1、2020-2021学年吉林省长春外国语学校高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1已知集合A0，1，2，3，4，5，B2，4，6，则AB（）A2，4，6B0，1，2，3，4，5，6C2，4D0，1，2，3，4，52已知复数z（i为虚数单位），则的虚部为（）A1B1CiDi3“x02，+），log2x01”的否定是（）Ax2，+），log2x1Bx（，2），log2x1Cx0（，2），log2x01Dx2，+），log2x14已知函数f（x）sinx+cosx，则f（x）的最大值为（）A1B2C0D5设a，b是非零实数，若ab，则一定有（）ABa2abC
2、D6余弦函数是偶函数，f（x）cos（x2+1）是余弦函数，因此f（x）cos（x2+1）是偶函数，以上推理（）A结论不正确B大前提不正确C小前提不正确D全不正确7设圆 C1：x2+y21 与 C2：（x2）2+（y+2）21，则圆 C1与 C2的位置关系是（）A外离B外切C相交D内含8若样本1+x1，1+x2，1+x3，1+xn的平均数是12，方差是5，则对样本2+x1，2+x2，2+x3，2+xn，下列结论正确的是（）A平均数为14，方差为5B平均数为13，方差为25C平均数为13，方差为5D平均数为14，方差为259如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行
3、该程序框图，若输入a，b的值分别为84，48，则输出的a的值为（）A8B12C24D3610已知aR，则“a2”是“f（x）lnx+x2ax在（0，+）内单调递增”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件11圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母表示早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约1000年在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：从区间1，1内随机抽取200个数，构成100个数对（x，y），其中满足不等式y的数对（x，y）共有11个，
4、则用随机模拟的方法得到的的近似值为（）ABCD12已知定义在R上的偶函数yf（x）的导函数为f（x），函数f（x）满足：当x0时，xf（x）+f（x）1，且f（1）2020则不等式的解集是（）A（，1）（0，1）B（1，0）（1，+）C（1，0）（0，1）D（，1）（1，+）二、填空题：本题共4小题，每小题5分。13已知数列的Snn2+n+1，则a8+a9+a10+a11+a12 14已知向量（4，2），向量（x，1），若，则| 15已知函数f（x），则f（f（4） 16设有下列四个命题：p1：xR，ex1x；p2：x0（0，+），lnx0x01；p3：方程x22ax30有两个不相等实根；p4
5、：函数f（x）sinx+的最小值是2则下述命题中所有真命题的序号是 p1p2，p1p4，p2p4，p3p4三、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要证明过程或演算步骤。17在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，bcosA+（2c+a）cosB0（）求角B的大小；（）若b，ABC的周长为3+，求ABC的面积18在等比数列an中，a22，且a2，a3+1，a4成等差数列（）求数列an的通项公式；（）若a2，a3+1，a4为等差数列bn的连续三项，其中b1a2，设数列bn的前n项和为Sn，若Sn155，求n的值19如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ABBCACA
6、A1，D是BC的中点（）求证：A1B平面AC1D；（）求证：平面AC1D平面BCC1B1；（）求直线AC与平面AC1D所成角的正弦值20已知圆C的圆心在直线yx+1上，且圆C与x轴相切，点P（5，2）在圆C上，点Q（4，5）在圆C外（1）求圆C的方程；（2）若过点（2，4）的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|2，求直线l的方程21天津市某中学高三年级有1000名学生参加学情调研测试，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示：（1）求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数和这1000名学生的数学平均分（2）已知样本中成绩
7、在140，150内的学生中有两名女生，现从成绩在这个分数段的学生中随机抽取2人做学习交流，写出这个试验的样本空间；（用恰当的符号表达）设事件A：“选取的两人中至少有一名女生”，写出事件A的样本点，并求事件A发生的概率22已知函数f（x）exa（）若函数f（x）的图象与直线l：yx1相切，求a的值；（）若f（x）lnx0恒成立，求整数a的最大值参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1已知集合A0，1，2，3，4，5，B2，4，6，则AB（）A2，4，6B0，1，2，3，4，5，6C2，4D0，1，2，3，4，5解：A0，1，2，3，4，5，B2，4，6，则AB0，1，2，3，
8、4，5，6，故选：B2已知复数z（i为虚数单位），则的虚部为（）A1B1CiDi解：z，则的虚部为1故选：A3“x02，+），log2x01”的否定是（）Ax2，+），log2x1Bx（，2），log2x1Cx0（，2），log2x01Dx2，+），log2x1解：根据题意，“x02，+），log2x01”是特称命题，其否定为x2，+），log2x1；故选：A4已知函数f（x）sinx+cosx，则f（x）的最大值为（）A1B2C0D解：f（x）sinx+cosx，xRf（x）的最大值为，故选：D5设a，b是非零实数，若ab，则一定有（）ABa2abCD解：对于A：当a0b，不成立对于B：当b
