1、第2讲动能定理及应用知识要点一、动能1.定义：物体由于运动而具有的能叫动能。2.公式：Ekmv2。3.单位：焦耳，1 J1 Nm1 kgm2/s2。4.矢标性：动能是标量，只有正值。5.状态量：动能是状态量，因为v是瞬时速度。二、动能定理1.内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。2.表达式：Wmvmv或WEk2Ek1。3.物理意义：合外力的功是物体动能变化的量度。4.适用条件(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动。(2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功。(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以间断作用。基础诊断1.(多选)关于动能的理解，下列说
2、法正确的是()A.动能是机械能的一种表现形式，凡是运动的物体都具有动能B.动能总为非负值C.一定质量的物体动能变化时，速度不一定变化，但速度变化时，动能一定变化D.动能不变的物体，一定处于平衡状态解析由动能的定义和特点知，A、B项正确；动能是标量而速度是矢量，当动能变化时，速度的大小一定变化；而速度的变化可能只是方向变了，大小未变，则动能不变，且物体有加速度，处于非平衡状态，故C、D项均错误。答案AB2.(2018全国卷，14)如图1，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路面运动至具有某一速度。木箱获得的动能一定()图1A.小于拉力所做的功B.等于拉力所做的功C.等于克服摩擦力所做的
3、功D.大于克服摩擦力所做的功解析由动能定理WFWfEk0，可知木箱获得的动能一定小于拉力所做的功，A正确。答案A3.两辆汽车在同一平直路面上行驶，它们的质量之比，m1m212，速度之比v1v221，当两车急刹车后，甲车滑行的最大距离为s1，乙车滑行的最大距离为s2，设两车与路面间的动摩擦因数相等，不计空气阻力，则()A.s1s212 B.s1s211C.s1s221 D.s1s241解析由动能定理，对两车分别列式f1s10m1v，f2s20m2v，f1m1g，f2m2g，由以上四式联立得s1s241，故选项D正确。答案D对动能定理的理解及应用1.对“外力”的两点理解(1)“外力”指的是合外力，
4、可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或其他力，它们可以同时作用，也可以不同时作用。(2)“外力”既可以是恒力，也可以是变力。2.公式W合Ek中“”体现的三个关系【例1】 (多选)如图2所示，一块长木板B放在光滑的水平面上，在B上放一物体A，现以恒定的外力拉B，由于A、B间摩擦力的作用，A将在B上滑动，以地面为参考系，A、B都向前移动一段距离。在此过程中()图2A.外力F做的功等于A和B动能的增量B.B对A的摩擦力所做的功等于A的动能的增量C.A对B的摩擦力所做的功等于B对A的摩擦力所做的功D.外力F对B做的功等于B的动能的增量与B克服摩擦力所做的功之和解析A物体所受的合外力等于B对A的摩擦
5、力，对A物体运用动能定理，则有B对A的摩擦力所做的功等于A的动能的增量，B正确；A对B的摩擦力与B对A的摩擦力是一对作用力与反作用力，大小相等，方向相反，但是由于A在B上滑动，A、B相对地的位移不相等，故二者做功不相等，C错误；对B应用动能定理WFWfEkB，WFEkBWf，即外力F对B做的功等于B的动能的增量与B克服摩擦力所做的功之和，D正确；根据功能关系可知，外力F做的功等于A和B动能的增量与产生的内能之和，故A错误。答案BD1.(多选)如图3所示，质量为M的木块静止在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v0沿水平方向射入木块，并最终留在木块中与木块一起以速度v运动。已知当子弹相对木块静止
