1、模块综合评价(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1设复数z满足z，则|z|()A3B.C9 D10解析：z2i，|2i|3.答案：A2当函数yxex取极小值时，x()A2 B2C1 D1解析：由函数求导有：yexxexex(x1)，当x1时，y1时，y0，函数yxex单调递增；则x1时，函数yxex取得极小值答案：D3用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x2axb0没有实根B方程x2axb0至多有一个实根C方程x2axb0至多有两个实根
2、D方程x2axb0恰好有两个实根解析：反证法的步骤第一步是假设命题反面成立，而“至少有一个根”的否定是“没有”答案：A4给出下列三个类比推理的结论：类比axayaxy，则有axayaxy；类比loga(xy)logaxlogay，则有sin()sin sin ；类比(ab)2a22abb2，则有()222 2.其中，结论正确的个数是()A1 B2 C3 D4解析：只有的结论是正确的答案：B5某个命题与正整数n有关，若nk(kN*)时命题成立，那么可推得当nk1时该命题也成立现已知当n5时，该命题不成立，那么可推得()A当n6时，该命题不成立B当n6时，该命题成立C当n4时，该命题不成立D当n4
3、时，该命题成立解析：由题意可知，命题对n4不成立(否则对n5成立)故选C.答案：C6若两曲线yx2与ycx3(c0)围成的图形面积是，则c()A1 B. C. D2解析：令x2cx3(c0)解得x0或x，于是两曲线yx2与ycx3(c0)围成的面积S0(x2cx3)dx0，所以c，故选B.答案：B7已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则2.”若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，若BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则()A1 B2 C3 D4解析：由题知，O为正四面体的外接球、内切球球心，设正四面体的高
4、为h，由等体积法可求内切球半径为h，外接球半径为h，所以3.答案：C8在下列命题中，正确命题的个数是()两个复数不能比较大小；复数zi1对应的点在第四象限；若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则实数x1；若(z1z2)2(z2z3)20，则z1z2z3.A0 B1C2 D3解析：对于命题，不能说两个复数不能比较大小，如复数3和4就可比较大小，所以该命题是错误的对于命题，复数zi1对应的点在第二象限，所以该命题是错误的对于命题，若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则x210且x23x20，所以x1，所以该命题是错误的对于命题，若(z1z2)2(z2z3)20，可以z1i，z20，z31，所以
5、该命题是错误的答案：A9已知f(x)x2cos x，f(x)为f(x)的导函数，则f(x)的图象是()解析：因为f(x)x2cos x，所以f(x)xsin x，yf(x)为奇函数，所以图象关于原点对称，排除B，D，又因为f(1)2时，x24，所以a4，故选D.答案：D11曲线f(x)x3x2在点P处的切线平行于直线y4x1，则点P的坐标为()A(1，0) B(1，4)C(1.4) D(1，0)或(1，4)解析：f(x)3x21，设点P坐标为P(x0，y0)，则切线斜率kf(x0)3x14，得x1，所以x01或x01，对应的y00或y04.答案：D12张师傅欲将一球形的石材工件削砍加工成一圆柱
6、形的新工件，已知原球形工件的半径为2，则张师傅的材料利用率的最大值等于()A.B. C.D.解析：设球半径为R，圆柱半径为r，圆柱的体积为Vr2hh，所以令V0，所以hR时圆柱的体积最大为RR3，因此材料利用率.答案：C二填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13复数z满足(1i)z|i|，则z()_解析：因为(1i)z|i|2，所以z1i，所以z()1i.答案：1i14变速直线运动的物体的速度为v(t)1t2(m/s)(其中t为时间，单位：s)，则它在前2s内所走过的路程为_m.解析：令v(t)0得t1，当t(0，1)时，v(t)0；当t(1，2)时，v(t)0，