9、a0时，不成立对于C：a，b是非零实数，ab，当a0b，恒成立，当ba0时，ab0，则ab0，0，当0ba 时，a2b2，ab0，0，则C对对于D：当a1，b时不成立，故选：C6余弦函数是偶函数，f（x）cos（x2+1）是余弦函数，因此f（x）cos（x2+1）是偶函数，以上推理（）A结论不正确B大前提不正确C小前提不正确D全不正确解：根据题意，该演绎推理的大前提为“余弦函数是偶函数”，小前提为“f（x）cos（x2+1）是余弦函数”，结论为“f（x）cos（x2+1）是偶函数”，其中小前提错误；故选：C7设圆 C1：x2+y21 与 C2：（x2）2+（y+2）21，则圆 C1与 C2的位
10、置关系是（）A外离B外切C相交D内含解：圆心C1：（0，0），C2：（2，2），半径R1，r1，则|C1C2|41+1，即圆 C1与 C2的位置关系是相离，故选：A8若样本1+x1，1+x2，1+x3，1+xn的平均数是12，方差是5，则对样本2+x1，2+x2，2+x3，2+xn，下列结论正确的是（）A平均数为14，方差为5B平均数为13，方差为25C平均数为13，方差为5D平均数为14，方差为25解：样本1+x1，1+x2，1+x3，1+xn的平均数是12，方差是5，对样本2+x1，2+x2，2+x3，2+xn的平均数是13，方差是5故选：C9如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章
11、算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入a，b的值分别为84，48，则输出的a的值为（）A8B12C24D36解：由a84，b48，满足ab，则a变为844836，由ba，则b变为483612，由ab，则，a361224，由ab，则，a241212，由ab12，则输出的a12故选：B10已知aR，则“a2”是“f（x）lnx+x2ax在（0，+）内单调递增”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：f（x）lnx+x2ax在（0，+）内单调递增f（x）+2xa0在（0，+）上恒成立，即a（2x+）min，令g（x）2x+，g（x）2，令g（x）0，0x，令g
12、（x）0，x，g（x）在（0，）递减，在（，+）递增，g（x）ming（）2，a，（，2（，2，a2是f（x）lnx+x2ax在（0，+）内单调递增的充分不必要条件，故选：A11圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母表示早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约1000年在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：从区间1，1内随机抽取200个数，构成100个数对（x，y），其中满足不等式y的数对（x，y）共有11个，则用随机模拟的方法得到的的近似值为（）ABCD【解答】解：从
13、区间1，1内随机抽取200个数，构成100个数对（x，y），其中满足不等式y的数对（x，y）共有11个，即从区间1，1内随机抽取200个数，构成100个数对（x，y），其中满足不等式y的数对（x，y）共有10021178个，由几何概型中的面积型可得：，所以，故选：A12已知定义在R上的偶函数yf（x）的导函数为f（x），函数f（x）满足：当x0时，xf（x）+f（x）1，且f（1）2020则不等式的解集是（）A（，1）（0，1）B（1，0）（1，+）C（1，0）（0，1）D（，1）（1，+）解：当x0时，xf（x）+f（x）1，所以：xf（x）+f（x）10，令：F（x）xf（x）xx（f（x
14、）1），则F（x）xf（x）+f（x）10，即当x0时，F（x）单调递增，又f（x）为R上的偶函数，所以F（x）为R上的奇函数，F（0）0，则当x0时，F（x）单调递增，不等式f（x）1+，当x0时，xf（x）x+2019，即：xf（x）x2019，F（1）f（1）12019，即：F（x）F（1），所以：0x1；当x0时，xf（x）x+2019，xf（x）x2019，F（1）F（1）2019，即：F（x）F（1），所以：1x0；综上，不等式的解集为：（1，0）（0，1）故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分。13已知数列的Snn2+n+1，则a8+a9+a10+a11+a12100解：数
15、列的，n2时，anSnSn1n2+n+1（n1）2+（n1）+12n则a8+a9+a10+a11+a122（8+9+10+11+12）100故答案为：10014已知向量（4，2），向量（x，1），若，则|解：向量（4，2），向量（x，1），若，则 ，x2，（2，1），则|，故答案为：15已知函数f（x），则f（f（4）1解：函数f（x），f（4）f（1）log221，f（f（4）f（1）log221故答案为：116设有下列四个命题：p1：xR，ex1x；p2：x0（0，+），lnx0x01；p3：方程x22ax30有两个不相等实根；p4：函数f（x）sinx+的最小值是2则下述命题中所有真命题
