1、典例如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(-4,0),F2(4,0),A(0,8),直线y=t(0t8)与线段AF1,AF2分别交于点P,Q.过点Q作直线QRAF1,交F1F2于点R,记PRF1的外接圆为圆C.(典例)(1) 求证:圆心C在定直线7x+4y+8=0上.(2) 圆C是否恒过异于点F1的一个定点?若过,求出该定点的坐标;若不过,请说明理由. 【思维引导】【规范解答】(1) 方法一:易得直线AF1:y=2x+8,AF2:y=-2x+8,所以可得P,Q.再由QRAF1,得R(4-t,0). 3分则线段F1R的中垂线方程为x=-,线段PF1的中垂线方程为y=-x+.由解得PRF1的
2、外接圆的圆心坐标为. 6分经验证,该圆心在定直线7x+4y+8=0上.8分方法二:易得直线AF1:y=2x+8,AF2:y=-2x+8,所以可得P,Q.再由QRAF1,得R(4-t,0).3分设PRF1的外接圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则解得所以圆心坐标为, 6分经验证,该圆心在定直线7x+4y+8=0上. 6分(2) 由(1)可得圆C的方程为x2+y2+tx+y+4t-16=0, 10分该方程可整理为(x2+y2+2y-16)+t=0,则由 12分解得或 14分所以圆C恒过异于点F1的一个定点,该定点的坐标为. 16分变式已知圆O的方程为x2+y2=1,设圆O与x轴交于P,Q两点,M是圆O上异于P,Q的任意一点,直线PM交直线l:x=3于点P,直线QM交直线l于点Q.求证:以PQ为直径的圆C总过定点,并求出定点坐标.【解答】由题知,P(-1,0),Q(1,0).设M(s,t),则直线PM的方程为y=(x+1).联立方程组,得P.同理可得,Q.故以PQ为直径的圆C的方程为(x-3)2+=0,又s2+t2=1,所以整理得(x2+y2-6x+1)+y=0.若圆C经过定点,只需令y=0,从而有x2-6x+1=0,解得x=32,所以圆C总经过的定点坐标为(32,0).温馨提示:趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第2526页.
