22ax在1，2上是减函数，所以a1，又因为g（x）在1，2上是减函数，所以a0，所以0a1.答案：（0，18.设函数f（x）x21，对任意x，f4m2f（x）f（x1）4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是_.解析：由题可得14m2（x21）（x1）214（m21）恒成立，即4m21在x上恒成立.令（x）321，x，易知（x）在上为增函数，（x）min32
5、1.4m2，化简得（3m21）（4m23）0，解得m或m.答案：9.已知二次函数f（x）满足f（x1）f（x）2x，且f（0）1.（1）求f（x）的解析式；（2）当x1，1时，函数yf（x）的图像恒在函数y2xm的图像的上方，求实数m的取值范围.解析：（1）设f（x）ax2bx1（a0），由f（x1）f（x）2x，得2axab2x.所以2a2且ab0，解得a1，b1，因此f（x）的解析式为f（x）x2x1.（2）因为当x1，1时，yf（x）的图像恒在y2xm的图像上方，所以在1，1上，x2x12xm恒成立；即x23x1m在区间1，1上恒成立.所以令g（x）x23x1，因为g（x）在1，1上的最
6、小值为g（1）1，所以m1.故实数m的取值范围为（，1）.B组能力提升练1.已知函数f（x）3x22（m3）xm3的值域为0，），则实数m的取值范围为（）A.0，3 B.3，0C.（，30，） D.0，3解析：由题意知，方程f（x）0有两相等实根，2（m3）243（m3）0，解得m3或m0，实数m的取值范围为0，3.答案：A2.（2021皖江模拟）已知函数yxa，yxb，ycx的图像如图所示，则a，b，c的大小关系为（）A.cbaB.abcC.cabD.acb解析：由题中图像可知，a1，b，0c，得abc.答案：A3.当x0，1时，下列关于函数y（mx1）2的图像与y的图像交点个数说法正确的是
7、（）A.当m0，1时，有两个交点B.当m（1，2时，没有交点C.当m（2，3时，有且只有一个交点D.当m（3，）时，有两个交点解析：设f（x）（mx1）2，g（x），其中x0，1.A选项，若m0，则f（x）1与g（x）的图像在0，1上有且只有一个交点（1，1），故A选项错误；B选项，当m（1，2时，1，在0，1上，f（x）f（0）1，g（x）g（0）1，f（x）g（x）.故无交点，B选项正确；C选项，当m（2，3时，g（0）1，此时若（m1）2，两个图像无交点，若（m1）2，两个图像有1个交点，故C选项不正确；D选项，当m（3，）时，g（0）1，此时f（1）g（1），两个图像只有1个交点，故D
8、选项错误.答案：B4.（2021荆州模拟）若对任意的xa，a2，均有（3xa）38x3，则实数a的取值范围是（）A.（，2 B.（，1C.（，0 D.0，）解析：因为（3xa）38x3，yx3在R上单调递增，所以3xa2x，可得xa，即x（，a，因为对任意的xa，a2，均有（3xa）38x3成立，所以a，a2是（，a的子集，所以a2a，所以a1，即a的取值范围是（，1.答案：B5.已知函数f（x）mx2（2m）xn（m0），当1x1时，|f（x）|1恒成立，则f_.解析：当x1，1时，|f（x）|1恒成立.因此n1，f（0）1，f（1）1.由f（x）的图像可知，要满足题意，则图像的对称轴为直线
9、x0，2m0，m2，f（x）2x21，f.答案：6.若函数f（x）mx2（n1）x2（m0，n0）的单调递增区间为，则的最小值为_.解析：函数f（x）图像的对称轴为直线x，故mn1，所以（mn）2224，当且仅当mn时等号成立，从而的最小值为4.答案：47.已知函数f（x）ax2bxc（a0，bR，cR）.（1）若函数f（x）的最小值是f（1）0，且c1，F（x）求F（2）F（2）的值；（2）若a1，c0，且|f（x）|1在区间（0，1上恒成立，试求b的取值范围.解析：（1）由已知c1，f（1）abc0，且1，解得a1，b2，所以f（x）（x1）2.所以F（x）所以F（2）F（2）（21）2（
10、21）28.（2）由题意知f（x）x2bx，原命题等价于1x2bx1在（0，1上恒成立，即bx且bx在（0，1上恒成立.又当x（0，1时，x的最小值为0，x的最大值为2.所以2b0.故b的取值范围是2，0.8.（2021郑州模拟）已知函数g（x）ax22axb1（a0，b1）在区间2，3上有最大值4，最小值1.（1）求a，b的值；（2）设f（x），不等式f（2x）k2x0对x1，1恒成立，求实数k的取值范围.解析：（1）g（x）ax22axb1a（x1）2ab1，若a0，则g（x）在2，3上单调递增，g（2）b11，g（3）3ab14，解得a1，b0；若a0，则g（x）在2，3上单调递减，g（
11、2）b14，解得b3，b1，b3（舍去）.综上，a1，b0.（2）f（x），f（x）x2，不等式f（2x）k2x0对x1，1恒成立，2x2k2x0对x1，1恒成立，即k21对x1，1恒成立，x1，1，0，1，k0，故实数k的取值范围是（，0.C组创新应用练1.（2021黄陵模拟）中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，后来用它表示上、下两个底面均为矩形（不能全为正方形）、四条侧棱的延长线不交于一点的六面体.关于“刍童”体积计算的描述，九章算术注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之.各以其广乘之，并，以高乘之，六而一.”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将
12、下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为（）A. B.C.39 D.解析：设下底面的长、宽分别为x，y，则2（xy）18，xy9，则x.则“刍童”的体积为32（6x）（2x3）y（302xyy）（2x217x39）x2x，当x时，“刍童”的体积取得最大值，最大值为.答案：B2.已知f（x）x22x1a，任意xR，f（f（x）0恒成立，则实数a的取值范围为（）A. B.C.1，） D.0，）解析：设tf（x）（x1）2aa
13、，f（t）0对任意ta恒成立，即（t1）2a0对任意ta，）恒成立，当a1时，f（t）minf（1）a1，不符合题意；当a1时，f（t）minf（a）a23a1，则a23a10，得a.答案：B3.（2021沧州模拟）定义：如果在函数yf（x）的定义域内的给定区间a，b上存在x0（ax0b），满足f（x0），则称函数yf（x）是a，b上的平均值函数，x0是它的一个均值点，如yx4是1，1上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数f（x）x2mx1是1，1上的平均值函数，则实数m的取值范围是_.解析：因为函数f（x）x2mx1是1，1上的平均值函数，设x0为均值点，所以mf（x0），即关于x0的方程xmx01m在（1，1）上有实数根，解方程得x01或x0m1，所以必有1m11，即0m2，所以实数m的取值范围是（0，2）.答案：（0，2）
