1、理数第页1开学考哈尔滨市2021-2022 学年度下学期试高三数学理科试卷本试卷分为第 I 卷(选择题)和第卷(非选择题),满分 150 分,考试时间 120 分钟第 I 卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1已知集合23|7100|Mx xNx xx,则 MN=()A2,3B3,5C5,D2,)2在复平面内,已知平行四边形OABC 的三个顶点 O,A,C 对应的复数分别为 0,24i,32i,则点 B 对应的复数为()A 16i B16iC5iD 15i 3已知命题 p:若2bac,则 abc,成等比数列;命题q:00,2x,使得0013s
2、incos122xx,则下列为真命题的是()A()pqB pqC()pq D()()pq 4设 x,y 满足约束条件36204xyxyxy,则2zyx的最大值为()A2B3C4D55.干支纪年,是指中国纪年历法,至迟在东汉初期已经普遍使用,直到今天没有间断过.干支实际上是“天干”和“地支”的合称.甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十个字叫做“天干”;子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥十二个字叫做“地支”.把天干中的一个字摆在前面,后面配上地支中的一个字,这样就构成一对干支.如果天干以“甲”字开始,地支以“子”字开始顺序组合,我们就可以得到六十对干支:甲子乙丑丙寅丁卯.癸亥,称为“六十花甲子”.干支纪年在我国历史学中广
3、泛使用,特别是近代史中很多重要历史事件的年代常用干支纪年表示.例如甲午战争戊戌变法辛亥革命等等.1911 年的辛亥革命推翻了统治中国两千多年的封建君主专制制度,建立了中国历史上第一个资产阶级共和政府,使民主共和的观念开始深入人心;1949 年中华人民共和国的成立标志着中国新民主主义革命取得胜利,开辟了中国历史的新纪元,从此,中国结束了一百多年来被侵略被奴役的屈辱历史,真正成为独立自主的国家,中国人民从此站起来了,成为国家的主人.1949 年用干支纪年法表示,是()A戊子年B己丑年C庚寅年D己酉年6已知直线 1:240laxy与直线2:320lxay,若 12ll,则a()A1 或 2B1C 1
4、 或 2D 17在数列 na中,120a,13nnaa (2n,*Nn),则数列 na的前 n 项和取最大值时,n 的值是()A7B8C9D10831cos10sin 550等于()A 2B 2C 4D 49数学家欧拉于 1765 年在其著作三角形中的几何学首次指出:ABC 的外心 O,重心 G,垂心 H,依次位于同一条直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,该直线被称为欧拉线.若 AB=4,AC=2,则下列各式不正确的是()A40.AG BC B2GOGH C60AO BC DOHOAOBOC10若二项式2651()5 xx的展开式中的常数项为m,则21(2)mxx dxA 13B
5、13C23D 2311已知 P,Q 分别是正方体1111ABCDA B C D的棱1BB,1CC 上的动点(不与顶点重合),则下列结论错误的是()A ABPQB1AD 与 PQ 不会相交C四面体 ABPQ 的体积为定值D/AP平面11CDD C12.已知)2lg(ln,2,2ln2lncba,则A.acbB.bcaC.bacD.abc第卷(非选择题共 90 分)二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13已知 2,3A,4,3B,点 P 在线段 AB 的延长线上,且32APPB,则点 P 的坐标_.14伟大出自平凡,英雄来自人民.在疫情防控一线,北京某大学学生会自发从学生会
6、 6 名男生和 8 名女生骨干成员中选出 2 人作为队长率领他们加入武汉社区服务队,用 A 表示事件“抽到的2 名队长性别相同”,B 表示事件“抽到的 2 名队长都是男生”,则|P B A _.15在正三棱锥 PABC中,3PAPBPC,侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为60,则该三棱锥外接球的体积为_.理数第页216数列 na中,*1132,22nnaannN,且11a ,记数列 na的前 n 项和为nS,若34nSn 对任意的*nN 恒成立,则实数 的最大值为_三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分)17.(本小题 12 分)已知cba,分别为 ABC三个内角CBA,的对边,且.3
7、2,1,7Aca(1)求b 及 ABC的面积 S.(2)若 D 为 BC 边上一点,且_,求ADB的正弦值.从1AD,6CAD这两个条件中任选一个,补充在上面问题中,并作答.18.(本小题 12 分)如图,在四棱锥 SABCD 中,底面 ABCD 是矩形,平面 ABCD平面 SBC,SBSC,M 是 BC 的中点,AB1,BC2.(1)求证:AMSD.(2)若二面角 BSAM 的正弦值为 63,求四棱锥 SABCD 的体积.19.(本小题 12 分)已知点 F 为椭圆 E:x2a2y2b21(ab0)的左焦点,且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,直线x4y21 与椭圆 E 有且仅有一个