6、时，木块前进的距离为L，子弹进入木块的深度为s。若木块对子弹的阻力F视为恒定，则下列关系式中正确的是()图3A.FLMv2B.Fsmv2C.Fsmv(Mm)v2D.F(Ls)mvmv2解析根据动能定理，对子弹，有F(Ls)mv2mv，选项D正确；对木块，有FLMv2，选项A正确；由以上二式可得Fsmv(Mm)v2，选项C正确，只有选项B错误。答案ACD2.(多选)用力F拉着一个物体从空中的a点运动到b点的过程中，重力做功3 J，拉力F做功8 J，空气阻力做功0.5 J，则下列判断正确的是()A.物体的重力势能增加了3 JB.物体的重力势能减少了3 JC.物体的动能增加了4.5 JD.物体的动能
7、增加了8 J解析因为重力做功3 J，所以重力势能增加3 J，A正确，B错误；根据动能定理W合Ek，得Ek3 J8 J0.5 J4.5 J，C正确，D错误。答案AC3.如图4所示，小物块从倾角为的倾斜轨道上A点由静止释放滑下，最终停在水平轨道上的B点，小物块与水平轨道、倾斜轨道之间的动摩擦因数均相同，A、B两点的连线与水平方向的夹角为，不计物块在轨道转折时的机械能损失，则动摩擦因数为()图4A.tan B.tan C.tan() D.tan()解析如图所示，设B、O间距离为s1，A点离水平面的高度为h，A、O间的水平距离为s2，物块的质量为m，在物块运动的全过程中，应用动能定理可得mghmgco
8、s mgs10，解得tan ，故选项B正确。答案B动能定理在多过程问题中的应用1.多过程问题的分析方法(1)将“多过程”分解为许多“子过程”，各“子过程”间由“衔接点”连接。(2)对各“衔接点”进行受力分析和运动分析，必要时画出受力图和过程示意图。(3)根据“子过程”和“衔接点”的模型特点选择合理的物理规律列方程。(4)分析“衔接点”速度、加速度等的关联，确定各段间的时间关联，并列出相关的辅助方程。(5)联立方程组，分析求解，对结果进行必要的验证或讨论。(6)分析的思路2.利用动能定理求解多过程问题的基本思路【例2】 (20194月浙江选考，20)某砂场为提高运输效率，研究砂粒下滑的高度与砂粒
9、在传送带上运动的关系，建立如图5所示的物理模型。竖直平面内有一倾角37的直轨道AB，其下方右侧放置一水平传送带，直轨道末端B与传送带间距可近似为零，但允许砂粒通过。转轮半径R0.4 m、转轴间距L2 m的传送带以恒定的线速度逆时针转动，转轮最低点离地面的高度H2.2 m。现将一小物块放在距离传送带高h处静止释放，假设小物块从直轨道B端运动到达传送带上C点时，速度大小不变，方向变为水平向右。已知小物块与直轨道和传送带间的动摩擦因数均为0.5。(sin 370.6，g取10 m/s2)图5(1)若h2.4 m，求小物块到达B端时速度的大小；(2)若小物块落到传送带左侧地面，求h需要满足的条件；(3
10、)改变小物块释放的高度h，小物块从传送带的D点水平向右抛出，求小物块落地点到D点的水平距离x与h的关系式及h需要满足的条件。解析(1)小物块由静止释放到B的过程中，有mgsin mgcos mav2a解得vB4 m/s。(2)若要小物块落到传送带左侧地面，设当小物块到达传送带上D点时速度为零时，小物块从距传送带高度为h1处由静止释放，则有mgh1mgcos mgL0解得h13.0 m当hh13.0 m时满足题中条件。(3)当小物块从右侧抛出时，设小物块到达D点的速度为v，则有mghmgcos mgLmv2H2Rgt2，xvt解得x2(m)为使小物块能在D点水平向右抛出，则需满足mg解得h3.6
11、 m。答案(1)4 m/s(2)h3.0 m(3)x2(m)h3.6 m1.如图6甲所示为一景区游乐滑道，游客坐在座垫上沿着花岗岩滑道下滑，他可依靠手、脚与侧壁间的摩擦来控制下滑速度。滑道简化图如乙所示，滑道由AB、BC、CD三段组成，各段之间平滑连接。AB段和CD段与水平面夹角为1，竖直距离均为h0，BC段与水平面夹角为2，竖直距离为h0。 一质量为m的游客从A点由静止开始下滑，到达底端D点时的安全速度不得大于，已知sin 1、sin 2，座垫与滑道底面间摩擦及空气阻力均不计，若未使用座垫，游客与滑道底面间的摩擦力大小f恒为重力的0.1倍，运动过程中游客始终不离开滑道，问：图6(1)游客使用