16、的序号是 p1p2，p1p4，p2p4，p3p4解：P1：f（x）ex1x，f（x）ex10，x0，所以f（x）minf（0）0，所以P1为真P2：当x01时成立，所以P2为真P3：（2a）24（3）4a2+120，方程有两个不相等实根，所以P3为真P4：当sinx1时，f（x）sinx+0，所以P4为假所以P1P2，P1P4，P3P4为真，所以真命题为故答案为：三、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要证明过程或演算步骤。17在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，bcosA+（2c+a）cosB0（）求角B的大小；（）若b，ABC的周长为3+，求ABC的面积解：（）因为bco
17、sA+（2c+a）cosB0，由正弦定理可得sinBcosA+（2sinC+sinA）cosB0，所以sin（A+B）+2sinCcosB0，即sinC+2sinCcosB0，又角C为ABC的内角，sinC0，所以cosB，又B（0，），所以B（）因为a+b+c3+，b，所以a+c3，由余弦定理ba+c2accosB，得7（a+c）ac，所以ac（a+c）72，所以SABCacsinB，所以ABC的面积为18在等比数列an中，a22，且a2，a3+1，a4成等差数列（）求数列an的通项公式；（）若a2，a3+1，a4为等差数列bn的连续三项，其中b1a2，设数列bn的前n项和为Sn，若Sn15
18、5，求n的值解：（）设等比数列an的公比为q，由a22，且a2，a3+1，a4成等差数列，可得a1q2，2（a3+1）a2+a4，即2（a1q2+1）a1q+a1q3，解得a11，q2，所以an2n1；（）a2，a3+1，a4为等差数列bn的连续三项，即为2，5，8为等差数列bn的连续三项，所以等差数列bn的首项为2，公差为3，Sn2n+n（n1）3由Sn155，即3n2+n310，解得n10（舍去），故n1019如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ABBCACAA1，D是BC的中点（）求证：A1B平面AC1D；（）求证：平面AC1D平面BCC1B1；（）求直线AC与平面A
19、C1D所成角的正弦值【解答】（）证明：连接A1C交AC1于点O，连接OD在正三棱柱ABCA1B1C1中，ACAA1，侧面AA1C1C是正方形，则点O是AC1的中点，又点D是BC的中点，故OD是A1CB的中位线，ODA1B，又A1B平面AC1D，OD平面AC1D，A1B平面AC1D；（）证明：AA1平面ABC，CC1平面ABC，可得CC1AD，又ACAB，D为BC的中点，ADBC，而CC1BCC，AD平面BCC1B1，AD平面AC1D，平面AC1D平面BCC1B1；（）解：由（）知，平面AC1D平面BCC1B1，又AC1D平面BCC1B1C1D，在平面BCC1B1中，过C作CGC1D，可得CG平
20、面AC1D，连接AG，CAG为直线AC与平面AC1D所成角，设ABBCACAA12，在RtC1CD中，求得，sinCAG，即直线AC与平面AC1D所成角的正弦值为20已知圆C的圆心在直线yx+1上，且圆C与x轴相切，点P（5，2）在圆C上，点Q（4，5）在圆C外（1）求圆C的方程；（2）若过点（2，4）的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|2，求直线l的方程解：（1）设圆心C（a，a+1），则半径r|a+1|，圆C的方程为（xa）2+（ya1）2（a+1）2，点P（5，2）在圆C上，（5+a）2+（a+3）2（a+1）2，解得a3或11点Q（4，5）在圆C外，经检验a11不符，舍去圆C的方程为
21、（x+3）2+（y+2）24；（2）由（1）可知圆C的半径为r2，又|AB|2，圆心到直线的距离d当k不存在时，直线方程为x2；当k存在时，设直线方程为y+4k（x+2），整理得kxy+2k40圆心C到直线l的距离d，即（k+2）2k2+1，解得k直线方程为y+4，即3x+4y+220综上，直线l的方程为x2或3x+4y+22021天津市某中学高三年级有1000名学生参加学情调研测试，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示：（1）求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数和这1000名学生的数学平均分（2）已知样本中成绩
22、在140，150内的学生中有两名女生，现从成绩在这个分数段的学生中随机抽取2人做学习交流，写出这个试验的样本空间；（用恰当的符号表达）设事件A：“选取的两人中至少有一名女生”，写出事件A的样本点，并求事件A发生的概率解：（1）由频率分布直方图可知，第四个矩形的高为：0.1（0.010+0.020+0.030+0.012）0.028，成绩不低于1（20分）的频率为：（0.030+0.028+0.012）100.7，所以高三年级不低于1（20分）的人数为：0.71000700人平均分126.2；（2）由频率分布直方图知，成绩在140，150的人数是6，记女生为A，B，男生为c，d，e，f，从这6人
23、中抽取2人的情况有AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15种其中至少有一名女生的情况有AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf共9种，故至少有一名女生的概率22已知函数f（x）exa（）若函数f（x）的图象与直线l：yx1相切，求a的值；（）若f（x）lnx0恒成立，求整数a的最大值解：（）由函数f（x）的图象与直线l：yx1相切，设切点为（），则，解得x00，a2；（）现证明exx+1（x0），设F（x）exx1，令F（x）ex10，即x0，当x（0，+）时，F（x）0，F（x）为单调增函数，F（x）minF（0）0；同理可证lnxx1即ex2x1lnx，由题意，当a2时，exaex2x1lnx，即a2时，f（x）lnx0成立又当a3时，存在x使ex3lnx，即ex3lnx不恒成立因此整数a的最大值为2