8、交点 M.(1)求椭圆 E 的方程.(2)设直线x4y21 与 y 轴交于 P,过点 P 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A,B,若|PM|2|PA|PB|,求实数的取值范围.20.(本小题 12 分)为评估设备 M 生产某种零件的性能,从设备 M 生产零件的流水线上随机抽取 100 件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表:直径/mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算,样本的平均值65,标准差2.2,以频率值作为概率的估计值(1)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为 X,并根据
9、以下不等式进行评判(P 表示相应事件的概率):6826.0XP;9544.022XP;9974.033XP.评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙;若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁,试判断设备 M 的性能等级(2)将直径小于等于2或直径大于2的零件认为是次品从设备 M 的生产流水线上随意抽取 2 件零件,计算其中次品个数Y 的数学期望 YE;从样本中随意抽取 2 件零件,计算其中次品个数 Z 的数学期望 ZE21.(本小题 12 分)设函数 .01ln1xxxxf(1)若 1 xkxf恒成立,求整数 k 的最大值.(2)求证:.1
10、132121132 nenn请考生在 22,23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(本小题 10 分)在极坐标系中,曲线C 的方程044sin222,以极点O 为原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系 xoy,直线0sincos:为参数,ttytxl(1)求曲线C 的直角坐标方程;(2)设直线l 与曲线C 相交于BA,两点,求OBOA 的取值范围23.(本小题 10 分)已知函数 321xxxf.(1)画出 xfy 的图象;(2)求不等式 1xf的解集11-12DAACBBACADC哈尔滨市2021-2022 学年度下学期开学考试高三数学理科答案D32.16;34
11、.15;4315.14;15,8.1319.(1)由题意,得 a2c,b 3c,则椭圆 E 为 x24c2 y23c21。由x24 y23c2,x4y21,得 x22x43c20。因为直线x4y21 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M,所以44(43c2)0c21,所以椭圆 E 的方程为x24 y231。(2)由(1)得 M 1,32,因为直线x4y21 与 y 轴交于 P(0,2),所以|PM|254,2当直线 l 与 x 轴垂直时,|PA|PB|(2 3)(2 3)1,所以|PM|2|PA|PB|45,当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 ykx2,A(x1,y1),B(x2
12、,y2),由ykx23x24y2120(34k2)x216kx40,依题意得,x1x2434k2,且48(4k21)0,所以|PA|PB|(1k2)x1x2(1k2)434k21134k254,所以451134k2,因为 k214,所以451。综上所述,的取值范围是45,1。20.(1)依题意,62.8,67.2,260.6,269.4,358.4,371.6,由题表可知 P(0.682 6,P(2X2)941000.940.954 4,P(3X3)981000.980.997 4,该设备 M 的性能等级为丙(2)由题表知直径小于或等于2的零件有 2 件,大于2的零件有 4 件,共计 6 件从
13、设备 M 的生产流水线上任取一件,取到次品的频率为 6100 350,依题意 YB 2,350,故 E(Y)2 350 325.从 100 件样品中任意抽取 2 件,次品数 Z 的所有可能取值为 0,1,2.P(Z0)C60C942C1002 1 4571 650,P(Z1)C61C941C1002 1881 650,P(Z2)C62C940C1002 51 650,E(Z)01 4571 6501 1881 650251 650 1981 650 325.322.(1)由22 2sin 4 40 得,22cos2sin40,所以 x2y22x2y40,即曲线 C 的直角坐标方程为(x1)2(
14、y1)26.(2)将直线 l 的参数方程代入 x2y22x2y40 并整理得t22(sincos)t40,设 A,B 对应的参数分别为 t1,t2,则 t1t22(sincos),t1t240.|OA|OB|t1|t2|t1t2|2(sincos)|2 2sin 4|,因为 0,所以4454,从而得22 2sin 4 2 2.所以|OA|OB|的取值范围是0,2 2423.(1)f(x)x4,x1,3x2,132.yf(x)的图象如图所示(2)由 f(x)的表达式及图象,当 f(x)1 时,可得 x1 或 x3;当 f(x)1 时,可得 x13或 x5,故 f(x)1 的解集为x|1x3;f(x)1 的解集为 x|x5.所以|f(x)|1 的解集为x|x13或 1x5