12、座垫自由下滑(即与侧壁间无摩擦)，则游客在BC段增加的动能Ek多大？(2)若游客未使用坐垫且与侧壁间无摩擦下滑，则游客到达D点时是否安全；(3)若游客使用座垫下滑，则克服侧壁摩擦力做功的最小值。解析(1)由动能定理得Ekmgh0。(2)在AD段，由动能定理得mg(h0h0h0)0.1mg()mv0，解得vD，到达D点时不安全。(3)整个过程，由动能定理得mg(h0h0h0)WmvD0，解得W1.5mgh0。答案(1)mgh0(2)不安全(3)1.5mgh02.在港珠澳大桥6.7千米海底隧道的两端各建有一个人工岛，两人工岛及隧道路面可简化成如图7所示，各部分的长度已在图中标出，其中倾斜路面与水平
13、路面之间有一小段圆弧连接，重力加速度为g。图7(1)假设汽车在倾斜路面上运动所受阻力和在水平路面上运动所受阻力相等。若汽车关闭发动机后刚好能够从左侧倾斜路面向下匀速运动，求汽车关闭发动机以速度v0从左侧倾斜路面的最高点向下运动后，能够在水平路面上运动的距离s(sL2)；(2)已知质量为m、额定功率为P的汽车在水平路面上行驶的最大速度为vm1，若汽车在水平路面上以加速度a匀加速启动，求汽车做匀加速运动的时间；(3)已知质量为m、额定功率为P的汽车在图中右侧倾斜路面上向上行驶的最大速度为vm2，求汽车以额定功率在右侧倾斜路面上向上行驶速度为v1(v1vm2)时的加速度大小。解析(1)左侧路面与水平
14、面的夹角记为，由共点力的平衡条件可得汽车在左侧路面上运动所受的阻力大小f1mgsin ，sin 汽车运动到水平路面时速度为v0，由动能定理得f1s0mv，联立解得s。(2)汽车启动过程中达到最大速度vm1时，牵引力等于阻力，则Pf2vm1，解得阻力f2；在匀加速启动过程中，汽车做匀加速运动的牵引力记为F、达到额定功率时的速度记为v、时间记为t，则PFv，vat，Ff2ma联立解得t。(3)由PF阻vm2(F阻包含重力沿斜面向下的分力)，解得阻力F阻当汽车速度为v1时牵引力F1由牛顿第二定律有F1F阻ma1，联立解得a1。答案(1)(2)(3)动能定理与图象结合的问题1.图象所围“面积”或“斜率
15、”的含义2.解决动能定理与图象问题的基本步骤【例3】 (2019全国卷，17)从地面竖直向上抛出一物体，物体在运动过程中除受到重力外，还受到一大小不变、方向始终与运动方向相反的外力作用。距地面高度h在3 m以内时，物体上升、下落过程中动能Ek随h的变化如图8所示。重力加速度取10 m/s2。该物体的质量为()图8A.2 kg B.1.5 kgC.1 kg D.0.5 kg解析画出运动示意图。设该外力的大小为F，据动能定理知AB(上升过程)：(mgF)hEkBEkABA(下落过程)：(mgF)hEkAEkB整理以上两式并代入数据得mgh30 J，解得物体的质量m1 kg。选项C正确。答案C1.用
16、传感器研究质量为2 kg的物体由静止开始做直线运动的规律时，在计算机上得到06 s内物体的加速度随时间变化的关系如图9所示。下列说法正确的是()图9A.06 s内物体先向正方向运动，后向负方向运动B.06 s内物体在4 s时的速度最大C.物体在24 s内速度不变D.04 s内合力对物体做的功等于06 s内合力做的功解析由vat可知，at图象中，图线与坐标轴所围面积表示质点的速度的变化量，06 s内物体的速度始终为正值，故一直为正方向，A项错误；t5 s时，速度最大，B项错误；24 s内加速度保持不变且不为零，速度一定变化，C项错误；04 s内与06 s内图线与坐标轴所围面积相等，故物体4 s末
