1、要点导学各个击破导数的几何意义例1已知曲线y=x3+.(1) 求曲线在点P(2,4)处的切线方程;(2) 求曲线过点P(2,4)的切线方程;(3) 求斜率为1的曲线的切线方程.【分析】(1) 因为点P(2,4)在曲线上,所以可求出切线的斜率,从而可求出切线方程;(2) 求过点P(2,4)的切线方程,可能该点是切点,也可能不是;(3) 求斜率为1的曲线的切线方程,首先要求出切点.【解答】(1) 因为点P(2,4)在曲线y=x3+上,且y=x2,所以在点P(2,4)处的切线的斜率k=4,所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2) 设曲线y=x3+与过点P
2、(2,4)的切线相切于点A,则切线的斜率k=,所以切线方程为y-=(x-x0),即y=x-+.因为点P(2,4)在切线上,所以4=2-+,即-3+4=0,所以+-4+4=0,所以(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,所以(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.(3) 设切点为(x0,y0),则切线的斜率为=1,x0=1.因为切点为(-1,1)或,所以切线方程为y-1=x+1或y-=x-1,即x-y+2=0或3x-3y+2=0.【点评】解决函数切线的相关问题,需抓住以下关键点:(1) 切点是交点;(2) 在切点处的导数
3、是切线的斜率.因此,解决此类问题,一般要设出切点,建立关系方程组;(3) 求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异.过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上;在点P处的切线,点P是切点.变式设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为7x-4y-12=0.(1) 求函数y=f(x)的解析式;(2) 求证:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.【解答】(1) 方程7x-4y-12=0可化为y=x-3.当x=2时,y=.又f(x)=a+,于是解得故f(x)=x-.(2) 设P
4、(x0,y0)为曲线上任一点,由y=1+知,曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-=(x-x0).令x=0,得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x,得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.利用导数研究函数的单调性例2设函数f(x)=,x0.(1) 判断函数f(x)在(0,+)上的单调性;(2) 求证:对任意正数a,存在正数x,使不等式|f
5、(x)-1|0时,h(x)=xex0,所以h(x)是(0,+)上的增函数,所以h(x)h(0)=0,故f(x)=0,即函数f(x)在(0,+)上单调递增.(2) |f(x)-1|=,当x0时,令g(x)=ex-x-1,则g(x)=ex-10,故g(x)g(0)=0,所以|f(x)-1|=,原不等式化为a,即ex-(1+a)x-10.令(x)=ex-(1+a)x-1,则(x)=ex-(1+a),由(x)=0,得ex=1+a,解得x=ln(1+a).当0xln(1+a)时,(x)ln(1+a)时,(x)0.故当x=ln(1+a)时,(x)取得最小值(ln(1+a)=a-(1+a)ln(1+a).令
6、s(a)=-ln(1+a),a0,则s(a)=-=-0,故s(a)s(0)=0,即(ln(1+a)=a-(1+a)ln(1+a)0.对任意正数a,存在正数x,不等式|f(x)-1|0和f(x)0;根据的结果确定函数f(x)的单调区间.解题过程中要注意对含参数的函数的单调性进行讨论.利用导数研究函数的极值(最值)问题例3设函数f(x)=x3+mx2+nx.(1) 如果g(x)=f(x)-2x-3在x=-2处取得最小值-5,求函数f(x)的解析式;(2) 如果m+n10(m,nN*),且f(x)的单调减区间的长度是正整数,试求m,n的值.(注:区间(a,b)的长度为b-a)【分析】(1) 在x=-
7、2处取得最小值-5,可得出两个方程;(2) 单调递减,说明f(x)0恒成立.所以问题转化为二次不等式的问题.【解答】(1) 已知函数f(x)=x3+mx2+nx,对其求导,得f(x)=x2+2mx+n.又因为g(x)=f(x)-2x-3=x2+(2m-2)x+n-3,所以g(x)=2x+2m-2.又g(x)在x=-2处取极值,则g(-2)=2(-2)+(2m-2)=0,解得m=3,又g(x)在x=-2处取最小值-5.则g(-2)=(-2)2+(-2)4+n-3=-5,解得n=2.所以f(x)=x3+3x2+2x.(2) 要使f(x)=x3+mx2+nx单调递减,则f(x)=x2+2mx+n0恒
8、成立.又减区间长度是正整数,设f(x)=x2+2mx+n=0两根分别为a,b,则b-a为区间长度.又b-a=2(m,nN*).又b-a为正整数,且m+n0,b0,求证:函数f(x)在区间1,2上是增函数;若f(2) 0,f(-2)0,所以当x时,f(x)0,f(x)是增函数.所以当x=时,f(x)取得极小值且极小值为4.(2) 由(1)知f(x)=(ax2+bx-b),令g(x)=ax2+bx-b.因为a0,b0,所以二次函数g(x)的图象开口向上,对称轴x=-0,所以g(x)0对一切x1,2恒成立.又0,所以f(x)0对一切x(1,2)恒成立.因为f(x)的函数图象是不间断的,所以f(x)在
