1、理数第页1开学考哈尔滨市2021-2022 学年度下学期试高三数学理科试卷本试卷分为第 I 卷（选择题）和第卷（非选择题），满分 150 分，考试时间 120 分钟第 I 卷(选择题 共 60 分)一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1已知集合23|7100|Mx xNx xx，则 MN=（）A2,3B3,5C5，D2,)2在复平面内，已知平行四边形OABC 的三个顶点 O，A，C 对应的复数分别为 0，24i，32i，则点 B 对应的复数为（）A 16i B16iC5iD 15i 3已知命题 p：若2bac，则 abc，成等比数列；命题q：00,2x，使得0013s
2、incos122xx，则下列为真命题的是（）A()pqB pqC()pq D()()pq 4设 x，y 满足约束条件36204xyxyxy，则2zyx的最大值为（）A2B3C4D55.干支纪年，是指中国纪年历法，至迟在东汉初期已经普遍使用，直到今天没有间断过.干支实际上是“天干”和“地支”的合称.甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十个字叫做“天干”；子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥十二个字叫做“地支”.把天干中的一个字摆在前面，后面配上地支中的一个字，这样就构成一对干支.如果天干以“甲”字开始，地支以“子”字开始顺序组合，我们就可以得到六十对干支：甲子乙丑丙寅丁卯.癸亥，称为“六十花甲子”.干支纪年在我国历史学中广
3、泛使用，特别是近代史中很多重要历史事件的年代常用干支纪年表示.例如甲午战争戊戌变法辛亥革命等等.1911 年的辛亥革命推翻了统治中国两千多年的封建君主专制制度，建立了中国历史上第一个资产阶级共和政府，使民主共和的观念开始深入人心；1949 年中华人民共和国的成立标志着中国新民主主义革命取得胜利，开辟了中国历史的新纪元，从此，中国结束了一百多年来被侵略被奴役的屈辱历史，真正成为独立自主的国家，中国人民从此站起来了，成为国家的主人.1949 年用干支纪年法表示，是（）A戊子年B己丑年C庚寅年D己酉年6已知直线 1:240laxy与直线2:320lxay，若 12ll，则a（）A1 或 2B1C 1
4、 或 2D 17在数列 na中，120a，13nnaa （2n，*Nn），则数列 na的前 n 项和取最大值时，n 的值是（）A7B8C9D10831cos10sin 550等于（）A 2B 2C 4D 49数学家欧拉于 1765 年在其著作三角形中的几何学首次指出：ABC 的外心 O，重心 G，垂心 H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若 AB=4，AC=2，则下列各式不正确的是（）A40.AG BC B2GOGH C60AO BC DOHOAOBOC10若二项式2651()5 xx的展开式中的常数项为m，则21(2)mxx dxA 13B
5、13C23D 2311已知 P，Q 分别是正方体1111ABCDA B C D的棱1BB，1CC 上的动点(不与顶点重合)，则下列结论错误的是（）A ABPQB1AD 与 PQ 不会相交C四面体 ABPQ 的体积为定值D/AP平面11CDD C12.已知)2lg(ln,2,2ln2lncba，则A.acbB.bcaC.bacD.abc第卷（非选择题共 90 分）二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知 2,3A，4,3B，点 P 在线段 AB 的延长线上，且32APPB，则点 P 的坐标_.14伟大出自平凡，英雄来自人民.在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会
6、 6 名男生和 8 名女生骨干成员中选出 2 人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用 A 表示事件“抽到的2 名队长性别相同”，B 表示事件“抽到的 2 名队长都是男生”，则|P B A _.15在正三棱锥 PABC中，3PAPBPC，侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为_.理数第页216数列 na中，*1132,22nnaannN，且11a ，记数列 na的前 n 项和为nS，若34nSn 对任意的*nN 恒成立，则实数 的最大值为_三、解答题(本题共 6 小题，共 70 分)17.(本小题 12 分)已知cba,分别为 ABC三个内角CBA,的对边，且.3
7、2,1,7Aca(1)求b 及 ABC的面积 S.(2)若 D 为 BC 边上一点，且_，求ADB的正弦值.从1AD,6CAD这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答.18.(本小题 12 分)如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是矩形，平面 ABCD平面 SBC，SBSC，M 是 BC 的中点，AB1，BC2.(1)求证：AMSD.(2)若二面角 BSAM 的正弦值为 63，求四棱锥 SABCD 的体积.19.(本小题 12 分)已知点 F 为椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x4y21 与椭圆 E 有且仅有一个