17、和6 s末速度相同，由动能定理可知，两段时间内合力对物体做功相等，D项正确。答案D2.A、B两物体分别在水平恒力F1和F2的作用下沿水平面运动，先后撤去F1、F2后，两物体最终停下，它们的vt图象如图10所示。已知两物体与水平面间的滑动摩擦力大小相等。则下列说法正确的是()图10A.F1、F2大小之比为12B.F1、F2对A、B做功之比为12C.A、B质量之比为21D.全过程中A、B克服摩擦力做功之比为21解析由速度与时间图象可知，两个匀减速运动的加速度之比为12，由牛顿第二定律可知：A、B受摩擦力大小相等，所以A、B的质量关系是21，由速度与时间图象可知，A、B两物体运动的位移相等，且匀加速
18、运动位移之比12，匀减速运动的位移之比21，由动能定理可得：A物体的拉力与摩擦力的关系，F1sf13s00；B物体的拉力与摩擦力的关系，F22sf23s00，因此可得：F13f1，F2f2，f1f2，所以F12F2。全过程中摩擦力对A、B做功相等，F1、F2对A、B做功大小相等。故A、B、D项错误，C项正确。答案C3.如图11甲所示，在倾角为30的足够长的光滑斜面AB的A处连接一粗糙水平面OA，OA长为4 m。有一质量为m的滑块，从O处由静止开始受一水平向右的力F作用。F只在水平面上按图乙所示的规律变化。滑块与OA间的动摩擦因数0.25，g取10 m/s2，试求：图11(1)滑块运动到A处的速
19、度大小；(2)不计滑块在A处的速率变化，滑块冲上斜面AB的长度是多少？解析(1)由题图乙知，在前2 m内，F12mg，做正功，在第3 m内，F20.5mg，做负功，在第4 m内，F30。滑动摩擦力fmg0.25mg，始终做负功，对于滑块在OA上运动的全过程，由动能定理得F1s1F2s2f smv0代入数据解得vA5m/s。(2)对于滑块冲上斜面的过程，由动能定理得mgLsin 300mv解得L5 m所以滑块冲上斜面AB的长度L5 m。答案(1)5 m/s(2)5 m课时作业(时间：40分钟)基础巩固练1.(多选)关于动能定理的表达式WEk2Ek1，下列说法正确的是()A.公式中的W为不包含重力
20、的其他力做的总功B.公式中的W为包含重力在内的所有力做的功，也可通过以下两种方式计算：先求每个力的功再求功的代数和或先求合外力再求合外力的功C.公式中的Ek2Ek1为动能的增量，当W0时动能增加，当W0时，动能减少D.动能定理适用于直线运动，但不适用于曲线运动，适用于恒力做功，但不适用于变力做功答案BC2.在篮球比赛中，某位同学获得罚球机会，如图1，他站在罚球线处用力将篮球投出，篮球以约为1 m/s的速度撞击篮筐。已知篮球质量约为0.6 kg，篮筐离地高度约为3 m，忽略篮球受到的空气阻力，则该同学罚球时对篮球做的功大约为()图1A.1 J B.10 JC.50 J D.100 J解析该同学将
21、篮球投出时的高度约为h11.8 m，根据动能定理有Wmg(hh1)mv2，解得W7.5 J，故选项B正确。答案B3.在离地面高为h处竖直上抛一质量为m的物块，抛出时的速度为v0，它落到地面时的速度为v，用g表示重力加速度，则在此过程中物块克服空气阻力所做的功等于()A.mghmv2mvB.mv2mvmghC.mghmvmv2D.mghmv2mv解析对物块从h高处竖直上抛到落地的过程，根据动能定理可得 mghWfmv2mv，解得Wfmghmvmv2，选项C正确。答案C4.(2019北京101中学检测)如图2所示，质量为m的物体静置在水平光滑平台上，系在物体上的绳子跨过光滑的定滑轮，由地面上的人以
22、速度v0向右匀速拉动，设人从地面上平台的边缘开始向右行至绳与水平方向夹角为45处，在此过程中人所做的功为()图2A. B.C. D.mv解析由题意知，绳与水平方向夹角为45时，沿绳方向的速度vv0cos 45，故质量为m的物体速度等于，对物体应用动能定理可知，在此过程中人所做的功为Wmv20，C正确。答案C5.如图3所示，AB为圆弧轨道，BC为水平直轨道，BC恰好在B点与AB相切，圆弧的半径为R，BC的长度也是R。一质量为m的物体与两个轨道间的动摩擦因数都为，它由轨道顶端A从静止开始下落，恰好运动到C处停止，重力加速度为g，那么物体在AB段克服摩擦力所做的功为()图3A. B.C.mgR D.