9、区间1,2上是增函数.因为f(2)0,f(-2)e-2,所以即(*)由知函数f(x)在区间1,2上是增函数,所以f(x)0对x(1,2)恒成立.则g(x)=ax2+bx-b0对x(1,2)恒成立.所以(*)在(*)(*)的条件下,可知b0且1-2,且g=-b0恒成立.综上,点(a,b)满足的线性约束条件是由所有点(a,b)形成的平面区域为OAB(如图阴影部分所示),(变式)其中A,B,C(1,0).则SOAB=SOAC-SOBC=,即由所求点(a,b)组成的平面区域的面积为.利用导数解决实际问题例4某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和
10、10万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件:报销的医疗费用y(单位:万元)随医疗总费用x(单位:万元)增加而增加;报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%;报销的医疗费用不得超过8万元.(1) 请你分析该单位能否采用函数模型y=0.05(x2+4x+8)作为报销方案;(2) 若该单位决定采用函数模型y=x-2lnx+a(a为常数)作为报销方案,请你确定整数a的值.(参考数据:ln20.69,ln102.3)【分析】(1) 方案(1)是二次函数模型,应注意检验最值与部分值的关系.(2) 方案(2)是非常规函数模型,只有通过求导来求极值.【解答】(1) 函数y=0.05(x2+4x+8)
11、在2,10上是增函数,满足条件.当x=10时,y有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件.但当x=3时,y=0,得x4;由g(x)4.所以g(x)在(0,4)上是增函数,在(4,10)上是减函数.所以ag(4)=2ln4-2=4ln2-2.由条件,得f(10)=10-2ln10+a8,解得a2ln10-2.另一方面,由x-2lnx+ax,得a2lnx在x2,10上恒成立,所以a2ln2.综上所述,实数a的取值范围为4ln2-2,2ln2,所以满足条件的整数a的值为1.【点评】在求实际问题的最值时,一般先找出自变量的因变量,建立函数关系式,并确定其定义域,然后利用导数求解相关的最值问题,注意实际
12、问题的意义,不符合的解要舍去.变式(2014徐州、宿迁三检)根据统计资料,某工艺品厂的日产量最多不超过20件,每日产品废品率p与日产量x(单位:件)之间近似地满足关系式p=(日产品废品率=100%).已知每生产一件正品可赢利2千元,而生产一件废品则亏损1千元.(该车间的日利润y=日正品赢利额-日废品亏损额)(1) 将该车间日利润y(单位:千元)表示为日产量x(单位:件)的函数;(2) 当该车间的日产量为多少件时,日利润最大?最大日利润是几千元?【解答】(1) 由题意可知y=2x(1-p)-px=(2) 考虑函数f(x)=当1x9时,f(x)=2-,令f(x)=0,得x=15-3.当1x0,函数
13、f(x)在1,15-3)上单调递增;当15-3x9时,f(x),所以当该车间的日产量为10件时,日利润最大,最大利润为千元.1. (2014南京学情调研)曲线y=x+sinx在点(0,0)处的切线方程是.【答案】y=2x【解析】y=1+cosx,故曲线在点(0,0)处的切线的斜率k=2,故切线方程为y=2x.2. (2014常州期末)若曲线C1:y=3x4-ax3-6x2与曲线C2:y=ex在x=1处的切线互相垂直,则实数a的值为. 【答案】【解析】通过求导,求出两曲线在x=1处的切线斜率分别是-3a和e.又两条曲线在x=1处的切线互相垂直,所以有(-3a)e=-1,即a=.3. (2014苏
14、中三市、宿迁调研(一)若函数f(x)=x3+ax2+bx为奇函数,其图象的一条切线方程为y=3x-4,则实数b的值为.【答案】-3【解析】因为f(x)是奇函数,所以a=0,f(x)=x3+bx.设f(x)在点(x0,y0)处的切线为y=3x-4,得解得b=-3.4. (2014淮安、宿迁摸底)已知函数f(x)=alnx-ax-3(aR).(1) 当a0时,求函数f(x)的单调区间;(2) 若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线的倾斜角为45,且函数g(x)=x2+nx+mf(x)(m,nR)当且仅当在x=1处取得极值,其中f(x)为f(x)的导函数,求实数m的取值范围;(3) 若函
15、数y=f(x)在区间内的图象上存在两点,使得在该两点处的切线相互垂直,求实数a的取值范围.【解答】(1) 由题知f(x)=(x0).当a0时,令f(x)0,得0x1;令f(x)1.故函数f(x)的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+).(2) 函数y=f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线的倾斜角为45,则f(2)=tan45=1,解得a=-2.所以g(x)=x2+nx+m,所以g(x)=x+n+=.因为g(x)在x=1处有极值,故g(1)=0,从而可得n=-1-2m,则g(x)=.又因为g(x)仅在x=1处有极值,所以x2-2mx-2m0在(0,+)上恒成立.当m0时,由-2m0,即存在x0(0,+),使得-2mx0-2m0不成立,故m0.又m0且x(0,+)时,x2-2mx-2m0恒成立,所以实数m的取值范围是m|m0.(3) 由f(x)=(x0),得(0,1)与(1,+)分别为f(x)的两个不同的单调区间.因为f(x)在两点处的切线相互垂直,所以这两个切点一定分别在两个不同的单调区间内.故可设存在的两点分别为(x1,f(x1),(x2,f(x2),其中x11x22a2.由x20,得2a2-10,则x2.又1x23,则,所以a或a-,即实数a的取值范围为.