7、所以物体所走的路程为(1t2)dt(t21)dt12.答案：215观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n2)个点，第n个图案中圆点的总数是Sn.n2，S24；n3，S38；n4，S412；.按此规律，推出Sn与n的关系式为_解析：依图的构造规律可以看出：S2244，S3344，S4444(正方形四个顶点重复计算一次，应减去)猜想：Sn4n4(n2，nN*)答案：Sn4n4(n2，nN*)16已知函数f(x)ax(b0)的图象在点P(1，f(1)处的切线与直线x2y10垂直，且函数f(x)在区间上是单调递增的，则b的最大值等于_解析：函数f(x)ax(b0)的导数为f(x)a，在点P(1，f(
8、1)处的切线斜率为kab，由切线与直线x2y10垂直，可得kab2，即ab2，由函数f(x)在区间上单调递增可得a0在区间上恒成立，即有(x2)min，由x可得x2的最小值为，即有，由b0，可得b，则b的最大值为.答案：三解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知复数z满足|z|，z的虚部为1，且在复平面内表示的点位于第二象限(1)求复数z；(2)若m2mmz2是纯虚数，求实数m的值解：(1)设zabi，(a，bR)，则a2b22，b1.因为在复平面内表示的点位于第二象限，所以a0，f(x)在(，1)上是增函数；当x(1，1)时，
9、f(x)0，f(x)在(1，)上是增函数(2)由f(2)0，得a.当a，x2，)时，f(x)3(x22ax1)33(x2)0，所以f(x)在2，)上是增函数，于是当x2，)时，f(x)f(2)0.综上，a的取值范围是.19(本小题满分12分)已知ABC的三边长为a，b，c，且其中任意两边长均不相等.，成等差数列(1)比较与的大小，并证明你的结论；(2)求证：B不可能是钝角(1)解：大小关系为，证明如下：要证，只需证，由题意知a，b，c0，只需证b2ac，因为，成等差数列，所以2，所以b2ac，又a，b，c任意两边均不相等，所以b2ac成立故所得大小关系正确(2)证明：假设B是钝角，则cos B
10、0，而cos B0.这与cos B0矛盾，故假设不成立所以B不可能是钝角20(本小题满分12分)苏州市举办“广电狂欢购物节”促销活动，某厂商拟投入适当的广告费，对所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在狂欢购物节的销售量p(万件)与广告费用x(万元)满足p3(其中0xa，a为正常数)已知生产该批产品p万件还需投入成本(102p)万元(不含广告费用)，产品的销售价格定为元/件，假定厂商生产的产品恰好能够售完(1)将该产品的利润y(万元)表示为广告费用x(万元)的函数；(2)问广告投入多少万元时，厂商的利润最大？解：(1)由题意知，ypx(102p)，将p3代入化简得y16x(0xa，a为正常数
11、)(2)由(1)知y1(0xa，a为正常数)当a1时，在区间(0，1)上，y0，函数在(0，1)上单调递增；在区间(1，a)上，y1时，广告费用投入1万元，厂商的利润最大；当a1时，广告费用投入a万元，厂商的利润最大21(本小题满分12分)已知函数f(x)ln(ax1)，x0，其中a0.(1)若f(x)在x1处到得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围解：(1)f(x)，因为f(x)在x1处取得极值，所以f(1)0，即0，解得a1.(2)由(1)知f(x)，因为x0，a0，所以ax10.当a2时，在区间0，)上，f(x)0，所以f(x)的单调增
12、区间为0，)当0a0解得x ，由f(x)0解得x ，所以f(x)的单调减区间为，单调增区间为.综上可知，当a2时，f(x)的单调增区间为0，)；当0a2时，f(x)的单调减区间为，单调增区间为.(3)当a2时，由(2)知，f(x)的最小值为f(0)1，当0a2时，由(2)知，f(x)在x处取得最小值，最小值为ff(0)1，综上可知，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围是2，)22(本小题满分12分)(2018全国卷)已知函数f(x)xaln x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：2，令f(x)0，得x或x.当x(0，)，(，)时，f(x)0.所以f(x)在(0，)，(，)上单调递减，在(，)上单调递增(2)由(1)知，f(x)存在两个极值点，当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2ax10，所以x1x21，不妨设x11.由于1a2a2a，所以a2等价于x22ln x20.设函数g(x)x2ln x，由(1)知，g(x)在(0，)上单调递减又g(1)0，从而当x(1，)时，g(x)0.所以x22ln x20，即a2.