23、(1)mgR解析设物体在AB段克服摩擦力所做的功为WAB，物体从A到C的全过程，根据动能定理有mgRWABmgR0，所以WABmgRmgR(1)mgR，故D正确。答案D6.北京获得2022年冬奥会举办权，冰壶是冬奥会的比赛项目。将一个冰壶以一定初速度推出后将运动一段距离停下来。换一个材料相同、质量更大的冰壶，以相同的初速度推出后，冰壶运动的距离将()A.不变 B.变小C.变大 D.无法判断解析冰壶在冰面上以一定初速度被推出后，在滑动摩擦力作用下做匀减速运动，根据动能定理有mgs0mv2，得s，两种冰壶的初速度相等，材料相同，故运动的距离相等，故选项A正确。答案A7.如图4所示，物块以60 J的
24、初动能从斜面底端沿斜面向上滑动，当它的动能减少为零时，重力势能增加了45 J，则物块回到斜面底端时的动能为()图4A.15 J B.20 JC.30 J D.45 J解析由动能定理可知WGWf0Ek0，解得摩擦力做功为Wf15 J，对物块整个过程由动能定理得2WfEkEk0，解得物块回到斜面底端时的动能为Ek30 J，故C正确，A、B、D错误。答案C8.如图5，高台跳水项目中要求运动员从距离水面H的高台上跳下，在完成空中动作后进入水中。若某运动员起跳瞬间重心离高台台面的高度为h1，斜向上跳离高台瞬间速度的大小为v0，跳至最高点时重心离台面的高度为h2，入水(手刚触及水面)时重心离水面的高度为h
25、1。图中虚线为运动员重心的运动轨迹。已知运动员的质量为m，重力加速度为g，不计空气阻力，则运动员跳至最高点时速度及入水(手刚触及水面)时速度的大小分别是()图5A.0B.0C.D.解析从运动员起跳到最高点时由动能定理得mg(h2h1)mvmv解得v高从运动员起跳到入水过程由动能定理得mgHmvmv解得v1，故C正确。答案C9.(2019天津卷，10)完全由我国自行设计、建造的国产新型航空母舰已完成多次海试，并取得成功。航母上的舰载机采用滑跃式起飞，故甲板是由水平甲板和上翘甲板两部分构成，如图6所示。为了便于研究舰载机的起飞过程，假设上翘甲板BC是与水平甲板AB相切的一段圆弧，示意如图7，AB长
26、L1150 m，BC水平投影L263 m，图中C点切线方向与水平方向的夹角12(sin 120.21)。若舰载机从A点由静止开始做匀加速直线运动，经t6 s到达B点进入BC。已知飞行员的质量m60 kg，g10 m/s2，求(1)舰载机水平运动的过程中，飞行员受到的水平力所做功W；(2)舰载机刚进入BC时，飞行员受到竖直向上的压力FN多大。解析(1)舰载机由静止开始做匀加速直线运动，设其刚进入上翘甲板时的速度为v，则有根据动能定理，有Wmv20联立式，代入数据，得W7.5104 J。(2)设上翘甲板所对应的圆弧半径为R，根据几何关系，有L2Rsin 由牛顿第二定律，有FNmgm联立式，代入数据