8、交点 M.(1)求椭圆 E 的方程.(2)设直线x4y21 与 y 轴交于 P，过点 P 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A，B，若|PM|2|PA|PB|，求实数的取值范围.20.(本小题 12 分)为评估设备 M 生产某种零件的性能，从设备 M 生产零件的流水线上随机抽取 100 件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值65，标准差2.2，以频率值作为概率的估计值(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为 X，并根据
9、以下不等式进行评判(P 表示相应事件的概率)：6826.0XP；9544.022XP；9974.033XP.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备 M 的性能等级(2)将直径小于等于2或直径大于2的零件认为是次品从设备 M 的生产流水线上随意抽取 2 件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望 YE；从样本中随意抽取 2 件零件，计算其中次品个数 Z 的数学期望 ZE21.(本小题 12 分)设函数 .01ln1xxxxf(1)若 1 xkxf恒成立，求整数 k 的最大值.(2)求证：.1
10、132121132 nenn请考生在 22，23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.(本小题 10 分)在极坐标系中，曲线C 的方程044sin222，以极点O 为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系 xoy，直线0sincos:为参数，ttytxl(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于BA,两点，求OBOA 的取值范围23.(本小题 10 分)已知函数 321xxxf.(1)画出 xfy 的图象；(2)求不等式 1xf的解集11-12DAACBBACADC哈尔滨市2021-2022 学年度下学期开学考试高三数学理科答案D32.16;34
11、.15;4315.14;15,8.1319.(1)由题意，得 a2c，b 3c，则椭圆 E 为 x24c2 y23c21。由x24 y23c2，x4y21，得 x22x43c20。因为直线x4y21 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M，所以44(43c2)0c21，所以椭圆 E 的方程为x24 y231。(2)由(1)得 M 1，32，因为直线x4y21 与 y 轴交于 P(0,2)，所以|PM|254，2当直线 l 与 x 轴垂直时，|PA|PB|(2 3)(2 3)1，所以|PM|2|PA|PB|45，当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 ykx2，A(x1，y1)，B(x2
12、，y2)，由ykx23x24y2120(34k2)x216kx40，依题意得，x1x2434k2，且48(4k21)0，所以|PA|PB|(1k2)x1x2(1k2)434k21134k254，所以451134k2，因为 k214，所以451。综上所述，的取值范围是45，1。20.(1)依题意，62.8，67.2，260.6，269.4，358.4，371.6，由题表可知 P(0.682 6，P(2X2)941000.940.954 4，P(3X3)981000.980.997 4，该设备 M 的性能等级为丙(2)由题表知直径小于或等于2的零件有 2 件，大于2的零件有 4 件，共计 6 件从
13、设备 M 的生产流水线上任取一件，取到次品的频率为 6100 350，依题意 YB 2，350，故 E(Y)2 350 325.从 100 件样品中任意抽取 2 件，次品数 Z 的所有可能取值为 0，1，2.P(Z0)C60C942C1002 1 4571 650，P(Z1)C61C941C1002 1881 650，P(Z2)C62C940C1002 51 650，E(Z)01 4571 6501 1881 650251 650 1981 650 325.322.(1)由22 2sin 4 40 得，22cos2sin40，所以 x2y22x2y40，即曲线 C 的直角坐标方程为(x1)2(
14、y1)26.(2)将直线 l 的参数方程代入 x2y22x2y40 并整理得t22(sincos)t40，设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则 t1t22(sincos)，t1t240.|OA|OB|t1|t2|t1t2|2(sincos)|2 2sin 4|，因为 0，所以4454，从而得22 2sin 4 2 2.所以|OA|OB|的取值范围是0，2 2423.(1)f(x)x4，x1，3x2，132.yf(x)的图象如图所示(2)由 f(x)的表达式及图象，当 f(x)1 时，可得 x1 或 x3；当 f(x)1 时，可得 x13或 x5，故 f(x)1 的解集为x|1x3；f(x)1 的解集为 x|x5.所以|f(x)|1 的解集为x|x13或 1x5