27、，得FN1.1103 N。答案(1)7.5104 J(2)1.1103 N综合提能练10.从地面竖直向上抛出一只小球，小球运动一段时间后落回地面。忽略空气阻力，该过程中小球的动能Ek与时间t的关系图象是()解析小球做竖直上抛运动，设初速度为v0，则vv0gt小球的动能Ekmv2，把速度v代入得Ekmg2t2mgv0tmvEk与t为二次函数关系。答案A11.(多选)质量为1 kg的物体静止在水平粗糙的地面上，在一水平外力F的作用下运动，如图8甲所示，外力F和物体克服摩擦力f做的功W与物体位移s的关系如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2。下列分析正确的是()图8A.物体与地面之间的动摩擦因数为
28、0.5B.物体在前3 m运动过程中的加速度为3 m/s2C.物体运动的位移为13 mD.s9 m时，物体的速度为3 m/s解析根据f做功的图象，由Wfmgs，代入得2011010，解得0.2，故A项错误；摩擦力大小为fmg0.210 N2 N，在前3 m的运动过程中，F N5 N，根据牛顿第二定律Ffma，解得a3 m/s2，故B项正确；根据Wfmgs27 J，得物体运动的位移为s m13.5 m，故C项错误；s9 m时，根据动能定理WWfmv2，代入数据得(2792) J1v2，物体速度v3 m/s，故D项正确。答案BD12.质量m1 kg的物体，在水平拉力F(拉力方向与物体初速度方向相同)
29、的作用下，沿粗糙水平面运动，经过位移为4 m时，拉力F停止作用，运动到位移为8 m时物体停止运动，运动过程中Eks的图线如图9所示。取g10 m/s2，求：图9(1)物体的初速度大小；(2)物体和水平面间的动摩擦因数；(3)拉力F的大小。解析(1)从图线可知物体初动能为2 J，则Ek0mv22 J，得v2 m/s。(2)在位移为4 m处物体的动能为Ek10 J，在位移为8 m处物体的动能为零，这段过程中物体克服摩擦力做功。设摩擦力为f，则f s20Ek010 J10 J，s24 m，得f2.5 N。因fmg，故0.25。(3)物体从开始运动到位移为4 m这段过程中，受拉力F和摩擦力f的作用，合
30、力为Ff，根据动能定理有(Ff)s1EkEk0，故得F4.5 N。答案(1)2 m/s(2)0.25(3)4.5 N13.如图10所示，轻质弹簧一端固定在墙壁上的O点，另一端自由伸长到A点，OA之间的水平面光滑，固定曲面在B处与水平面平滑连接。AB之间的距离s1 m。质量m0.2 kg的小物块开始时静置于水平面上的B点，物块与水平面间的动摩擦因数0.4。现给物块一个水平向左的初速度v05 m/s，g取10 m/s2。图10(1)求弹簧被压缩到最短时所具有的弹性势能Ep；(2)求物块返回B点时的速度大小；(3)若物块能冲上曲面的最大高度h0.2 m，求物块沿曲面上滑过程所产生的热量。解析(1)对小物块从B点至压缩弹簧最短的过程，由动能定理得mgsW克弹0mvW克弹Ep代入数据解得Ep1.7 J。(2)对小物块从B点开始运动至返回B点的过程，由动能定理得mg2smvmv代入数据解得vB3 m/s。(3)对小物块沿曲面的上滑过程，由动能定理得W克fmgh0mv产生的热量QW克f0.5 J。答案(1)1.7 J(2)3 m/s(3)0.5 J
